Concepto de autovectores y autovalores

1. Concepto de autovectores y autovalores Hallar los x  R2 / x ≠0 y f(x) tiene la misma dirección que x , para : • f : R2R2 / f(x,y) = (x,-y) • f( x,y) = (3x+y, x+3y) • f(x,y) = ( x+y , -x+y)

2. Autovalores y autovectores : Definición Dada f: V→V T.L. Un vector X ≠0 se llama autovector y su autovalor correspondiente si y solo si f(X) = X

3. Propiedades de los autovectores • S = { x / x =0 o x es un autovector correspondiente al autovalor } es un subespacio • X es autovector de una matriz A si y solo si existe tal que det (A - I ) = 0 • Los autovectores correspondientes a autovalores diferentes son l.i.

4. Matriz Diagonalizable . Definición Sea f: V→V y sea A =  fW ,con W base cualquiera de V , diremos : A es una matriz diagonalizable si existe una base B /  fB es una matriz diagonal

5. Propiedades • A Rnxn es una matriz diagonalizable ↔ existe B = { v1,v2,…vn} base de Rn formada por autovectores de A • Consecuencia : Una matriz A Rnxn es diagona- lizable si y solo si tiene n autovectores l.i. • Si una matriz A Rnxn es diagonalizable → existe P inversible ,tal que A = P-1. D.P siendo D una matriz diagonal

6. Diagonalización de matrices SimétricasProposiciones • Las matrices simétricas son siempre diagonalizables .( sin demostración ) • Los autovectores de matrices simétricas correspondientes a autovalores diferentes son ortogonales • Si f : V→V es una T.L. / A =║f║w es una matriz simétrica → a)existe una base B ortonormal / ║f║B=D es diagonal . b) existe una matriz P / D = PT.A.P