Inny przykład:

1. Inny przykład: • Firma produkuje dwa typy maszynek do golenia w ilości x i y sztuk. Koszt produkcji tych maszynek wynosi • C(x, y)=0,02x2+0,01xy+0,01y2+30 000 • Maszynki te sprzedawane są odpowiednio w cenach 300 i 200 zł. • Miesięczna produkcja wynosi x=5000 sztuk i y=7000 szt. • Obliczyć • Miesięczny koszt produkcji i koszty krańcowe • Miesięczny zysk i zyski krańcowe • Miesięczny koszt produkcji C(5000, 7000)= 500000+350000+490000+30000=1 370 000 • Koszty krańcowe • Oznacza to, że przy podanym poziomie produkcji koszt produkcji dodatkowej (pięć tysięcy pierwszej) • maszynki pierwszego typu wyniesie270, a dodatkowej (siedem tysięcy pierwszej)maszynki drugiego • typu – 190 zł • Przychód R(x, y)=300x+200y=1500000+1400000=2 900 000 • Zysk P(x, y)=R(x, y)-C(x, y)=300x+200y-(0,02x2+0,01xy+0,01y2+30 000) • Przy podanej produkcji P(5000, 7000)=1 530 000 • Zyski krańcowe • Oznacza to, że przy podanym poziomie produkcji zysk z wyprodukowania dodatkowej (pięć tysięcy pierwszej) • maszynki pierwszego typuwyniesie 30, a z wyprodukowania dodatkowej (siedem tysięcy pierwszej) • maszynki drugiego typu – 10 zł

2. 14.3. Maksymalizacja zysku Przykład poprzedni: Czy warto zwiększać nieograniczenie produkcję maszynek obu typów? Czy nasz zysk będzie wtedy rósł? Zysk P(x, y)=300x+200y-(0,02x2+0,01xy+0,01y2+30 000) jest funkcją dwóch zmiennych. Czy ma ona maks? Warunkiem koniecznym istnienia maksimum jest zerowanie się obu pochodnych cząstkowych Przyrównanie ich do zera daje układ równań 300-0,04x-0,01y=0 200-0,01x-0,02y=0 Rozwiązaniem tego układu są liczby x0=5 714,28 i y0=7 142,86 Tu może być maksimum, lecz nie musi. Żeby było ekstremum, musi być Obliczmy zatem pochodne cząstkowe drugiego rzędu Stąd W=(-0,04)(-0,02)-(-0,01)2=0,0007>0, zatem jest tu ekstremum. Tylko czy jest to maksimum? TAK!!! Ale uwaga – jeszcze tylko trochę zwiększymy produkcję, a zaczniemy tracić zamiast zarabiać!

3. 14.4. Funkcje Cobb-Douglasa Przykład 1 Popyt D na pewien towar zależy głównie od jego ceny p, ale też od wydatków na reklamę tego towaru R i od dochodu na rodzinę ID=f(p, R, I). Jak ta zależność może wyglądać? Np. Przykład 2 Produkcja P pewnego towaru zależy od kosztów osobowych (płace z pochodnymi) L i od wielkości zainwestowanego kapitału KP=f(L, K). Np. Zwiększenie jednego czynnika powoduje zmniejszenie drugiego i na odwrót – można zastąpić jeden czynnik drugim Funkcje o postaci nazywamy funkcjami Cobb-Douglasa Elastyczność cząstkowa funkcji Cobb-Douglasa Dla przykładu 2 zwiększenie kosztów osobowych o 1% powoduje wzrost produkcji o λ %, a zwiększenie wartości sprzętu o 1% powoduje wzrost produkcji o κ %

4. 14.5. Funkcje CES CES- Constant Elastity of Substitution – stała elastyczność substytucji Przykład 2 z poprzedniego punktu Produkcja P pewnego towaru zależy od kosztów osobowych (płace z pochodnymi) L i od wielkości zainwestowanego kapitału KP=f(L, K). Tę zależność można próbować wyrazić też innym wzorem, poprzez funkcję CES gdzie stałe a>0, b>0,ω≠ 0 Ogólna postać funkcji CES n zmiennych

5. III. Równania różniczkowe zwyczajne

6. 1. Wprowadzenie Równania różniczkowe to równania funkcyjne – poszukiwaną niewiadomą nie jest liczba lecz funkcja Jeżeli niewiadomą jest funkcja jednej zmiennej y=f(x) – równanie różniczkowe zwyczajne Jeżeli niewiadomą jest funkcja wielu zmiennych – równanie różniczkowe cząstkowe Def. 70 (równania różniczkowego zwyczajnego) Równaniem różniczkowym zwyczajnym n-tego rzędu nazywamy równanie F(x, y(x), y’(x), y’’(x),…y(n)(x))=0 w którym niewiadomą jest funkcja f(x) zmiennej x i w którym występuje pochodna tej funkcji Przykłady y’=y+x y’’=1+y2 x2y’’=y(4) Jeżeli z tego równania da się wyznaczyć y(n)(x), to można je zapisać w postaci normalnej y(n)(x)= f(x, y(x), y’(x), y’’(x),…y(n-1)(x)) Def. 71 (rozwiązania równania różniczkowego) Rozwiązaniem równania różniczkowego(całką szczególną, rozwiązaniem szczególnym) nazywamy każdą funkcję klasy Cn, która podstawiona do tego równania zamienia je w tożsamość. Przedział zmiennej niezależnej x, w którym to zachodzi, nazywamy obszarem istnienia rozwiązania równania różniczkowego Przykład 1 y’’+y=0 Rozwiązaniem jest y=cosx boy’=(cosx)’=-sinx; y’’=(-sinx)’=-cosx. Istnieje na całej osi liczb. Przykład 2 y’=y2+1 Rozwiązanie y=tgx istnieje tylko w przedziale półotwartym [0, π/2)

7. Krzywa całkowa – wykres każdego rozwiązania szczególnego równania różniczkowego Def. 72 (całki ogólnej równania różniczkowego) Całką ogólną (rozwiązaniem ogólnym) równania różniczkowego n-tego rzędu nazywamy funkcję zawierającą n niezależnych parametrów taką, że ustalając dowolnie te parametry otrzymujemy rozwiązanie (szczególne). Przykłady’’+y=0 Całką ogólną jest y=acosx+bsinx boy’=-asinx+bcosx; y’’=-acosx-bsinx Przyjmując a=1, b=0 otrzymujemy poprzednie rozwiązanie (całkę szczególną) tego równania Zagadnieniem Cauchy’ego dlarównania różniczkowego n-tego rzędu nazywamy następujące zagadnienie: Znaleźć całkę szczególną danego równania, która spełnia warunki początkowe y(x0)=y0; y'(x0)=y1; y’’(x0)=y2; … ; y(n-1)(x0)=yn-1 przy czym liczby y0; y1; … ; yn-1zwane warunkami początkowymi, są dane Dla n=1 warunek ten sprowadza się do y(x0)=y0 • Interesuje nas: • Istnienie rozwiązania • Znajdowanie rozwiązań • Badanie niektórych własności rozwiązań

8. Interpretacja geometryczna r.r. pierwszego rzędu Def. 73 (izokliny) Izoklina jest to zbiór punktów płaszczyzny, w których styczna do krzywej całkowej ma stały kierunek y’(x)=m=const. Przykład 1 y’ +y=0 Izoklinami są proste o równaniach m+y=0 czyli y=-m Pole elementów stycznych

9. Przykład 2 y’ =-x/y Izoklinami są proste o równaniach y=-x/m oraz x=0 Pole elementów stycznych

10. Przykład 3 Znaleźć krzywe całkowe równania różniczkowego Izoklinami są proste o równaniach oraz x=0 Nie istnieją ogólne metody rozwiązywania równań różniczkowych. Potrafimy rozwiązać tylko specyficzne typy równań różniczkowych