AXIOME

1. AXIOME 1. 2. 3. Da Axiom 3 (zumindest vorderhand) für einen Beweis von p -> p nicht zu gebrauchen ist (weil in p -> p kein „nicht“ vorkommt), beschränken wir uns auf die ersten beiden Axiome: Da die gesuchte Conclusio p -> p ist, fällt auch das erste Axiom weg: weil Modus Ponens die einzige Schlussweise ist, wird man p -> p niemals bekommen (wenn wir für A und B p setzen, bräuchten wir p als Antezedens um p -> p zu bekommen; wenn wir für A p -> p setzen und für B irgendetwas, brauchen wir schon p -> p als Voraussetzung egal was wir für B setzen.) Wir versuchen unser Glück deshalb mit Axiom 2.

2. 1. Wir wollen auf p -> p kommen und setzen dazu im Axiom (2) p->p möglichst weit „hinten“ hin, weil Modus Ponens immer nur auf das Konsequens zu schließen erlaubt. Wir substituieren A:= p und C:=p und lassen zunächst offen, was für B zu setzen ist. 2. Um daraus einen Beweis für p -> p zu machen, müssen wir zunächst das Konsequens des Satzes mit Modus Ponens (die einzige Schlussweise!) herausbekommen – das geht aber ganz leicht, denn im Antezedens steht schon ein Axiom(enschema) der Form A -> (B -> A). 2. Damit aus dem bisherigen endgültig ein Beweis für p -> p wird, müssen wir noch aus dem Antezedens der 3. Zeile ein Axiom machen; mit Modus Ponens folgt dann sofort p -> p. 4. Aus der 4. Zeile kann man aber durch Einsetzung von q -> p sehr einfach ein Axiom der Form A -> (B -> A) machen und das ganze somit zu einem Beweis für p -> p.