Autovalores y Autovectores

1. Autovalores y Autovectores Generalidades Círculos de Gerschgorin Método de las Potencias Transformaciones Similares Prof. Dra. Nélida Beatriz Brignole

2. Definición del Problema

3. Ejemplo

4. Interpretación geométrica • La multiplicación por A dilata a x , contrae a x, o revierte la dirección de x, dependiendo del autovalor de A

5. Instrucciones: • Reemplazar iconos de ejemplo por iconos de documentos activos así: • Crear documento en Word. • Volver a PowerPoint. • En el menú Insertar, seleccione Objeto... • Haga clic en “Crear desde archivo” • Ubique el nombre de archivo en el cuadro “Archivo” • “Mostrar como icono” debe estar activado. • Haga clic en Aceptar • Seleccione un icono • En el menú Presentación, seleccione Configuración de la acción. • Haga clic en “Acción de objeto” y seleccione “Modificar” • Haga clic en Aceptar Teorema de Gerschgorin • Sea con autovalores • Sean los círculos • Entonces

6. Ejemplo

7. Demostración

8. Demostración (cont.)

9. Instrucciones: • Reemplazar iconos de ejemplo por iconos de documentos activos así: • Crear documento en Word. • Volver a PowerPoint. • En el menú Insertar, seleccione Objeto... • Haga clic en “Crear desde archivo” • Ubique el nombre de archivo en el cuadro “Archivo” • “Mostrar como icono” debe estar activado. • Haga clic en Aceptar • Seleccione un icono • En el menú Presentación, seleccione Configuración de la acción. • Haga clic en “Acción de objeto” y seleccione “Modificar” • Haga clic en Aceptar Método de las Potencias

10. Instrucciones: • Reemplazar iconos de ejemplo por iconos de documentos activos así: • Crear documento en Word. • Volver a PowerPoint. • En el menú Insertar, seleccione Objeto... • Haga clic en “Crear desde archivo” • Ubique el nombre de archivo en el cuadro “Archivo” • “Mostrar como icono” debe estar activado. • Haga clic en Aceptar • Seleccione un icono • En el menú Presentación, seleccione Configuración de la acción. • Haga clic en “Acción de objeto” y seleccione “Modificar” • Haga clic en Aceptar Método de las Potencias (cont.)

11. Método de las Potencias (cont.)

12. Algoritmo: Método de las Potencias

13. Efecto del Escalado

14. Efecto del Escalado (cont.)

15. Instrucciones: • Reemplazar iconos de ejemplo por iconos de documentos activos así: • Crear documento en Word. • Volver a PowerPoint. • En el menú Insertar, seleccione Objeto... • Haga clic en “Crear desde archivo” • Ubique el nombre de archivo en el cuadro “Archivo” • “Mostrar como icono” debe estar activado. • Haga clic en Aceptar • Seleccione un icono • En el menú Presentación, seleccione Configuración de la acción. • Haga clic en “Acción de objeto” y seleccione “Modificar” • Haga clic en Aceptar Velocidad de Convergencia

16. Cálculo del Autovalor Dominante Cociente de Rayleigh

17. Cálculo del Mínimo Autovalor

18. Algoritmo MP Inverso

19. Método de las Potencias con Corrimiento

20. Shifting

21. Algoritmo MPI con Corrimiento

22. Resumen

23. Instrucciones: • Reemplazar iconos de ejemplo por iconos de documentos activos así: • Crear documento en Word. • Volver a PowerPoint. • En el menú Insertar, seleccione Objeto... • Haga clic en “Crear desde archivo” • Ubique el nombre de archivo en el cuadro “Archivo” • “Mostrar como icono” debe estar activado. • Haga clic en Aceptar • Seleccione un icono • En el menú Presentación, seleccione Configuración de la acción. • Haga clic en “Acción de objeto” y seleccione “Modificar” • Haga clic en Aceptar Conclusiones: Método de las Potencias • Ventaja • Simplicidad • Desventajas • Calcula los autovalores individualmente • Requiere un autovalor dominante • Surgen problemas con autovalores complejos • Requiere buena distancia entre el autovalor dominante y su vecino • La inicialización del autovector afecta la velocidad de convergencia • Herramienta para propósitos especiales • Muy buena si se conoce bien el problema • Necesidad de herramientas de propósito general ... • que exijan tomar menos decisiones • que calculen todo el espectro a la vez

24. Instrucciones: • Reemplazar iconos de ejemplo por iconos de documentos activos así: • Crear documento en Word. • Volver a PowerPoint. • En el menú Insertar, seleccione Objeto... • Haga clic en “Crear desde archivo” • Ubique el nombre de archivo en el cuadro “Archivo” • “Mostrar como icono” debe estar activado. • Haga clic en Aceptar • Seleccione un icono • En el menú Presentación, seleccione Configuración de la acción. • Haga clic en “Acción de objeto” y seleccione “Modificar” • Haga clic en Aceptar Transformaciones Similares • Las matrices se denominan SIMILARES si no singular tal que • Las transformaciones similares preservan los autovalores

25. Teorema Demostración

26. Factorización Sucesiva Propósito: Generar una sucesión de matrices similares, tendiendo a lograr una forma especial

27. Diagonalización • Autovalores distintos => Autovectores L.I. => Existe inversa de X • Si A es simétrica => Sus autovalores son reales • X es ortogonal

28. Es una buena idea emplear rutinas prefabricadas? • Pregunta crucial que nos hemos hecho desde el principio. • “Diagonalizar matrices es un campo muy complejo de la matemática, y ha exigido gran cantidad de tiempo y de trabajo desarrollar y verificar todas las rutinas realizadas” • “Libros de tanta reputación y calidad como el Numerical Recipes recomiendan usar paquetes de rutinas. De hecho, existen gran cantidad de rutinas de calidad y que son aceptadas por la comunidad científica, como es el caso de EISPACK, IMSL o NAG. “

29. Experiencia • “Sin embargo, al ejecutar el código verificamos que el programa comenzó a fallar y a generar datos erróneos. Tras varias semanas de verificación del código, llegamos a la conclusión que el código estaba mal: eran las rutinas de autovalores. Y estudiando en profundidad dichas rutinas percibimos que, por su implementación interna, tenía comentado un escalado para que fuera más deprisa. Eliminado el comentario del escalado, sí volvió a dar resultados correctos. Sin embargo, esto ya sentó las dudas sobre qué estabamos empleando para resolver nuestras ecuaciones. Por otro lado, analizamos los límites internos de las rutinas.“

30. Rutinas prefabricadas • “Emplear rutinas ya prefabricadas es, en nuestra opinión, una buena opción para cuando no es un cálculo que hagamos con frecuencia o que suponga peso en los cálculos para nuestro algoritmo.” • “En caso de que la diagonalización sea una parte importante de nuestro trabajo, sólo podemos emplear rutinas prefabricadas para las primeras fases de prototipado o para generar baterías de pruebas para asegurarnos de la corrección de nuestras rutinas, y sin tomar como axiomas los resultados numéricos de ninguna de las dos rutinas.” • “Como rutinas prefabricadas hemos empleado las IMSL, que son bastante buenas. Están en Fortran, lo que fué una ventaja en las primeras fases del proyecto -en las que el Fortran fué nuestro lenguaje de programación- y un inconveniente en las últimas fases -que portamos todo el código a C, fundamentalmente por la gestión de memoria dinámica, de la que Fortran 77 carece y, en Fortran 90 y posteriores, es menos eficiente que en C.“

31. Matrices Triangulares ¿Cómo transformar matrices arbitrarias en matrices triangulares con los mismos autovalores?

32. Teorema de Schur Sea Entonces existe una matriz unitaria tal que donde es triangular superior. Los elementos diagonales de son los autovalores de

33. Forma Real de Schur

34. Lectura obligatoria • Rao págs 270-291 • Rao págs 315-324