Chương 6: Đại số Boole

1. Chương 6:Đại số Boole Bài giảng Môn học

2. Mở đầu • Đại số Boole đưa ra các phép toán làm việc với tập {0, 1} • Các phép toán thường dùng trong đại số Boole: • Phép lấy phần bù được định nghĩa bởi : 0 = 1 và 1 = 0 • Phép lấy tổng Boole, ký hiệu ‘+’: 1 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1, 0 + 0 = 0 • Phép lấy tích Boole, ký hiệu ‘.’: 1.1 = 1, 1.0 = 0, 0.1 = 0, 0.0 = 0 Bài giảng Môn học

3. Mở đầu (tt) • Phép lấy phần bù, tổng và tích Boole tương ứng với các toán tử logic , , , trong đó 0 tương ứng với F (false, sai) và 1 tương ứng với T (true, đúng). Các kết quả của đại số Boole có thể được dịch trực tiếp thành mệnh đề và ngược lại. Bài giảng Môn học

4. Hàm Boole • Định nghĩa: Cho B = {0,1}. • Biến x được gọi là biến Boole nếu nó chỉ nhận giá trị từ B • Một hàm đi từ BnB được gọi là hàm Boole bậc n • Hàm Boole thường được biểu diễn bằng cách dùng các biểu thức được tạo bởi các biến và phép toán Boole Ví dụ: F(x, y, z) = xy + z • Có hàm Boole bậc n khác nhau ? Bài giảng Môn học

5. Các hằng đẳng thức của đại số Boole Bài giảng Môn học

6. Các hằng đẳng thức của đại số Boole (tt) Bài giảng Môn học

7. Chứng minh các hằng đẳng thức • Ví dụ 1: Chứng minh sự đúng đắn của luật phân phối x(y +z) = xy +xz Bài giảng Môn học

8. Chứng minh các hằng đẳng thức(tt) • Dùng các hằng đẳng thức đã có để chứng minh các hằng đẳng thức khác • Ví dụ: Chứng minh luật hấp thu x(x + y) = x bằng cách dùng các hằng đẳng thức của đại số Boole. Giải: x(x +y) = (x+0)(x +y) – luật ? = x + 0.y – luật ? = x + 0 – luật ? = x – luật? Bài giảng Môn học

9. Tính đối ngẫu • Đối ngẫu của biểu thức Boole nhận được bằng cách các tổng và tích Boole đổi chỗ cho nhau, các số 0 và 1 đổi chỗ cho nhau Ví dụ: Đối ngẫu của biểu thức x. 1 + (y +z) là ? • Một hằng đẳng thức giữa các hàm biểu diễn bởi bởi các biểu thức Boole vẫn còn đúng nếu ta lấy đối ngẫu hai vế của nó. Bài giảng Môn học

10. Định nghĩa trừu tượng của đại số Boole • Định nghĩa:Đại số Boole là một tập B có hai phần tử 0 và 1 với hai phép toán hai ngôi  và , và một phép toán một ngôi sao cho các tính chất sau đây đúng với mọi x, y, z thuộc B. Luật đồng nhất Luật nuốt Luật kết hợp Bài giảng Môn học

11. Định nghĩa trừu tượng của đại số Boole (tt) Luật giao hoán Luật phân phối Bài giảng Môn học

12. Biểu diễn các hàm Boole • Khai triển tổng các tích (dạng tuyển chuẩn tắc) Ví dụ: Tìm các biểu thức Boole biểu diễn các hàm F(x, y, z) và G(x, y, z) có các giá trị được cho trong bảng sau: Bài giảng Môn học

13. Biểu diễn các hàm Boole • Khai triển tổng các tích (dạng tuyển chuẩn tắc) Ví dụ 1: Tìm các biểu thức Boole biểu diễn các hàm F(x, y, z) và G(x, y, z) có các giá trị được cho trong bảng sau:  F(x, y, z) = xyz G(x, y, z) = xyz + xyz Bài giảng Môn học

14. Biểu diễn các hàm Boole(tt) • Ví du 2: Tìm khai triển tổng các tích của hàm F(x, y, z) = (x + y) z Giải: Bảng giá trị của hàm F:  F(x, y, z) = ? Bài giảng Môn học

15. Biểu diễn các hàm Boole(tt) Khai triển tích các tổng (dạng hội chuẩn tắc): Lấy đối ngẫu từ khai triển tổng các tích. Ví dụ: Tìm dạng khai triển tích các tổng của hàm F(x, y, z) và G(x, y, z) ở ví dụ 1. Bài giảng Môn học

16. Tính đầy đủ • Tất cả các hàm Boole đều có thể bằng cách dùng các phép toán Boole . , + , . • Khi đó ta nói tập hợp {. , + , } là đầy đủ Ta có: • Tập {., } là đầy đủ ? • Tập {+, } là đầy đủ ? • Tập {., +} không phải là đầy đủ ? • Tập {|} là đầy đủ, tập {} là đầy đủ ? (phép | hay NAND và  hay NOR được định nghĩa: 1|1 = ? , 1|0 = ? ,0|1 = ? ,0|0 = ? . 11 = ? , 10 = ? , 01 =? ,0 0 = ? .) Bài giảng Môn học

17. Tính đầy đủ (tt) • Tập {., } là đầy đủvì: x + y = x y • Tập {+, } là đầy đủ vì: x.y = ? • Tập {|} là đầy đủ vì: x = x|y xy = (x|y)|(y|x) • Tập {} là đầy đủ vì: ? Bài giảng Môn học

18. Các cổng logic x y • Các loại cổng cơ bản: • Cổng NOT hay bộ đảo: x x • Cổng AND: • Cổng OR xy x x + y y Bài giảng Môn học

19. Các cổng logic (tt) x1 x1 x2 x2 x1 x2… xn xn xn • Các cổng có n đầu vào: x1 + x2 +…+ xn Bài giảng Môn học

20. Mạch tổ hợp • Ví dụ 1: Dựng các mạch tạo các đầu ra sau: a) (x + y)x ; b) (x + y +z)( x y z ) Giải: a) b) ? x x + y (x + y)x y x z Bài giảng Môn học

21. Mạch tổ hợp (tt) • Ví dụ 2: Một ủy ban gồm ba thành viên phải quyết định các vấn đề của một tổ chức. Mỗi thành viên bỏ phiếu tán thành hoặc không cho mỗi một đề nghị được đưa ra. Một đề nghị được thông qua nếu nó nhận được ít nhất hai phiếu tán thành. Hãy thiết kế một mạch cho phép xác định được một đề nghị có được thông qua hay không. (Lưu ý: Các mạch mà đầu ra chỉ phụ thuộc vào đầu vào chứ không phụ thuộc vào trạng thái hiện thời của mạch, được gọi là các mạch tổ hợp) Bài giảng Môn học

22. Mạch tổ hợp (tt) x xy y x xz xy + xz + yz z y yz z Giải: Biểu diễn của hàm Boole có giá trị đầu ra là: xy + xz + yz  Mạch bỏ phiếu theo đa số: Bài giảng Môn học

23. Bộ cộng x s Bộ nửa cộng y c • Bộ nửa cộng: Cộng hai bit, không xét đến số nhớ từ phép cộng trước. • Bảng giá trị của bộ nữa cộng: Bài giảng Môn học

24. Bộ cộng (tt) • Bộ công đầy đủ: Dùng để tính bit tổng và bit nhớ khi hai bit được cộng cùng với số nhớ từ trước. • Bảng giá trị cho bộ cộng đầy đủ Bài giảng Môn học

25. Bộ cộng (tt) x Bộ cộng đầy đủ s y cout cin • Bộ cộng đầy đủ: Bài giảng Môn học

26. Bộ cộng (tt) xo so Bộ nữa cộng co yo Bộ cộng đầy đủ s1` x1 c1 s2 Bộ cộng đầy đủ y1 x2 c2 = s3 y2 • Ví dụ: Mạch cộng hai số nguyên dương ba bit (x0 x1 x2) và (y0 y1 y2) Bài giảng Môn học

27. Cực tiểu hóa các mạch • Ví dụ: Dựng mạch có đầu ra ra bằng 1 nếu và chỉ nếu x = y = z = 1 hoặc x = z = 1 và y = 0. Giải Cách 1: Cách 2: Khai triển tổng các tích của Khai triển tổng các tích của mạch là: xyz + xyz mạch là: xyz + xyz . . Ta có: xyz +xyz = (y + y)xz = 1.xz = xz Bài giảng Môn học

28. Cực tiểu hóa các mạch x xyz y z xyz + xyz x xyz y x xz y z z • Ví dụ: Dựng mạch có đầu ra ra bằng 1 nếu và chỉ nếu x = y = z = 1 hoặc x = z = 1 và y = 0. Giải Cách 1: Cách 2: Khai triển tổng các tích của Khai triển tổng các tích của mạch là: xyz + xyz mạch là: xyz + xyz . . Ta có: xyz +xyz = (y + y)xz = 1.xz = xz Bài giảng Môn học

29. Cực tiểu hóa các mạch (tt) • Bản đồ Karnaugh: Cho chúng ta một phương pháp trực quan để rút gọn khai triển tổng các tích. Bài giảng Môn học

30. Cực tiểu hóa các mạch (tt) y y y y y y y y x x x x x x x x • Bản đồ Karnaugh hai biến: • Ví dụ: Tìm bảng đồ Karnaugh cho a) xy + xy b) xy + xy c) xy + xy + xy ?? Bài giảng Môn học

31. Cực tiểu hóa các mạch (tt) y y y y y y y y x x x x x x x x • Bản đồ Karnaugh hai biến: • Ví dụ: Tìm bảng đồ Karnaugh cho a) xy + xy b) xy + xy c) xy + xy + xy ??  xy + xy = x , xy + xy = ? , xy + xy + xy =? Bài giảng Môn học

32. Cực tiểu hóa các mạch (tt) yz yz yz yz x x • Bảng đồ Karnaugh ba biến: Bài giảng Môn học

33. Cực tiểu hóa các mạch (tt) • Ví dụ: Dùng bảng đồ Karnaugh rút gọn khai triển tổng các tích sau: Bài giảng Môn học

34. Cực tiểu hóa các mạch (tt) yz yz yz yz x x Giải: a) Bài giảng Môn học

35. Cực tiểu hóa các mạch (tt) yz yz yz yz x x Giải: b) Bài giảng Môn học

36. Cực tiểu hóa các mạch (tt) • Bảng đồ Karnaugh bốn biến: • Ví dụ: Dùng bảng đồ Karnaught rút gọn khai triển tổng các tích: ? ? ? ? ? ? ? ? Bài giảng Môn học