Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: Miejskie Gimnazjum im. Stanisława Dulewicza w Darłowie, Gimnazjum im. Ireny Sendler w Lamkach • ID grupy: 98/57_MF_G1 , 98/45_MF_G2 • Opiekun: Alicja Słoma , Jerzy Wiśniewski • Kompetencja: Matematyczno- fizyczna • Temat projektowy: Geometria analityczna • Semestr/rok szkolny: drugi semestr / 2010/2011 r.

3. Geometria analityczna • Linia prosta, okrąg, stożkowe • w kartezjańskim układzie współrzędnych

4. Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie

5. Trochę o układzie… • Układem współrzędnych kartezjańskich nazywa się układ współrzędnych, w którym zadane są: • punkt zwany początkiem układu współrzędnych, którego wszystkie współrzędne są równe zeru, często oznaczany literą O lub cyfrą 0. • zestaw n parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych. • Dwie pierwsze osie często oznaczane są jako: • X (pierwsza oś, zwana osią odciętych), • Y (druga, zwana osią rzędnych), • Liczba osi układu współrzędnych wyznacza tzw. wymiar przestrzeni.

6. Kto to wymyślił ?!.. • Kartezjusz (fr. René Descartes, łac. Renatus Cartesius, ur.31 marca 1596 r. w La Haye-en-Touraine w Turenii, zm. 11 lutego 1650 r. w Sztokholmie) – francuski filozof, matematyk i fizyk, jeden z najwybitniejszych uczonych XVII wieku, uważany za prekursora nowożytnej kultury umysłowej.

7. Efekt 3D !!! • Kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej może być lewo- lub prawoskrętny. Terminy te są czysto umowne, gdyż nie sposób ściśle zdefiniować, jaki układ jest lewo- czy prawoskrętny, można jednak dla dwóch różnych układów sprawdzić, czy mają tę samą czy przeciwną skrętność.

8. Nadal efekt 3D … • Intuicyjnie prawoskrętny jest układ, w którym kiedy wnętrze obracającej się prawej dłoni zakreśla łuk od osi OX do OY, to kciuk ma zwrot zgodny ze zwrotem osi OZ (tzw. reguła prawej dłoni Roberta albo reguła śruby prawoskrętnej). W ten sposób sprawdzamy, czy badany układ ma tę samą skrętność, co układ wyznaczony przez prawą rękę człowieka. Na układzie współrzędnych możemy opisać trzy osie liczbowe x, y i z, co zostało zobrazowane na poprzednim slajdzie.

9. Zastosowanie układu współrzędny • Niektórym może się wydawać że układ współrzędnych to tylko wymysł szalonych matematyków. Jest to nie prawda gdyż jest on w codziennym życiu niezwykle ważny Dzięki wspaniałemu pomysłowi Kartezjusza możemy ułatwić określanie położenia krajów , miast , obiektów , a także nas w danym miejscu.

10. A teraz z polskiego na nasze …. ;) • Układ współrzędnych poznaliśmy już w szkole podstawowej. Wiemy już ze składa się on z dwóch osi : rzędnych (y) i odciętych (x), a także dzieli się na cztery ćwiartki.

11. Jak odczytywać dane z układu… • Punkty z układu współrzędnych odczytujemy w sposób pokazany na ilustracji obok

12. Przykłady układów współrzędnych

13. Wektory w prostokątnym układzie współrzędnych • Dane są punkty płaszczyzny • Współrzędnymi wektora nazywamy liczby:

14. Liczbę nazywamy pierwszą , • a liczbę drugą współrzędną wektora • co zapisujemy : • Jeżeli i i R • suma wektorów i jest wektor • Różnicą wektorów i jest wektor • Iloczynem wektora przez liczbę rzeczywistą k jest • wektor

15. Odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych • Odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych możemy obliczyć wykorzystując twierdzenie Pitagorasa.

16. Warunek równoległości wektorów • Wektory i są równoległe, jeżeli istnieje liczba rzeczywista k taka, że

17. Iloczyn skalarny wektorów w układzie współrzędnych • Jeżeli wektory współrzędne

18. Wielkości wektorowe

19. Wielkości występujące w mechanice można podzielić na: skalary i wektory

20. Skalar Przykładami tej wielkości są na przykład: masa, temperatura, czas, praca, energia. Skalar to wielkość mechaniczna, którą można jednoznacznie określić za pomocą jednej liczby rzeczywistej.

21. Wektor • Wektor jest to wielkość mechaniczna, którą można przedstawić za pomocą usytuowanego w przestrzeni odcinka mającego określony kierunek i zwrot. Przykładami wielkości wektorowych są: siła, prędkość, przyspieszenie. Każdy wektor ma trzy zasadnicze cechy: wartość (moduł), kierunek i zwrot.

22. Własności, które musi mieć wielkość fizyczna, aby przypisać jej cechy wielkości wektorowej, a które nie mogą zależeć od wyboru układu współrzędnych: • 1) kierunek: prosta, na której działa dana wielkość; • 2) zwrot: „orientacja” na danym kierunku; • 3) wartość: reprezentowana przez długość wektora.

23. Aby wielkość fizyczną można było opisać wektorem, musi ona dodawać się jak wektor (według poniższej reguły).

24. Gdzie: ax, ay i az -współrzędne wektora; i, j, k - wersory osi.

25. http://zsgfizyka.republika.pl/liceum/kinematyka/wektory.html • Składanie wektorów współliniowych

26. Składanie wektorów niewspółliniowych • Nieco trudniej składać wektory, które nie są wzajemnie równoległe. Nie można tego uczynić algebraicznie, poza szczególnym przypadkiem wektorów wzajemnie prostopadłych. W tym szczególnym przypadku stosujemy Twierdzenie Pitagorasa oraz wyrażenia na sinus i cosinus kąta w trójkącie prostokątnym. • W ogólnym przypadku, dodawanie jest możliwe tylko metodą graficzną (na szkolnym poziomie matematyki), czyli z zastosowaniem zasady równoległoboku.

27. Przyspieszenie jest wektorową wielkością fizyczną. • Jeśli ruch jest prostoliniowy i przyspieszony, to wektor przyspieszenia ma ten sam zwrot, co wektor prędkości. Wektor przyspieszenia może być także prostopadły do wektora prędkości (tak jest np. w ruchu jednostajnym po okręgu).

28. Zadania rachunek wektorowyWspółliniowe • Na ciało zanurzone w wodzie działają siły: wyporu 50N, ciężkości 40 N i oporu wody 10 N. Jak zachowuje się to ciało w wodzie? • Żaglówka o masie 200 kg płynie po rzece, której szybkość prądu wody jest równy 5 m/s i jest skierowany na północ. Na żagiel działa siła 50 N skierowana na północ. Jakie przyspieszenie osiąga łódka, jeżeli siła oporu wody wynosi 10N. Po jakim czasie jej prędkość wyniesie 6 m/s.

29. Dwóch chłopców ciągnie wózek, każdy z nich działa na wózek z siłą równą 100N, ale pod katem sześćdziesięciu stopni. Jaką ma wartość i wzdłuż jakiej linii skierowana jest siła działająca na wózek? • Oblicz składowe wersora dla wektora kierunkowego a=(3,4) • Oblicz sumę wektorów a=(2,3), b=(-4,5), c=(3,-7) i oblicz jego wartość. • Jaki wektor trzeba odjąć od wektora a=(18,8) aby otrzymać wektor c=(8,8)? • Jakie składowe kierunkowe będzie miał wektor prędkości v=(4,0) ciała poruszającego się po okręgu, na które działa przyspieszenie a=(0,1)m/s2 przez 3 sekundy.

30. Przykłady wielkości wektorowych

31. PRZYKŁADY DZIAŁAŃ NA WEKTORACH W POSTACI ANALITYCZNEJ

33. Dane odnoszące się do przykładów ponizej. • Wektory wyjściowe:

34. Przykłady działań na wektorach w postaci analitycznej

35. Prędkość • Prędkość (wyrażona w m/s) informuje nas o tym, jaką drogę przebywa ciało w ciągu 1 sekundy. Prędkość, wektorowa wielkość fizyczna określająca zmianę położenia ciała w czasie. • v - prędkość • s - droga • t - czas

36. SIŁA • Siła – wektorowa wielkość fizyczna będąca miarą oddziaływań fizycznych między ciałami. • Jednostką miary siły w układzie SI jest niuton [N]. Nazwa tej jednostki pochodzi od nazwiska wybitnego fizyka Isaaca Newtona. • Siła ma wartość 1 N, jeżeli nadaje ciału o masie 1 kg przyspieszenie 1 m/s². • F- siła • m – masa • a - przyspieszenie

37. Pęd • Pęd – w mechanice wielkość fizyczna opisująca ruch obiektu fizycznego. Pęd mogą mieć wszystkie formy materii, np. ciała o niezerowej masie spoczynkowej, pole elektromagnetyczne, pole grawitacyjne.

38. Natężenie pola elektrycznego • Natężenie pola elektrycznego - wektorowa wielkość fizyczna opisująca pole elektryczne. • Natężenie pola elektrycznego jest równe sile działającej na jednostkowy dodatni ładunek próbny, • H– natężenie pola magnetycznego, • I – prąd przepływający

39. Ciężar • Ciężar – siła z jaką Ziemia lub inne ciało niebieskie przyciąga dane ciało, w układzie odniesienia związanym z powierzchnią ciała niebieskiego. Ciężar jest wypadkową sił przyciągania grawitacyjnego i siły odśrodkowej wynikającej z ruchu obrotowego określonego ciała niebieskiego. • P – ciężar ciała • γ – ciężar właściwy substancji z której zrobione jest ciało • V – objętość ciała

40. Linia prosta lub prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie • W niektórych ujęciach, w tym w klasycznej geometrii euklidesowej, prosta jest tzw. pojęciem pierwotnym, niedefiniowanym formalnie w obrębie danej teorii. Można ją jednak interpretować za pomocą pojęć wykraczających poza geometrię, np. jako zbiór punktów o współrzędnych spełniających pewne równanie. Równanie w postaci kierunkowej a- współczynnik kierunkowy b- wyraz wolny

43. Geometryczna interpretacja układu dwóch równań liniowych o dwóch niewiadomych

44. Równanie okręgu oraz wzajemne położenie prostej i okręgu

45. Wzajemne położenie prostej i okręgu • 1. Prosta z okręgiem może mieć jeden punkt wspólny i wtedy mówimy, że prosta jest styczna do okręgu; • odległość prostej od środka okręgu = r • odległość prostej od środka okręgu > r

46. 2. Prosta, która ma dwa punkty wspólne z okręgiem, to sieczna; • odległość prostej od środka okręgu < r

47. Wzajemne położenie prostej i okręgu • Niech d oznacza odległość środka okręgu od prostej l. • W zależności od położenia prostej względem okręgu mamy: • odległość środka okręgu od prostej jest większa od długości promienia. • odległość środka okręgu od prostej jest równa długości promienia. • odległość środka okręgu od prostej jest mniejsza od długości promienia.

48. 3. Prosta, która nie ma punktów wspólnych z okręgiem, to prosta zewnętrzna

49. Wzajemne położenie prostej i okręgu • Przykład 1: Określ wzajemne położenie prostej i okręgu • (x-3) 2+y2 =1, y=-3/4x+1 • Podstawiamy y do równania okręgu • (x-3) 2+(-3/4x+1)2 =1 • x 2+9/16x2 -6x-6/4x+9+1=1 mnożymy wszystko przez 16 • 25 x 2 -120x+ 144=0 • Ä=120 2-4∙25∙144; żeby prosta była styczna musimy mieć tylko jeden pierwiastek, czyli delta musi być równa 0 • 14400-1400=0, a zatem otrzymujemy tylko jedno rozwiązanie, czyli prosta jest styczna

50. Równanie okręgu • Okręgiem o środku O i promieniu r (r>0) nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległości od punktu O są równe r. • Okrąg o środku O i promieniu długości r oznaczamy o(O, r).