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Autovalores y autovectores. Diagonalización

Autovalores y autovectores. Diagonalización. Autovalores. Def.: Se dice que es autovalor o valor propio de

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Autovalores y autovectores. Diagonalización

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Presentation Transcript

  1. Autovalores y autovectores. Diagonalización Autovalores. Def.: Se dice que es autovalor o valor propio de si existe A matriz asociada respecto de la base canónica R. Carballo (Univ. Cantabria, 2008)

  2. Obtención de los autovalores. es un polinomio de grado n, denominado polinomio característico de la matriz. Tiene n raíces en total, incluyendo las reales, las complejas y sus multiplicidades. Las raíces reales son los autovalores1 y su multiplicidad como raíces se denomina multiplicidad algebraica. R. Carballo (Univ. Cantabria, 2008)

  3. Propiedad: Los autovalores de las matrices triangulares son los elementos de la diagonal principal. En efecto el determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal, por tanto: R. Carballo (Univ. Cantabria, 2008)

  4. Autovectores. Subespacios propios. Def.: Se dice que es autovector o vector propio de f correspondiente al autovalor si o lo que es lo mismo R. Carballo (Univ. Cantabria, 2008)

  5. Def.: El conjunto de todos los autovectores correspondientes a un autovalor λ se denomina subespacio propio correspondiente al autovalor λ siendo rλla multiplicidad algebraica del autovalor. A la dimensión de Vλse le denomina multiplicidad geométrica del subespacio propio. R. Carballo (Univ. Cantabria, 2008)

  6. Observación: Nótese que por ser Vλsubespacio, los múltiplos y combinaciones lineales de autovectores de un λ son autovectores del mismo λ. La suma de subespacios propios es suma directa. Dados λ1 ,λ2 , , … , λm autovalores distintos, se cumple: R. Carballo (Univ. Cantabria, 2008)

  7. Ejercicio 1: Autovalores, autovectores y subespacios propios del endomorfismo de R2 : Polinomio característico: Raíces reales = autovalores: R. Carballo (Univ. Cantabria, 2008)

  8. Autovectores para el autovalor -4 El subespacio propio tiene dimensión 1, por tanto multiplicidad geométrica 1. (Ya lo sabíamos pues multiplicidad algebraica 1). R. Carballo (Univ. Cantabria, 2008)

  9. Autovectores para el autovalor 3 El subespacio propio tiene dimensión 1, por tanto multiplicidad geométrica 1. (Ya lo sabíamos pues multiplicidad algebraica 1). R. Carballo (Univ. Cantabria, 2008)

  10. Ejercicio 2: Calcula los autovalores y subespacios propios de los endomorfismos de R3 : Ejercicio 3: ¿Se puede decir algo sobre los autovalores y autovectores de los siguientes endomorfismos? f en R3 tal que Kerf = < (1,2,0), (0,3,1)> f en R2 tal que la recta y = 6x permanece fija f en R3 tal que los vectores del plano x+2y-3z=0 permanecen fijos. R. Carballo (Univ. Cantabria, 2008)

  11. Ejercicio 4: Calcula los autovalores, subpespacios propios y dimensiones de los endomorfismos de R3 : R. Carballo (Univ. Cantabria, 2008)

  12. R. Carballo (Univ. Cantabria, 2008)

  13. Endomorfismos diagonalizables. Un endomorfismo f en Rn con matriz asociada A se dice diagonalizable si cumplecualquiera de estas características equivalentes, vistas en el Capítulo 4: Existen matrices P inversible y D diagonal tales que A = P D P-1 Existe base B de Rn La matriz asociada respecto a B es: R. Carballo (Univ. Cantabria, 2008)

  14. Observamos por tanto que f diagonalizable si y sólo si existe base de Rn formada por vectores propios. Expresado en palabras f ( o la matriz A ) diagonalizable si y sólo si todas las raíces del polinomio característico son reales y las multiplicidades algebraica y geométrica coinciden. R. Carballo (Univ. Cantabria, 2008)

  15. La matriz P tiene por columnas una base de autovectores y los elementos de D son los correspondientes autovalores. R. Carballo (Univ. Cantabria, 2008)

  16. ¿Son diagonalizables las matrices del Ejercicio 4? R. Carballo (Univ. Cantabria, 2008)

  17. Varias propiedades: Propiedad: Si A tiene n autovalores distintos, entonces es diagonalizable. Potencia de una matriz A diagonalizable. Supongamos que queremos calcular la potencia k de una matriz A diagonalizable. Entonces podemos utilizar: A = P D P-1 => Ak = ( P D P-1) … ( P D P-1) = P Dk P-1 k veces Dk es sencilla de obtener, porque es la matriz diagonal cuyos elementos son los originales de D elevados a la potencia k. R. Carballo (Univ. Cantabria, 2008)

  18. Otras propiedades: Si s es autovalor de A y x es un autovector asociado, entonces sk es autovalor de Ak y x es autovector asociado. Dem: Ak x = sk x A es singular (no inversible) si y sólo tiene el autovalor 0. Dem: Si tiene autovalor nulo |A – 0 I | = | A | = 0 A y At tienen los mismos autovalores. Si A y B son semejantes tienen los mismos autovalores. Toda matriz A real y simétrica es ortogonalmente diagonalizable. Esto significa que A se puede factorizar como A = P D P-1, siendo P una matriz ortogonal, es decir una matriz con P-1 = Pt. R. Carballo (Univ. Cantabria, 2008)

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