Midterm Examination

1. Midterm Examination 환경공학과 20051462 손 미 애

2. 1. Study and explain the water quality model QUAL2E. • 모델개요 Qual2e는 1차원 정상상태(steady state)와 1차원 가동적상태(Dynamic state) 모의 가능한 1차원 수질예측모형으로서 하천구간내 특정지점에서의 수질현상을 모의한다. 하천의 구간은 총 8개의 형태로 설정이 가능하며 모형의 매개변수는 수동보정을 주로 활용한다. * 구간설정 • 대구간(Reach) -> 소구간(Element)로 크게 구분되며 대구간은 최대5개, 소구간은 최대 20개의 동일한 크기로 구분된다. 소구간은 총 500개까지만 한정되게 구성할 수 있다. • 수원소구간(Head water element) : 최대 10개 • 표준소구간(Standard element) • 지류합류점 직상류 본류 소구간(Element just upstream from a junction) • 지류합류점 본류 소구간(Junction element) : 최대 9개 • 최하류 소구간(Last element in system) • 점오염원 유입소구간(Input element) : 최대 50개 • 취수 소구간(Withdrawl element) : 최대 50개

3. Qual2e 입력파일 및 계수(매개변수) (1) 수리계수 수리(유량)계수는 하천의 유량, 유속, 수심자료를 바탕으로 입력되며, 실측자료 혹은 모형(ex: HEC-2)모의자료를 활용하나 일반적으로 모의 결과를 활용한다. (2) 수질계수 BOD와 DO의 관계결정계수 조류와 영양염류 관계결정계수 일반적으로 실측자료를 활용하나 자료획득이 어려운 경우 매뉴얼상의 값을 적용한 후 보정해 나가는 방법을 이용한다.

4. 물질 및 에너지 이동방정식 • 하천 시스템 내에서 물질이동 및 변환은 유체의 흐름에 의하여 농도 부하가 이동되는 유속에 의한 유송과 유체흐름의 난류성과 물질 농도 차이에 의해 발생하는 확산, 화학 및 생물학적 반응에 의한 물질의 증감, 시스템 내의 오염 부하량 유입 또는 유출에 의한 부하의 증감에 의해 좌우된다.이와 같은 과정에 대하여 물질이동방정식을 세우면 다음 식(1.1)과 같다. • ........ (1.1) • 여기서, C는 물질의 농도를 나타내고, A는 유로 단면적, D는 종확산계수, U는 평균유속, S는 물질의 유입부하량 혹은 유출량, V는 단위 구간의 수체적, t는 시간, X는 거리, R는 반응에 의한 물질의 증감량을 나타낸다. • QUAL2E는 에너지 보전의 원리를 이용하며 열전달을 고려한 에너지 방정식을 이용하여 수온을 계산한다. 지배식은 식(1.2)와 같으며 물질 이동 방정식과 흡사한 형태를 가진다. • ........ (1.2) • 여기서, T는 수온이고, ρ는 물의 밀도, c는 비열이다.

5. 2) Numerical Algorithm QUAL2E모형에서는 수리학적 특성이 유사한 구간을 대구간(reach)으로 나누고 다음과 같은 두가지 방법에 의하여 유속 및 수심을 산정하도록 되어 있다. (1) 유량 계수법 이 방법은 수리 모형을 수행하거나 또는 실측 자료를 이용하여 각 지점별로 유속과 유량을 산정하고, 동일 대구간 내에서의 유량과 유속, 유량과 수심과의 관계를 회귀분석법에 의하여 구하거나, 유로단면이 구형이고, 단면곡선(Rating Curve)이 있는 경우에 계산하는 방법으로 다음 식 (1.14)과 같이 표시할 수 있다. U = aQb, D = cQd ........................................... (1.14) 여기서, U는 평균 유속, Q는 유량, D는 수심, a, b, c, d는 유량 계수를 나타낸다. (2) 유로 단면 이용 방법 유로 단면이 정비되어 사다리꼴의 형태로 되어 있는 경우에는 Manning식을 이용하여 다음 식(1.15)와 같이 해석한다. Q = (1.486/n) R2/3 A S1/2 ................................... (1.15) 여기서, n는 Manning의 조도 계수이고, S는 에너지구배, R는 평균 동수 반경, A는 유로 단면적을 나타낸다.

6. 물질이동방정식인 식(1.1)은 1차 선형 미분 방정식의 형태로써 기본적으로 수치해석 기법을 적용하지 않더라고 해를 구할 수는 있으나 물질 반응이 각 수질 항목간에 연계되어 있어 단순 계산에 의해 해를 구하기는 어려우므로 수치 해석에 의한 반복 계산기법으로 해를 구한다. 이 모형에서 사용한 수치해석 기법은 유한차분법으로서 요소간의 수질 농도를 선형적으로 가정하는 방법을 사용하고 있다.또한, 요소 수질농도가 미지의 다른 요소 수질농도들의 함수로 표현되는 음해법으로 차분 방법식이 세워지도록 하고 있다.식(1.1)의 물질이동방정식을 1차반응을 가정한 선형 방정식에 대입하여 다시 표현하면 식(1.16)와 같다. 여기서, kC는 해석 수질항목의 반응에 의한 증감을 나타내고, P는 해석 수질항목의 반응을 제외한 반응을 나타낸다. 지배식(1.16)를 음해법을 이용한 유한차분식으로 표현하면 식(1.17)과 같다.

7. n+1 시각의 수질항목 C에 대하여 정리하면 식(1.18)와 같다. 유한차분 방정식은 3개의 절점간의 관계로 표시된 삼각행렬로써 가우스 소거법에 의하여 해를 구하게 된다.

8. 4. QUAL2E 수행 - 기본 KEY HELP : QUAL2E에 대한 일반적 설명과 Screen에 대한 설명 NEXT : 다음 Screen으로 BACK : 이전 Screen으로 TOP : 초기 화면으로 INDEX : 1～24번 Screen에 대한 설명 RUN : QUAL2E의 실행(입력 data의 입력이 끝난 후에 실행시킴) RESTORE : 재저장 GRAPHICS : Graph 작성 CALE : 계산기

9. 1) Screen 1 : QUAL2E simulation(초기화면)

11. 2) Screen 2 : Stream reach system

12. 3) Screen 3 : Computational element

13. 4) Screen 4 : Water quality simulation

14. 5) Screen 5 : Geographical and Climatological Data

15. 6) Screen 6 : Reach number for DO/BOD to plotted

16. 7) Screen 7 : Observed dissolved oxygen data

17. 8) Screen 8 : Global Kinetics

18. 9) Screen 9 : Temperature correction factor(온도 보정 계수)

19. 10) Screen 10 : Flow augmentation

20. 11) Screen 11 : Hadraulic data

21. 12) Screen 12 : BOD and DO reaction rate constants

22. 13) Screen 13(앞면) : N, P and Algae coefficient

23. 14) Screen 14(앞면) : Initial condition of the str eam

24. 15) Screen 15 : Incremental inflow

25. 16) Screen 16 : Headwater source data

26. 20) Screen 20 : Grobal values of climatology data

32. 2. Study and explain the water quality model WASP6 1) Theory WASP6(The Water Quality Analysis Simulation Program-6) 모형은 1981년EPA의 Di Toro 등에 의하여 개발된 WASP 모형을 발전시킨 것으로 수체 내 오염물의 이동과 반응을 예측한다. 이 모델은 사용자가 다양한 오염물 관리 계획을위해 자연 현상과 인위적인 오염원에 의한 수질 변동을 해석하고 예측하는 것을도와준다. WASP6 모형은 2개의 독립된 프로그램인 DYNHYD 모형과 WASP6모형으로 구성되어 있다. DYNHYD 모형은 수체의 수리적 특성에 대한 모형이며,WASP5 모형은 수체에서 오염물질의 이동과 반응을 예측하는 모형이다. 그리고WASP6 모형은 부영양화와 BOD, DO 등 전통적인 오염원을 대상으로 하는EUTRO 모형과 유기화합물, 금속 등의 독성 물질을 대상으로 하는 TOXI 모형의부 프로그램으로 구성되어있다. ․ 수질 모의와 출력 조절(simulation and output control) ․ 모델 구획(model segmentation) ․ 이송과 확산을 통한 운송(advective and dispersive transport) ․ 경계농도(boundary concentration) ․ 점오염원과 확산 오염원(point and diffuse source waste load) ․ 동역학적 매개변수, 상수, 시간 함수(kinetic parameters, constants, andtime functions) ․ 초기조건(initial condition) 이 입력 자료들은 WASP6에 의해 물질 수지식, 화학 반응식과 수학적으로 통 합되어 적용된다.

33. 2) Numerical Algorithm 2.1 물질 수지식 유체역학이나 수질 예측 프로그램의 기본적인 원리는 질량 보존이다. 대상이되는 수체의 부피와 수질을 결정하는 물질들은 시간과 공간의 변화에 따라 물질수지식을 이용해 설명된다. 이때 수체 내 용존 물질에 대한 물질 수지식은 직접적인 경로를 통하거나 확산에 의해 발생하는 부하, 이송․확산에 의한 물질 운반, 물리․화학․생물학적 전환을 통해 유입되거나 유출되는 모든 물질을 설명해야 한다. 그림 1.1와 같은 유체 내에서의 물질 수지식은 다음 식(1.1)과 같이 표현할 수 있다. 그림 1.1 물질 수지식 산정을 위한 수체 모식도

34. 여기서, C = 수체 내 오염물의 농도, mg/L 혹은 g/m3 t = 시간, days UX, UY, UZ = X, Y, Z 방향 이송 속도, m/day EX, EY, EZ = X, Y, Z 방향 확산 계수, m2/day SL = 직접․확산 부하량, g/m3-day SB = 경계 부하량, g/m3-day SK = total kinetic transformation rate; positive is source, negative is sink, g/m3-day 식(1.1)은 수직, 수평 방향의 완전 혼합을 가정하여 1차원으로 유도될 수 있다. 여기서, A = 단면적, m2 위 식(1.2)는 크게 세 가지 항으로 나누어 볼 수 있는데, 각각 운송, 부하, 전환 항을 나타낸다.

35. 거리 및 시간에 대하여 물질의 농도가 연속함수이므로, 1차원으로 가정된 물질수지식을 Taylor series로 전개하면, 다음과 같다. 고차 항을 무시하고, 식(1.3)에서 식(1.4)를 빼서 정리하면, 다음과 같다. 우변의 첫 번째 항과 두 번째 항을 동일한 방법으로 정리하면, 이므로, 이다.

36. 그림 1.2 수질해석을 위한 모식도 (여기서, x는 위치, j는 구획번호, L은 길이) 식(1.7) 및 식(1.9)를 그림 1.2을 참조하여 식(1.2)에 대입하고 구획 j에 대하여정리하면, 다음과 같다. 양변에 Lj를 곱하면, 다음과 같다.

37. 여기서, Rj,j+1 및 Rj-1,j 는 확산계수를 포함하는 항으로 이며, Qj,j+1은 구획 j에서 구획 j+1로의 흐름을 나타낸다. Cj,j+1은 구획 j와 구획 j+1의 경계면 농도를 의미하며, 가증인수 ν(0∼1)를 도입하면, Cj,j+1 = νCj+1 + (1-ν)Cj로 표현되므로, 구획 j에 구획 ⅰ가 연결되어 있고, 경계면을 ij라 하여 물질수지방정식을 정리하면, 다음과 같다.

38. 2.2 구획화 구획화는 부피와 상호교환 양이 알려진 ‘완전히 혼합된’ 여러 개의 박스로 생태계를 나누는 것을 말한다. 구획간의 상호교환은 구획간의 이송확산과 동일한 크기의역류로 모사될 수 있다. 완전 혼합이라 가정하는 것은 시간과 공간에 대한 편미분방적식을 시간에 대한 상미분방정식으로 바꾸어 준다. 또한 이러한 방법으로 상호 연결된 구획의 수를 늘려 대략적으로 공간적인 정보를 복원할 수도 있다 WASP6는 단위 부피 혹은 segment를 확장한 집합으로 수체의 물리적 배치를나타낸다. 수체는 대상 지역의 범위나 수리․수문학적인 특성에 따라 가로, 세로,수직 방향으로 여러 개의 segment로 나눌 수 있는데, segment의 규모는 대상 수체의 공간적 규모와 시뮬레이션 기간 등에 따라 결정된다. 한 segment는 완전혼합으로 가정되어 segment 내에서는 온도, 빛, 유속, pH 등이 일정하다. Segments는 수직적인 위치에 따라 surface/ subsurface/ upper benthic/ lowerbenthic segment로 세분화되고, 각각은 그림 1.3에서 1,2,3,4로 나타낼 수 있다. 그림 1.3 Segment 모식도

39. 2.3 운송 이송에 의한 수체 이동은 직접 입자상 혹은 용존상 오염물의 운송(transport)을조절한다. 또한 유속, 수심의 변화는 재포기, 휘발, 광분해 같은 화학적 반응에 영향을 줄 수도 있다. 그러므로 수질 모델링를 위해서는 우선 수체의 이송에 의한 이동을 표현하고 모의하는 과정이 필요하다. WASP6에서는 사용자가 모델 네트웍을 통해 시작점을 정한 각각의 흐름을 따른 다. 여러 개의 흐름이 정해지면 segment 사이의 전체 흐름은 개별 흐름 함수의 합으로 인식된다. 수리모델을 이용하지 않는 경우 유속(V), 유량(Q), 수심(D), 하폭(B) 사이의 관계는 다음 식을 이용한다. 여기서, 상수 a,b,c,d,e,f 는 수문 관측 자료로부터 산정되는 상수이다. WASP6에서는 이렇게 계산된 수심, 유속은 휘발, 재포기율을 계산하는데 이용될뿐 운송 영역에서 사용되지 않는다. 확산(dispersion)에 의한 수체 교환은 호수, 저수지 같은 수체에서 용존, 입자상오염물의 이동에 큰 영향을 끼친다. 강에서는 충격부하에 의한 최고 농도를 낮추고희석하는데 중요하다. Segment ⅰ와 j 사이의 실제 교환은 다음과 같이 설명된다.

40. 여기서, Mik = segment ⅰ에서의 화학물질 k의 질량, g Cik, Cjk = segment ⅰ, j 안의 화학물질 k의 총 농도, mg/L Eij(t) = 확산 계수 , m2/day Aij = 경계면의 넓이, m2 Lcij = segment 사이의 혼합 거리, m 확산에 의한 공극수 교환은 퇴적물 부하가 낮은 수체와 비교적 용해도가 높은 화학물에 대해 하상의 오염 농도에 크게 영향을 줄 수 있다. 오염물의 용존 농도 경사에 따라 공극수 확산은 상층 수체의 오염물의 유입원이거나 제거원이 된다. 실제benthic segment ⅰ와 j 간의 확산 교환은 다음과 같다. 여기서, fDjk,fDik = segment ⅰ,j에서 화학물질의 용존 분율 nij = ⅰ,j 계면에서의 평균 공극률, Lw/L Eij(t) = 확산 계수 , m2/day Lcij = segment 사이의 혼합 거리, m Aij = 계면의 넓이, m2

41. 2.4 경계조건 모델 네트워크 외부로부터 교환이 일어나거나, 지류가 유입되거나, 유출되는 경우 boundary segments가 정해진다. WASP6는 사용자가 입력한 이류, 확산segment 쌍을 통해 boundary segments를 인식한다. 경계농도(boundary concentration) CBik(mg/L)는 각각의 boundary segment ⅰ에서 대상 물질 k에 대해 정해야 한다. 이 농도는 시간에 따라 다양하게 입력할 수 있다. 상류(upstream) boundary segments에서 WASP6는 식(1.18)과 같이 질량 부하량을 적용한다. 여기서, SBik = segment ⅰ에서의 물질 k의 boundary loading rate response, g/m3 -day Vi = boundary segment ⅰ의 부피, m3 Q0i(t) = boundary segment ⅰ로의 유입 유량, m3/day 하류(downstream) boundary segments에서 WASP6는 식(2.19)와 같이 질량 부하량을 적용한다. 여기서, Q0i(t) = boundary segment ⅰ로의 유입 유량, m3/day Cik = segment ⅰ 에서의 물질 k의 내부 농도, mg/L

42. 교환이 있는 boundary segments에서 WASP6는 식(1.20)과 같이 질량 부하량을 적용한다. 경계농도가 내부농도보다 높을 때 물질은 boundary segment로부터 유입되고,반대의 경우 물질은 boundary segment로 손실된다. 2.5 오염물 부하 오염물의 유입은 점오염원과 비점오염원으로 나누어 적용할 수 있다. 모두 kg/day의 단위이며, 다음과 같이 정의된다. 여기서, SLik = Loading rate response, g/m3-day Lik = 부하량, kg/day

43. 2.6 화학물질의 거동 TOXI는 화학물질 세 가지, 고형물질 세 가지를 다룰 수 있다. 대상 물질을 적용하는 과정에는 화학물질의 이송, 확산 및 몇 가지 물리․화학․생물학적 반응과 고형물질의 이송, 확산, 침전, 재부상 등 수체와 저니 사이에서 일어나는 이동이 포함된다. TOXI는 화학물질이 겪을 수 있는 대부분의 물리, 화학, 생물학적 반응을 다룰수 있다. 흡착, 이온화, 휘발, 가수분해, 광분해, 산화, 생분해와 여기서 언급되지 않은 여분의 반응도 사용자의 정의에 따라 다룰 수 있다. 가장 간단한 형태로 화학물질에 수체와 침전층 내에서의 이동과 화학물질의 전환, 고체로의 흡착을 적용할 수있다. 이를 위해 1차 부패 상수(first-order decay constants)와 평형 분배계수(equilibrium partition coefficients)를 사용할 수 있는데, 조금 복잡하게는 2차 반응과 비선형 흡착 등온선이나 1차 흡착․탈착 속도 상수를 이용할 수도 있다. 그림 1.4 완전혼합 수체에서 독성물질 수지의 개관

44. 가. 전환 휘발, 생분해, 가수분해, 산화, 광분해 등의 반응에 대해 각각의 일차반응 속도상수를 입력하면, 총 반응은 다음 식에 의해 각 개별 반응의 합에 기초하게 된다. 여기서, Kki = 반응 k에 대한 화학물질 ⅰ의 1차 전환 상수, day-1 (1) 생분해 미생물에 의한 전환, 분해는 박테리아의 효소 시스템 안에서 화합물을 분해하는것이다. 생분해는 유기 화학물질에 대한 생물체의 효소 공격이라는 넓고 복잡한 과정을포함한다. 박테리아와 적은 수의 조류는 지표수의 생분해에서 중요한 역할을 한다. 생분해의 일반적인 두가지 형식은 성장 물질대사(growth metabolism)와 공대사(cometabolism)로 알려져 있다. 성장 물질대사는 유기 화합물이 박테리아의 먹이로 쓰일 때 일어난다. 적응 기간은 2일에서 20일이다. 어떤 화학물질이나 환경에 오래 노출된 경우에는 적응 기간이 필요 없다. 분해자의 밀도가 낮으면 적응 기간이 길어진다. 분해자의 개체수에 생분해가 제한 받는 경우, 적응은 개체수가 많은 경우 빠르고 적은 경우 느려진다. 적응 이후 생분해는 빠른 1차 반응이다. 공대사는 유기 화학물질이 박테리아의 먹이가 되지 못할 때 일어난다. 적응은 거의 필요하지 않고 전환율은 성장 물질대사보다 느리다.

45. 독성 화학물질을 분해하는 박테리아 개체수의 성장 동역학은 잘 알려져 있지 않다. 경쟁 기질과 그 유기물을 분해하는 다른 박테리아의 존재, 화학물질에의 적응가능성 혹은 공대사는 개체수 변화를 정량화하기에 어렵다. 결과적으로 독성 화학물질모델은 직접적으로 박테리아를 모델링하기보다는 일정한 생물학적 활성을 가정한다. 때때로 다른 수계에서 측정된 1차 생분해 속도 상수가 직접 쓰이기도 한다. 여기서, Ki = 화학물질 ⅰ의 segment j에서의 1차 생분해 속도 상수, day-1 TOXI에서는 1차 생분해 속도 상수 대신 수체 혹은 저니에서의 반감기를 이용할 있다. 여기서, T1/2 = 반감기, days 만일 이 속도 상수들이 유사한 조건에서 측정되었다면 이 일차적 접근은 좀 더복잡한 접근법과 비슷한 수준으로 정확할 것이다.

46. 나. 평형 흡착 (1) 흡착 반응의 기본 이론 흡착은 일반적으로 다른 반응에 비해 빠르게 일어나므로 평형이 가정된다. 적당한 농도(10-5M 미만이거나 용해도의 절반 미만)에서 흡착 평형은 용존 상태의화학물질의 농도에 비례한다. 여기서, KPS = 분배 계수(partition coefficient) 평형상태에서 상간의 분포는 분배 계수 KPS에 의해 조절된다. 각 상에서 화학물질의 총 질량은 KPS와 존재하는 고체상(DOC상 포함)의 양에 의해 조절된다. 식(1.25)는 순간적인 평형과 가역성이 가정될 때 사용 가능하다. Water column과 benthic segments 안의 용존 화학물질은 고형물 입자와 용존유기 탄소와 반응해 용존, DOC에 흡착, 고형물에 흡착(3가지 종류의 고형물)된 고체상의 5가지 상을 형성한다. 이 반응은 수체의 단위 부피에 대하여 기술될 수 있다. 여기서, n은 공극률이다.

47. 정반응은 흡착이고 역반응은 탈착이다. 이들 반응은 일반적으로 빠르고 국부평형으로 고려될 수 있다. Cw와 Cs, CB는 평형 분배 계수 Kps0와 KpB(L/kg)에 의해 조절된다. 이 식은 고형물과 DOC에 흡착될 수 있는 공간이 충분하다는 가정하에 선형 Freundlich 등온선으로 주어진다. 화학물질의 총 농도는 다섯 가지 상 농도의 합이다. 위 두 식을 인수분해하고 용존 부분 fD로 나타내면 다음과 같다.

48. 유사하게 고형물와 DOC에 흡착된 부분은 다음과 같이 나타낼 수 있다. 이들 부분은 분배 계수, 내부적으로 계산된 공극률, 예측된 고형물 농도, 정해진 DOC의 농도로부터 모의 수행 동안 결정된다. 주어진 총농도와 다섯 상의 분율, 용존, 흡착, 생물흡착 농도는 다음과 같이 결정된다. 이들 다섯 가지 농도는 mg/L 단위이고 각 상 내에서의 농도로 표현될 수 있다. 이들 농도의 단위는 각각 mg/Lw, mg/kgs, mg/kgB이다.

49. (2) 분배 계수 계산 ․ Option 1 : 측정된 분배 계수 분배 계수를 직접 입력한다. 세 가지 고형물에 대해 각각의 분배 계수를 입력한다. 단위는 Lw/kgs이다. ․ Option 2 : 유기탄소(organic carbon) 분배 계수 고형물의 유기탄소 함량으로 분배계수를 표준화한 것이 KOC(유기탄소분배 계수)인데, 그것은 다른 고형물의 특성이나 지리적인 기원에 대해 독립적이다. 많은 유기 오염물들은 비극성, 소수성 화합물로 이 화합물들의 분배 계수는 고형물의 유기물 분율과 관계가 깊다.평형계수를 실험치와 연결시킨 경험식을 제안했다. 여기서, Koc = 유기탄소 분배 계수, Lw/kgoc focs = 고형물의 유기탄소 분율 1.0 = DOC의 유기탄소 분율 ․ Option 3 : 유기탄소분배계수의 계산 Koc와 화학물질의 용해도의 관계 혹은 화학물질의 옥탄올-물 분배계수는 물질의 분배를 추정하는데 화학물질의 소수성을 통합하는데 성공적인 예측 방법이다.

50. 만일 log Koc 값이 주어지지 않았다면, 옥탄올-물 분배계수 Kow(Lw/Loct)와의 관계에 따라 내부적으로 계산될 것이다. 여기서, a0와 a1 은 일반적으로 각각 log 0.6, 1.0 이며, Koc 값이 결정되면 분배계수계산 과정은 Option 2와 같다. ․ Option 4 : 입자 반응 모형 분배계수는 흡착 대상 입자의 유기탄소 분율 뿐만 아니라 수많은 요인에 따라 결정된다. 이들 중에서 가장 근본적으로 중요하고 가장 논쟁거리가 될 만한 것은 입자의 농도 효과일텐데, 이것은 O'Connor와 Connolly(1980)가 처음 언급했다. 실험에 기초해 O'connor와 Connolly는 분배계수가 역으로 고형물의 농도와 관계있다는 결론을 내렸다. 많은 연구결과 이 발견은 증명되거나 반증되었다. 입자 반응 모형(particle interaction model)은 이 모델은 입자 농도의 효과를 표현한다. 이 모델은 다수의 흡착-탈착 관측 결과를 만족시킨다. 현재 이것은 실험식으로 인정받고 있다. 분배계수를 정의하는 식은 다음과 같다. 여기서, νx = 입자 상호작용 매개변수, 일반적으로 1이다.