Datastrukturer och algoritmer

Datastrukturer och algoritmer Föreläsning 13 20 min för kort!!

Innehåll • Sortering • Sortering vs sorterad datatyp • Stabilitet • Grundprinciper för sortering • Genomgång av några sorteringsalgoritmer • Hur fort går det att sortera en lista med n tal? • Kapitel 15.1-15.4

Sortering varför? • Snabba upp andra algoritmer • Sökning • Hantera stora datamängder

Sortering vs Sorterad datatyp • Sortering • förändrar ordningen mellan objekten i en struktur efter en sorteringsordning (fallande, ökande) • Sorterad datatyp • de strukturförändrande operationerna i gränsytan (insert, delete) upprätthåller en sorteringsordning mellan de lagrade objekten

Saker att beakta • Absolut komplexitet • Totala komplexiteten i alla implementationssteg • Tabell->Lista->Dubbellänkad Lista • Passar en viss typ av sortering för en viss typ av implementation? • Ska man sortera och sedan söka eller inte sortera och göra en linjär sökning?

Stabilitet • Den inbördes relationen mellan två objekt med samma nyckel bibehålls vid sortering [(0,L),(2,C),(5,G),(8,A),(10,G) ] => [(8,A),(2,C),(5,G) ,(10,G),(0,L)] • Alla sorteringsalgoritmer går inte att göra stabila!! • Mer om detta senare…

Olika grundprinciper • Insättnings – O(n2) • välj ut ett godtyckligt objekt och sätt in det på rätt plats • Urvals – O(n2) • välj ut det objekt som är på tur och sätt in det sist/först • Utbytes – O(n*log(n)) • byt plats på objekt som ligger fel inbördes • Samsortering – O(n*log(n)) • bygger på sammanslagning av redan sorterade strukturer • Nyckelsortering – O(m+n)… • kräver mer information/kunskap om objektmängden

Mer principer… • Naiva sorteringar - O(n2) • Insticks, urvals, och vissa utbytes • ”Smarta” sorteringar - O(nlog(n)) • Utbytes och samsorteringar • Ännu smartare sorteringar - O(n+m)… • Nyckelsorteringar…(nästa föreläsning)

Sammanfattande tabellbaserad på tabellen på sidan http://en.wikipedia.org/wiki/Sorting_algorithm

Animeringar att titta på • Animering som visar hur sorteringen beter sig för listor som är • slumpmässiga, • nästan sorterade • omvänt sorterade • samt listor med många dubletter (få unika tal) http://vision.bc.edu/~dmartin/teaching/sorting/anim-html/all.html • Animering som visar ett mindre exempel i detalj http://math.hws.edu/TMCM/java/xSortLab/

Insertion sort - insättningssortering • Välj ett godt. objekt och sätt in det på rätt plats • O(n2) • Enkel att implementera • Effektivitet • bäst för mindre datamängder och datamängder som är nästan sorterade • i praktiken mer effektiv än selection sort och bubble sort • Stabil • Kan göras in-place • Konstant andel extra minne (motsv elementens storlek) • Kan sortera en lista allt eftersom den byggs upp.

Selection sort - urvalssortering • Välj det objekt som är på tur och sätt in det sist/först • O(n2) • Enkel att implementera • Effektivitet • bäst på mindre datamängder • beter sig lika oavsett datamängdens utseende • i praktiken mer effektiv än bubble sort • Kräver mindre ”swaps” än insertion sort • Bra om ”dyrare” att skriva till minnet än att läsa från det. • Inte stabil • kan göras stabil men då tappar man fördelar jämfört med insertion sort (mer swaps). • Kan göras in-place • Konstant andel extra minne (motsv elementens storlek)

Bubble sort - utbytessortering • byta plats på objekt som ligger fel inbördes • O(n2) • Enkel (enklast?) att implementera • Effektivitet • bäst på mindre datamängder och nästan sorterade mängder • i praktiken sämre än både insertion sort och selection sort • Kräver mer ”swaps” än insertion sort • Stabil • Kan göras in-place • Konstant andel extra minne (motsv elementens storlek)

Divide and Conquer • Rekursiv algoritmprincip • Grundidén är att dela upp problemet i mindre och mindre problem • Lös problemen för basfallet • Slå ihop dem till en totallösning • Mergesort och Quicksort är av denna algoritmtyp • O(n*log(n))

Mergesort – samsortering • Bygger på sammanslagning av redan sorterade strukturer • O(n log n) • Effektivitet • snabbare och gör mindre jämförelser än quicksort • gör fler rekursiva anrop än quicksort men kan skrivas iterativt • Stabil • Kan göras in-place • Speciellt om listan är konstruerad som länkad lista • Oftast inte in-place, minnesutrymmet kan påverka ett val!

Mergesort – samsortering • Algoritm för att sortera sekvensen S • Divide: Om S har 2 eller flera element dela S i två lika stora delsekvenser S1 och S2 • Recurse: Sortera sekvenserna S1 och S2 rekursivt • Conquer: Sätt tillbaka elementen i S genom att slå samman S1 och S2 till en sorterad sekvens

Ihopslagning av två sekvenser Agorithm merge(S1,S2,S) while S1 is not empty and S2 is not empty do if S1.first().element() ≤ S2.first().element() then S.insertLast(S1.remove(S1.first())) else S.insertLast(S2.remove(S2.first())) while S1 is not empty do S.insertLast(S1.remove(S1.first())) while S2 is not empty do S.insertLast(S2.remove(S2.first()))

Exempel på sammanslagning 3 5 7 15 19 S1 0 2 3 5 6 7 7 9 15 19 S 0 2 6 7 9 S2

Analys av exekveringstiden • Höjden på sorteringsträdet kopplat till sorteringen av en sekvens med n element blir log2(n) • Antag att insättning och borttagning är av O(1) • Tiden i varje nod i trädet exkluderat tiden för det rekursiva jobbet nedanför är O(n/2i) där i är djupet på noden ligger på, ty storleken på sekvensen är n/2i • Det är exakt 2i noder på djupet i => totala tiden på djupet i i trädet är O(2in/2i) vilket är O(n) och höjden på trädet är log2(n) • Så den totala tidskomplexiteten är O(nlog2(n))

Quicksort • Algoritm • Välj ut ett pivotelement • Dela upp listan i tre delar Less, Equal, Greater • Sortera Less och Greater rekursivt • Slå ihop Less+Equal+Greater

Inplace variant av quicksort • Algoritm • Traversera parallellt från båda hållen i S, gå bakåt från början av S tills man hittar ett element som är >= PE, traversera från slutet mot början till man hittar ett element som är < PE • Skifta plats på dessa två element • Upprepa till traverseringarna mötes • Skifta in PE på rätt plats • Rekursivt anrop med Less och Greater

Quicksort - val av pivoelement • O(nlog(n)) i bästa fallet • Valet av pivoelement kritiskt • Vill ha ett pivoelement som ligger i mitten • Vid sned fördelning får man insticks/urvals sortering med O(n2) • Alternativ (eftersträvar en enkel tilldelning) • Välj första/sista, slumpmässigt • Medel/median mellan några stycken • Största av de två första som skiljer sig åt

Hur snabbt kan man sortera? • Jämförelsebaserad sortering • Ω(nlog(n)) undre gräns • Nyckelsortering snabbare… • Nästa föreläsning

Datastrukturer och algoritmer