Platonova tela

1. Platonova tela Ena Šestić 261/2009 Slobodan Nikolić 270/2009 Marko Mihajlović 111/2009

2. Platonova tela ili pravilni poliedri, su poliedri čija je svaka strana pravilan poligon sa jednakim brojem temena i čije svako teme sadrži jednak broj ivica. • Postoji tačno pet platonovih tela: • tetraedar • kocka • oktaedar • dodekaedar • ikosaedar

3. Svako Platonovo telo predstavlja pojedinačnu pojavu: • Tetraedar – vatra • Oktaedar – vazduh • Ikosaedar – voda • Heksaedar – zemlja • Dodekaedar – vasiona • Svako od pet Platonovih tela zadovoljava sledeće uslove: • Sve pljosni su pravilne medjusobno podudarne poligonske površi (svaka pljosan ima isti broj ivica) • Sve rogljaste površi su pravilne i međusobno • podudarne (svaki rogalj ima isti broj ivica) i • konveksni su.

4. Svako Platonovo telo može imati • dodeljene simbole p i q, • tako da je p broj ivica svake stranice i • q broj stranica koje se susreću na svakom preseku. • Dobro je poznato da ovu klasu pravilnih poliedara čini sledećih pet poliedara: • (3,3) tetraedar • (3,4) oktaedar • (4,3) heksaedar • (3,5) ikosaedar • (5,3) dodekaedar

5. p – broj ivica • q – broj stranica • V (vertices) – broj temena • E (edges) – broj ivica • F (faces) – broj pljosni • Formule: • pF = 2E = qV • OjlerovaformulaV-E+F=2

6. Izovečinjenicemožemo u potpunostiodrediti V, E I F: • Euklidov geometrijski dokaz: • Svaki ćošak tela mora da se podudara sa po jednim ćoškom (vrhom) najmanje tri strane. • Na svakom vrhu tela, zbir uglova između njihovih odgovarajućih susednih strana mora biti manji od 360 stepeni. • Uglovi kod svih temena svih strana Platonovog tela su isti, tako da svaki ćošak svake strane mora da doprinosi manje od 120 stepeni. • Pravilni mnogouglovi sa šest ili više strana imaju • samo uglove od 120 stepeni ili više, tako da • zajednička lica moraju da budu trouglovi, • kvadrati ili petouglovi.

7. Platon konstruise pravilna geometrijska tela prosto tako što spaja ravne strane. Ove strane napravljene su od trouglova i svi trouglovi su sastavljeni iz dva pravougla trougla. Pravougli trouglovi su ili jednakokraki ili nejednakostranični. Heksaedar (kocka) ima strane (kvadrate) koje su napravljene od jednakokrakih pravouglih trouglova tako što su 4 takva spojena da bi formirala kvadrat. Ostala tri tela koja imaju za strane jednakostranične trouglove, tetraedar, oktaedar i ikosaedar zavise samo od ostalih vrsta pravouglih trouglova. Kod njih je svaka strana napravljena od 6 pravouglih trouglova.

8. Dodekaedar • Dodekaedar je sačinjen od 12 pravilnih petouglova. • Platon je bio svestan da se strane dodekaedra ne • mogu konstruisati uz pomoć 2 pravougla trougla od kojih zavise ostala geometrijska tela. Učinjen je pokušaj da se petougao podeli na izvestan broj pravouglih trouglova: • Plutarh kaze da je svaka od 12 strana dodekaedra napravljena od 30 elementarnih nejednakostraničnih trouglova. • Alcinous govori o 360 elemenata koji nastaju kada se svaki petougao podeli na 5 jednakostraničnih trouglova i kada se svaki od ovih dalje podeli na 6 nejednakostraničnih. Ako povučemo linije u petouglu dobijamo takav splet trouglova koji takodje • pokazuje pitagorejski pentagram

9. Dualna tela • Ako se svakoj pljosni Platonovog tela pridruži težište te pljosni, dobijaju se temena dualnog tela. • Dualno telo bilo kog Platonovog tela jeste opet Platonovo telo. • Ako Platonovo telo predstavimo preko p i q onda će njegovo dualno telo imati oznake q i p. • Dualno telo se konstruiše tako što uzimamo temena tela i postavljamo ih u centre pljosni Platonovog tela. Ivice dualnog tela formiramo spajanjem centara susednih pljosni Platonovog tela. Na ovaj način se broj pljosni i temena smenjuje dok broj ivica ostaje isti.

10. Tetraedar je dualan sam sebi.

11. Heksaedar i oktaedar su međusobno dualna tela: Heksaedar Oktaedar

12. Dodekaedar i ikosaedar su međusobno dualna tela: Dodekaedar Ikosaedar

13. Hvala na pažnji.