Paradoksy i sofizmaty

1. dr inż. Tomasz MartynInstytut InformatykiWydział Elektroniki i Technik InformacyjnychPolitechnika Warszawska Paradoksy i sofizmaty Warszawa, 9.10.2012 r.

2. Paradoks – twierdzenie prowadzące do zaskakujących lub sprzecznych wniosków. • Sofizmat – rozumowanie świadomie błędne, mające na celu oszukanie słuchacza. Paradoks a sofizmat

3. Twierdzenie. . Dowód (przy wykorzystaniu liczb zespolonych): Długi w dobrym stanie tanio sprzedam Sofizmat 1. Arytmetyczny Q.E.D.

4. Twierdzenie. . Dowód (całkowanie przez części): Nic nie ma!!! Sofizmat 2. Arytmetyczny Q.E.D.

5. Twierdzenie. Każdy niepusty, skończony zbiór ludzi zawiera wyłącznie osoby tego samego wzrostu. Dowód (indukcja): 1) Każdy jednoelementowy zbiór ludzi zawiera wyłącznie osoby jednakowego wzrostu. 2) Załóżmy teraz, że dowolny -elementowy zbiór ludzi zawiera wyłącznie osoby tego samego wzrostu. Niech będzie dowolnym -elementowym zbiorem ludzi. Wtedy zbiór zawiera wyłącznie osoby tego samego wzrostu; analogicznie zbiór . Zatem osoba jest tego samego wzrostu co osoba . Sofizmat 3. „Wszyscy ludzie są tego samego wzrostu” Q.E.D.

6. Prawdopodobieństwo, że w samolocie pasażerskim jest bomba wynosi Prawdopodobieństwo, że w samolocie są bomby wynosi więc Wypożyczalnia bomb pokładowych Zatem najlepiej, dla dobra swojego i pasażerów, wnieść na pokład własną bombę, bowiem swojej nie odpalimy, a prawdopodobieństwo, że na pokładzie jest jeszcze jedna jest astronomicznie małe. Sofizmat 4. „Warto wnosić bomby na pokład samolotu pasażerskiego” Q.E.D.

7. (nowojorski psychiatra L. VosburghLyons) Sofizmat 5. Geometryczny„60 = 58 = 59” 60 cm2 58 cm2 59 cm2

8. Epimenides (VI w. p.n.e.): Eubulides (IV w. p.n.e.): „To, co teraz mówię, jest kłamstwem.” Czyli: Z: zdanie Z jest fałszywe Jako Kreteńczykowi, uczciwość nakazuje mi Państwa ostrzec, że wszyscy Kreteńczycy to kłamcy. Paradoks 1. Paradoks kłamcy

9. „Cyrulik sewilski goli w Sewilli wszystkich tych i tylko tych, którzy nie golą się sami.” Czycyrulik goli się sam? Z= { X: X  X }. Czy ZZ ? • Jeśli ZZ, to Z spełnia warunek należenia do Z, więc ZZ. • Jeśli ZZ, to Z nie spełnia warunku należenia do Z, więc ZZ. Zatem ZZ  ZZ Paradoks 2. Antynomia Russella

10. A może istnieje „trzeciamożliwość logiczna”? Może, na przykład, cyrulik jest kobietą... Niestety na golenie będzie musiał Pan jeszcze trochę poczekać... Właśnie ktoś udowodnił, że w rzeczywistości cyrulik nigdy nie istniał. Paradoks 2. Antynomia Russella (cd.)

11. Z: zdanie Z jest fałszywe lub zdanie Z nie ma wartości logicznej • Jeśli Zprawdziwe, to Z fałszywe lub nie ma wartości logicznej. Zatem antynomia: Z prawdziwe Znie jest prawdziwe • Jeśli Z fałszywe, to Zprawdziwe i ma wartość logiczną. Zatem antynomia: Zfałszywe Zprawdziwe Paradoks 3. Dodatkowa wartość logiczna? • Jeśli Z nie ma wartości logicznej, to Z nie jest fałszywe.

12. Aksjomat wyboru: Dla każdej rodziny niepustych zbiorów rozłącznych, można skonstruować zbiór (tzw. selektor) zawierający dokładnie po jednym elemencie z każdego zbioru tej rodziny. Paradoks Banacha-Tarskiego: Istnieje rozkład kuli w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej na skończoną liczbę rozłącznych części, z których można złożyć, korzystając jedynie z obrotów i translacji, dwie kule o takich samych promieniach jak promień kuli wyjściowej. Delfijczycy:W jaki sposób możemy uwolnić się od zarazy? Wyrocznia delficka: Powiększcie dwukrotnie ołtarz Apolla, zachowując jego kształt sześcianu. Banach i Tarski: A czy możemy użyć aksjomatu wyboru? Paradoks 4. Paradoks Banacha-Tarskiego

13. Dziękuję za uwagę