ZÁKLADY EKONOMETRIE 13. cvičení Modely simultánních rovnic

1. ZÁKLADY EKONOMETRIE13. cvičeníModely simultánních rovnic

2. Modely simultánních rovnic • Existuje vícesměrná závislost • Nejsme omezeni pouze jedním směrem • Např. • počet odpracovaných hodin = f (mzdy) + u • mzda = f (počet odpracovaných hodin) + u

3. Typy proměnných • Endogenní – určené modelem • Exogenní – určené mimo model • Predeterminované – všechny exogenní + zpožděné endogenní proměnné • Uvedeme si příklad soustavy rovnic Y1 = f (X1, Y2) + u1 Y2 = f (X2) + u2 • Vidíme, že proměnná Y2 je v roli vysvětlující proměnné v první rovnici, ale zároveň je to vysvětlovaná proměnná z druhé rovnice. • Pokud dosadíme druhou rovnici do první, získáme Y1 = f (X1, f (X2) + u2) + u1 • Problém: Y2 není exogenní proměnná, protože je určena modelem!

4. Příklad • Poptávkový – Nabídkový model • Jsou P a Q nezávislé proměnné? • a) Jak se změní P a Q dojde-li díky zvýšení důchodů k růstu poptávky? • b) Jak se změní, dojde-li díky snížení nákladů k zvýšení nabídky? poptávková funkce: nabídková funkce: podmínka rovnováhy:

5. Příklad - řešení • Cena a poptávané/nabízené množství nejsou nezávislé veličiny, protože: • a) Při změně poptávky obrázek a) doje ke změně poptávaného množství i ceny komodity • b) Při změně nabídky obrázek b) doje ke změně poptávaného množství i ceny komodity

6. Strukturní vs. redukovaný tvar • Strukturní je „původní“ tvar MSR, který zachycuje ekonomické vztahy • Redukovaný tvar odvodíme ze strukturního tak, že endogenní proměnné budou funkcí pouze všech predeterminovaných proměnných

7. Interpretace strukturních vs. redukovaných parametrů • Strukturní tvar • Zvýší-li se Y o jednotku, má to přímí dopad na C tak, že se v průměru zvýší o β1 • Redukovaný tvar • Zvýší-li se investice (It) o jednu jednotku, má to celkový dopad na zvýšení důchodu (Yt) oπ12jednotek. • Tato změna má dvě složky: • změna Itovlivňuje Yt přímo a • nepřímo tím, že změna It vyvolá změnu Ct a změna Ct vyvolá změnu Yt.

8. Identifikace MSR K tomu, abychom MSR odhadli, musíme ho nejdříve IDENTIFIKOVAT Neidentifikovaný/Podidentifikovaný – neexistuje řešení Přesně identifikovaný – existuje právě jedno řešení Přeidentifikovaný – existuje několikanásobné řešení Terminologie: G – počet endogenních proměnných v MSR, G1 – počet endogenních proměnných ve zkoumané rovnici, K – počet predeterminovaných proměnných v MSR, K1 – počet predeterminovaných proměnných ve zkoumané rovnici.

9. Kritéria identifikace – Hodnostní podmínka • Hodnostní podmínka • nutnou a zároveň postačující • právě když hodnost matice vytvořené ze strukturních koeficientů endogenních i predeterminovaných proměnných modelu, které se nevyskytují ve zkoumané rovnici, ale jsou obsaženy v ostatních rovnicích modelu, je rovna G – 1 • hledáme nenulový determinant A řádu G – 1, který tvoří strukturní koeficienty u proměnných, které v dané rovnici nejsou obsažené, ale jsou obsažené v jiných rovnicích

10. Kritéria identifikace – Řádová podmínka • Řádová podmínka • nutná, nikoli však postačující a určuje, zda se jedná o podidentifikaci, přesnou identifikaci nebo přeidentifikaci popř. • splněna jako rovnice, jedná se o přesnou identifikaci, • splněna jako nerovnice, jedná se o přeidentifikaci, • nesplněna, jedná se o podidentifikaci.

11. Kritéria identifikace

12. Příklad - Identifikace Uvažujte fiktivní MSR, kde Y značí endogenní proměnné a X exogenní proměnné Ověřte, zda rovnice splňují hodnostní a řádovou podmínku.

13. Příklad identifikace – řešení – 1. rovnice Model obsahuje 3 endogenní proměnné G = 3 a dvě exogenní proměnné K = 2. Při ověření splnění hodnostní podmínky budeme hledat nenulový determinant řádu 3 – 1 = 2. V první rovnici hledáme determinant řádu 2 pod proměnnými, které nejsou obsaženy v první rovnici, ale jsou v nějaké jiné rovnici v modelu. Takové proměnné jsou Y3t a X2t (Protože v prvním řádku, je v jejich sloupci hodnota 0.) Determinant můžeme určit jako Pokud nejsou strukturní koeficienty nulové, pak existuje pro první rovnici nenulový determinant řádu dva, rovnice tedy splňuje hodnostní podmínku. Nyní ověříme platnost řádové podmínky z nerovnosti, pro první rovnici platí K1 = 1 a G1 = 2, tudíž řádová podmínka je splněna jako rovnice, proto je první rovnice přesně identifikovaná.

14. Odhad MSR • S omezenou informací • nezohledňují informace z ostatních rovnic, odhaduji každou rovnici zvlášť, • nejsou tak náročné na počet pozorování, • nejsou výpočetně složité, • jsou v praxi rozšířenější, • metody vycházející z MNČ: např. metoda nepřímých nejmenších čtverců (MNNČ), metoda dvoustupňových nejmenších čtverců (M2NČ). • S úplnou informací • odhadují všechny rovnice najednou, berou tedy v potaz všechny informace obsažené ve všech rovnicích, • vyžadují větší počet pozorování, • z logiky věci se zdají být vhodnější pro MSR, • jsou výpočetně náročnější, • jsou velmi citlivé na specifikační chyby, pokud špatně specifikujeme jednu rovnici, chyba se rozšíří do všech rovnic, • metody vycházející z MNČ: např. metoda třístupňových nejmenších čtverců (M3NČ).

15. M2NČ • Metoda dvoustupňových nejmenších čtverců (M2NČ) je vhodná pro MSR, ve kterých jsou všechny rovnice přesně identifikované nebo přeidentifikované. • Hlavním problémem při odhadu Y1 je, že Y2 je v roli vysvětlující proměnné, ale zároveň je to vysvětlovaná proměnná z druhé rovnice, což znamená, že není pevně determinovaná, ale je závislá na náhodné složce. • Princip M2NČ spočívá v tom, že se snažíme najít vhodnou proměnnou, která bude velmi podobná Y2(bude s ní silně korelovaná) a zároveň bude nezávislá na náhodné složce. • Jako vhodná pomocná proměnná se hodí odhad Y2pomocí redukovaného tvaru. Tento odhad poté dosadíme zpátky do strukturního tvaru. Ten již můžeme odhadnout MNČ, protože odhad Y2je nezávislý na náhodných složkách.

16. Možná otázka do závěrečného testu • MSR • Co to je? • Identifikace, kriteria • Metody • Princip odhadu pomocí MZNČ…