Lineare Strahlenoptik

1. Lineare Strahlenoptik von Simon Schlesinger

2. Übersicht • Motivation • Bewegung geladener Teilchen im B-Feld • Klassischer Ansatz • Herleitung der Bewegungsgleichung • Strahlführungsmagnete • Wirkung der Magnete • Geometrische Beschaffenheit • Matrizenformalismus • Mögliche Teilchenbahnen • Beschreibung durch Vektoren+Matrizen • Beispielkonfiguration: FODO-Element • Zusammenfassung Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 2

3. Motivation • Analogie zur klassischen Optik • Warum nicht „E-Feld Optik“ ? • Einfachheit des Formalismus (Matrizenmultiplikation) • Anwendung: • Elektronenmikroskop • Teilchenbeschleuniger (Linear und Ring) • Massenspektrometer • … Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 3

4. Bewegung geladener Teilchen im B-Feld (I) • Wahl des KoordinatensystemsTeilchenstrahl in Richtung s: (0,0,v)Magnetfeld in Richtung x und z: (Bx,Bz,0) • Kräftegleichgewicht zw. Lorentz- und Zentrifugalkraft • Taylorentwicklung Dipol Quadrupol Sextupol Oktupol Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 4

5. Bewegung geladener Teilchen im B-Feld (II) • Setze Ursprung des Koordinatensystems auf Orbit und führe Zylinderkoordinaten ein: • Zeitliche Ableitungen der Einheitsvektoren: • Linearkombination: Mit Aufpunkt , für den gilt: Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 5

6. Bewegung geladener Teilchen im B-Feld (III) Erinnere Einheitsvektoren: Durch Kenntnis von lässt sich die Bewegungsgleichung der Teilchen nach Newton aufstellen: Mit Hilfe von folgt: Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 6

7. Bewegung geladener Teilchen im B-Feld (IV) Koeffizientenvergleich und Vernachlässigung der s-Beschleunigung ergibt dann: Wobei und ausgenutzt wurden. Einsetzen der lin. Näherung für B und Ausnutzen von und liefert: Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 7

8. Strahlführungsmagnete (I) • Wie muss die Beschaffenheit eines Magneten sein, um ein entsprechendes Feld (1/R, k, m,…) zu erzeugen? • Antwort: Liegt in kl. E-Dyn. begründet, denn nach Maxwell gilt:Alle Punkte auf der Oberfläche besitzen dasselbe Potential! • Geben wir einen Feldverlauf G entlang der x-Achse vor, so erhält man mit Hilfe der Laplace - Gleichung einen Ausdruck für das skalare Potential: • Für konventionelle Eisenmagneten können wir nun neben Geometrie auch die Feldstärkegrößen (1/R, k, m…) bestimmen! Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 8

9. Strahlführungsmagnete (II) Dipolmagnet • Feldstärkenverlauf auf x-Achse konstant: • Magnetfeld: • Dipolmoment: • Wirkung: Ablenkung unter Radius R Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 9

10. Strahlführungsmagnete (III) Quadrupolmagnet Feldstärke • Feldstärkenverlauf auf x-Achse linear: • Magnetfeld: • Quadrupolmoment: • Wirkung: Bei k<0 Fokussierung zum Orbit bzw. bei k>0 Defokussierung Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 10

11. Teilchenbahnen + Matrizenformalismus (I) Bewegungsgleichung der linearen Strahlenopik: Nicht gekoppelte DGL, daher betrachte z.B. nur horizontale Richtung (x) und vernachlässige Impulsunschärfe: Dipol (k=0) Quadrupol (1/R=0) Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 11

12. Teilchenbahnen + Matrizenformalismus (II) Beispiel: Quadrupol-Lösung für k>0 mit gelöstem AWP Die Differentialgleichung liefert dann z.B. die reellen Lösungen: Setzen wir und schreiben dann in Matrixform: Mit dieser vektoriellen Beschreibung kennen wir neben der Ablage in x-Richtung auch die Tendenz der Auslenkung (Steigung). Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 12

13. Teilchenbahnen + Matrizenformalismus (III) Analog findet man Matrizen für weitere DGL Lösungen: • Defokussierung (k>0): • Fokussierung (k<0): • Freie Driftstrecke (k=0): • Ablenkung (Dipol): Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 13

14. Teilchenbahnen + Matrizenformalismus (IV) • Beschreibung des Teilchens komplett mit 4-Komponentenvektor: • 2x2 Matrizen gehen über zu 4x4 Matrizen (vgl. DGL) • System vieler Magnete durch Matrixmultiplikation beschrieben, z.B.: Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 14

15. Teilchenbahnen + Matrizenformalismus (V) FODO-Prinzip (Starke Fokussierung) • Ziel: Möglichst gute Fokussierung eines Teilchenstroms • Problematik: Ein in x-Richtung fokussierender Quadrupol defokussiert in z-Richtung und umgekehrt! • Abhilfe: FODO-Optik Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 15

16. Teilchenbahnen + Matrizenformalismus (VI) FODO-Prinzip (Starke Fokussierung) • Matrixmultiplikation einer FODO-Zelle:Länge der Driftstrecke: d , Länge eines Magneten: m • Durch die Kombination von fokussierenden und defokussierenden Quadrupolen erreicht man also eine resultierende Fokussierung zum Orbit! Quadrupol 90°-Drehung Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 16

17. Zusammenfassung • Beschreibung der Bewegung von bewegten Teilchen in linearer Näherung gegeben durch: • Wirkung + geometrische Beschaffenheit der Führungsmagnete:i) Dipol: Strahlablenkungii) Quadrupol: Strahl(de)fokussierungiii) (Sextupol: Feldfehlerkompensation…) • Matrizenformalismus zur systematischen Ablagebestimmung mit Grundmatrizen zur Ablenkung, (De)Fokussierung und freien Driftstrecken bei beliebigen Anordnungen (z.B. FODO). Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 17

18. Literatur • Wille, Klaus – „Physik der Teilchenbeschleuniger und Synchrotronstrahlungsquellen“ – Teubner • http://www-ttp.particle.uni-karlsruhe.de/GK/Workshop/Beschleunigerphysik2.pdf • http://de.wikipedia.org Vielen Dank für Aufmerksamkeit und Interesse! Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 18