Nazwa szkoły: VIII LO im. Adama Mickiewicza w Poznaniu ID grupy: 97_66_mf_g1_97_94_mf_g2

2. Dane Informacyjne • Nazwa szkoły: VIII LO im. Adama Mickiewicza w Poznaniu • ID grupy: 97_66_mf_g1_97_94_mf_g2 • Kompetencja: matematyka i fizyka • Temat projektowy: Arytmetyka i algebra przez geometrię. • Semestr/rok szkolny: III/2010/2011

3. Plan prezentacji • LICZBY BRYŁOWE • Liczby trójkątne • Liczby kwadratowe • Liczby piramidalne • Liczby wielokątne • LICZBY FIBONACCIEGO • Wzór Bineta • Złota proporcja • Złoty podział • KLASY RESZT • DOWODY NIEWYMIERNOŚCI • DYWANY LICZBOWE – FRAKTALE • Benoît Mandelbrot i jego zbiór • Gaston Julia i jego zbiór • Wacław Sierpiński i jego zbiory

4. LICZBY BRYŁOWE

5. Liczby bryłowe Dla Pitagorejczyków liczba, to liczba całkowita dodatnia. Rozumieli ją jako zbiór jedności.( Podstawą wszechrzeczy jest jedność czyli monada - matka wszystkich liczb.) Liczby uważali za niepodzielne i wyobrażali je sobie jako punkty, które rozmieszczali w postaci foremnych figur geometrycznych. Otrzymywali w ten sposób liczby: trójkątne, czworokątne, pięciokątne, itd.

6. Liczby bryłowe Liczby pierwszego wiersza tworzą postęp arytmetyczny, drugiego wiersza są sumami liczb pierwszego, liczby trzeciego wiersza są sumami liczb drugiego wiersza. Liczby drugiego wiersza zwą się liczbami  wielobocznymi , trzeciego wiersza  piramidalnymi . Zależnie od różnicy postępu arytmetycznego, liczby wieloboczne zwą się trójkątnymi, czworobocznymi, pięciobocznymi i t. d., podobnie liczby trzeciego wiersza. 1; 2; 3; 4; 5; 6… 1; 3; 6; 10; 15; 21… 1; 4; 10; 20; 35; 56… lub 1; 4; 7; 10; 13; 16… 1; 5; 12; 22; 35; 51… 1; 6; 18; 40; 75; 126…

7. Liczba trójkątna to liczba, która mówi nam ile potrzebnych jest kół (lub kul) ułożonych w jednej płaszczyźnie aby utworzyć z nich trójkąt równoboczny. Pierwszą liczbą trójkątną jest 1, ponieważ potrzeba 1 koła (lub kuli) aby ułożyć trójkąt o boku 1. Kolejną liczbą trójkątną jest 3, ponieważ potrzeba 3 kół (kul) aby utworzyć trójkąt równoboczny o boku składającym się z dwóch kół (kul). Kolejną liczbą trójkątną jest liczba 6, ponieważ potrzeba 6 kół (kul), aby ułożyć z nich trójkąt równoboczny o boku składającym się z 3 kół (kul) . Kolejną (czwartą) liczbą trójkątną jest 10, ponieważ potrzeba 10 kół (kul) aby utworzyć trójkąt równoboczny o boku składającym się z 4 kół (kul). Kolejną (piątą) liczbą trójkątną jest 15, ponieważ potrzeba 15 kół (kul) aby utworzyć z nich trójkąt równoboczny o boku składającym się z 5 kół (kul). Liczby trójkątne

8. Liczby trójkątne Taki trójkąt składający się z 15 kul, którego bok to 5 kul widoczny jest na zdjęciu obok. Okazuje się, że kolejne liczby trójkątne można wyliczyć matematycznie. Aby obliczyć ile będzie wynosić liczba trójkątna n-ta w kolejności należy liczbę n pomnożyć przez liczbę o 1 większą czyli (n+1) i całość podzielić przez 2. Jeżeli dowolną liczbę trójkątną oznaczymy przez T, to możemy to zapisać jako: • Korzystając z powyższego wzoru możemy obliczyć różnicę i sumę dwóch kolejnych liczb trójkątnych: • różnica: tn+ 1 − tn = n + 1, • suma: tn+ 1 + tn = (n + 1)2.

9. Liczby trójkątne • Poniższa tabela ilustruje zależność między numerem liczby trójkątnej (wskaźnikiem, indeksem), a samą liczbą trójkątną. • Zależność na n-tą liczbę trójkątną można więc wyrazić za pomocą wzoru: • gdzie n jest liczbą naturalną. Liczba trójkątna o n-tym numerze jest sumą n kolejnych liczb naturalnych.

10. Liczby kwadratowe Liczba kwadratowa to liczba, która mówi nam ile potrzebnych jest kół (kul) ułożonych w jednej płaszczyźnie aby ułożyć z nich kwadrat. Pierwszą liczbą kwadratową jest 1, ponieważ potrzeba 1 koła lub kuli aby ułożyć z nich kwadrat o boku 1. Kolejną liczbą kwadratową jest 4, ponieważ potrzeba 4 kół (kul) aby utworzyć kwadrat o boku składającym się z dwóch kół (kul). Kolejną liczbą kwadratową jest 9, ponieważ potrzeba 9 kół (kul) aby utworzyć kwadrat o boku składającym się z 3 kół (kul). Kolejną liczbą trójkątną jest 16, ponieważ potrzeba 16 kół (kul) aby utworzyć kwadrat o boku składającym się z 4 kół (kul). Taki kwadrat widoczny jest na zdjęciu obok.

11. Liczby kwadratowe Wyliczenie kolejnych liczb kwadratowych jest bardzo proste. Jak łatwo zauważyć kolejne liczby kwadratowe to po postu kolejne liczby naturalne podniesione do kwadrat. Jeżeli przez K oznaczymy dowolną n-tą liczbę kwadratową to: K=n2 Zatem kolejne liczby kwadratowe to: Co ciekawe wzór K=n2 możemy przedstawić jako: K=n2=1+3+5+7+…+(2n-1) Czyli suma kolejnych liczb nieparzystych będzie się równać kwadratowi ich liczby.

12. Liczby piramidalne Liczba piramidalna to liczba, która mówi nam ile potrzebnych jest kul aby ułożyć je w kształt piramidki. Tu pojawia się pewien problem ponieważ rozróżniamy różne rodzaje liczb piramidalnych. Wynika to z faktu, że z kul można ułożyć różne piramidki. Piramida może mieć w podstawie trójkąt, kwadrat, pięciokąt, sześciokąt, siedmiokąt... po prostu n- kąt foremny. Najbardziej typowymi liczbami piramidalnymi są liczby zbudowane w oparciu o piramidę, której podstawa jest trójkątem równobocznym. Takie liczby piramidalne zwane są również liczbami czworościennymi ponieważ tworzą piramidę w kształcie czworościanu foremnego. W tej poradzie ograniczymy się do liczb piramidalnych czworościennych. Każdą n-tą liczbę piramidalną dla ostrosłupa, który ma w podstawiep-kąt foremny możemy wyznaczyćze wzoru

13. Liczby piramidalne Kolejne liczby piramidalne czworościenne możemy przedstawić w postaci ciągu: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120 ...Każdą n-tą liczbę piramidalną czworościenną P możemy wyliczyć ze wzoru: P = n * ( n + 1 )* ( n + 2 ) / 6 Na przykład siedemdziesiąta siódma liczba piramidalna czworościenna to: 77 x 78 x 79 : 6 = 79079 Poniższa tabelka przedstawia kolejne liczby piramidalne czworościenne.

14. Liczby wielokątne Liczby trójkątne, kwadratowe, sześcienne – ich obliczanie i ustalanie wzajemnych powiązań jest bardzo charakterystyczne dla matematyki w starożytnej Grecji. Diofantos również odkrył wiele prawidłowości rządzących liczbami. Jedno z jego twierdzeń mówi: „Ośmiokrotnie wzięta liczba trójkątna powiększona o jedność jest zawsze kwadratem”; inaczej mówiąc: ośmiokrotnie wzięta liczba trójkątna powiększona o jedność jest zawsze liczbą kwadratową. Aby więc lepiej wyjaśnić to twierdzenie, należy poznać, co to są liczby trójkątne i liczby kwadratowe,

15. Liczby wielokątne Liczba trójkątna to każda  taka liczba o numerze n, będąca na przykład liczbą kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt równoboczny o boku zbudowanym z n kół.Graficznie liczby trójkątne można przedstawić następująco:

16. Liczby wielokątne Graficznie liczby trójkątne można przedstawić następująco: Zależność na n-tą liczbę trójkątną można przedstawić według wzoru: gdzie n jest liczbą naturalną. Liczba trójkątna o n-tym numerze jest sumą kolejnych liczb naturalnych.

17. Liczby wielokątne Liczba kwadratowa natomiast to każda taka liczba o numerze n, będąca na przykład  liczbą kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć kwadrat o boku zbudowanym z n kół.

18. Liczby wielokątne Graficznie liczby kwadratowe można przedstawić następująco: Zależność na n-tą liczbę kwadratową można przedstawić według wzoru: gdzie n jest liczbą naturalną. Liczby kwadratowe są więc kwadratami kolejnych liczb ciągu naturalnego.

19. Liczby wielokątne Na podobnej zasadzie jak liczby trójkątne i kwadratowe tworzone są inne liczby wielokątne. Przykłady  liczb trójkątnych, kwadratowych i innych wielokątnych przedstawia tabela:

20. Liczby wielokątne Twierdzenie Diofantosa, że ośmiokrotnie wzięta liczba powiększona o jedność jest zawsze kwadratem, pokazuje poniższy rysunek: Za pomocą twierdzenia Diofantosa można sprawdzić, czy dana liczba jest trójkątna. Weźmy na przykład 45 i sprawdźmy, czy jest to liczba trójkątna. Korzystając z twierdzenia Diofantosa, otrzymujemy: 8 ∙ 45 + 1 = 361, a liczba 361 jest liczbą kwadratową, bo 19 ∙ 19 = 361, stąd wniosek, że liczba 45 jest liczbą trójkątną. 

21. LICZBY FIBONACCIEGO

22. Szereg fibonacciego Szereg liczb obrazujący m.in. rozród królików nosi nazwę ciągu Fibonacciego. Jego twórca był w samej rzeczy najsłynniejszym matematykiem epoki średniowiecza ale prawdopodobnie nie spodziewał się, że właśnie to odkrycie przyniesie mu nieśmiertelność. Wzmiankę o ciągu odnalazł na marginesie księgi „Liber Abaci” Fibonacciego inny matematyk. Później okazało się, że ta banalna z pozoru zależność opisuje szereg zjawisk naturalnych (opisuje kształty i procesy fizyczne), a ponadto ściśle wiąże się z geometrią i sztuką (zjawiska oparte na nim sprawiają są atrakcyjne dla ludzkich zmysłów). Z tego powodu, spośród wszystkich ciągów geometrycznych, ciąg Fibonacciego okazał się najbardziej istotny.

23. Co to jest ciąg Fibonacciego? Ciągiem Fibonacciego nazywamy ciąg, który składa się z liczb naturalnych określany rekurencyjnie w następujący sposób: F0=0 F1=1 Fn=Fn-2+Fn-1

24. Wzór Bineta Jawny wzór na n-ty wyraz ciągu Fibonacciego możemy otrzymać np. korzystając z metody funkcji tworzących.

25. Kod C++ - rekurencyjny

26. Kod C++ - iteracyjny Fn=

27. Złota proporcja Jeśli podzielimy dowolną liczbę ciągu Fibonacciego przez liczbę ją poprzedzającą wówczas otrzymamy iloraz oscylujący wokół 1,61804 - znany w geometrii jako złota proporcja, zapisywana przy pomocy 21 litery alfabetu greckiego „phi” (im większe liczby dzielimy, tym iloraz jest bliższy złotej proporcji)

28. Złota proporcja, a ciąg Fibonacciego Wystarczy wyobrazić sobie, że dowolny odcinek dzielimy na dwa przy użyciu złotej proporcji, a następnie układamy odcinki na linii w kolejności od najkrótszego do najdłuższego. Suma pierwszego i drugiego daje trzeci, pierwszy można ponownie podzielić, trzeci z drugim daje czwarty itd. Można powiedzieć, że ciąg Fibonacciego jest przeniesieniem złotej proporcji na zbiór liczb naturalnych (liczb będących wielokrotnością liczby 1).

30. Złoty podział Złotypodział (łac. sectioaurea), podział harmoniczny, złota proporcja, boska proporcja (łac. divinaproportio) – podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnią geometryczną długości krótszej części i całego odcinka.

31. Liczba phi, a przyroda Najstarsza wzmianka o phi jako o „świętej proporcji” sięga 1650 rok p.n.e kiedy to spisano w Egipcie papirus Rhinda opisujący konstrukcję Wielkiej Piramidy w Gizie. Po tych nieco teoretycznych rozważaniach czas pokazać miejsce liczby phi i ciągu Fibonacciego w przyrodzie. Najbliższe nam liczby Fibonacciego to 1,2 i 5, pięć palców u każdej ręki, dwie kończyny górne i dwie dolne, pięć zmysłów, trzy wypustki głowy (dwoje uszu i nos), trzy otwory głowy (dwoje oczu i usta) i pojedyncze organy, których nie muszę wymieniać.

33. Spirala Fibonacciego Najbardziej efektownym przejawem istnienia złotej proporcji w świecie zwierząt są zapewne muszle, których kształt układa się zgodnie z przebiegiem tzw. Spirali Fibonacciego. Aby matematycznie uzyskać taką spiralę należy przeprowadzić resekcję zgodnie ze złotym podziałem w dwóch wymiarach przestrzeni. Wyobraźmy sobie odcinek podzielony na dwa mniejsze w ten sposób, że mniejszy ma się tak do większego, jak większy do całości. Odcinek większy staje się bokiem kwadratu, który dorysowujemy, zaś odcinek mniejszy tworzy wraz z drugim bokiem tego kwadratu prostokąt. W efekcie otrzymujemy prostokąt, podzielony ma kwadrat i mniejszy prostokąt. Następnie dzielimy mniejszy prostokąt w identyczny sposób i postępujemy tak, aż do utraty rozdzielczości na kartce papieru. Teraz w każdym kwadracie zakreślamy ćwiartkę okręgu, o promieniu równym długości boku, a po połączeniu wszystkich ćwiartek otrzymujemy gotową spiralę. Przyglądając się tej spirali i muszli ślimaka, od razu zauważamy wyraźne podobieństwo. Złota spirala występuje w większości kształtów muszli ślimaków czy ostryg. Wszystko dlatego, że im są one większe tym szybciej rosną, podobnie jak powiększa się nasza hodowla królików.

34. KLASY RESZT

35. Reszta Dla danych liczb a oraz d≠0 istnieją jednoznacznie wyznaczone liczby q oraz r, dla których zachodzi a = qd + r, przy czym 0 ≤ r < |d| q – iloraz r– reszta d – dzielnik a - dzielna

36. Działanie Modulo Wynikiem działania modulo jest reszta z dzielenia. Przykład: 5 modulo 3 = 2 , ponieważ 3*1 + 2 = 5 23 modulo 4 = 3 , ponieważ 4*5 + 3 =23

37. Klasy reszt • Jeśli n = 4, to klasy reszt są zbiorami: W podanym przykładzie odpowiednio 0, 1, 2, 3 to wyniki dzielenia modulo.

38. Przystawanie a przystaje do b, jeśli wynik działania modulo dla liczb a i b jest taki sam. np. 21 modulo 9 = 3 12 modulo 9 = 3 więc 21 przystaje do 12 (modulo 9) Matematyczny zapis: 21 12 (mod 9)

39. DOWODY NIEWYMIERNOŚCI

40. Dowód geometryczny Niech F będzie punktem przecięcia odcinków DE i BC. Otrzymaliśmy w ten sposób ΔEBF oraz ΔFDC, które są prostokątne i równoramienne, a ich przyprostokątne mają długość n' = m − n, zaś przeciwprostokątne m' = 2n − m. Ponieważ n < m < 2n, to m − n < n oraz 2n − m < m. Mamy zatem liczby całkowite 0 < m’ < m, 0 < n’ < n spełniające co przeczy początkowemu założeniu, że m, n są najmniejszymi liczbami całkowitymi dodatnimi spełniającymi tę równość. Oznacza to więc, iż nie jest liczbą wymierną

41. . Dowód geometryczny Załóżmy, że jest liczbą wymierną. Wtedy istnieją m i n będące najmniejszymi liczbami całkowitymi dodatnimi spełniającymi : Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że stosunek długości przeciwprostokątnej do przyprostokątnej w trójkącie prostokątnym równoramiennym wynosi . Weźmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych AB, BC długości n i przeciwprostokątnej AC długości m. Niech AE = m, AD = n, punkty A, B, E leżą w tej kolejności na jednej prostej, oraz punkty A, D, C leżą w tej kolejności na jednej prostej.

42. Dowód arytmetyczny Przypuśćmy, że jest liczbą wymierną. Oznacza to, że istnieją takie dwie liczby naturalne L i M, że Każdą liczbę wymierną można zapisać w postaci ułamka nieskracalnego, zatem możemy założyć, że liczby L i M są względnie pierwsze, tzn. nie posiadają wspólnych dzielników oprócz 1. Stąd: Czyli liczba L2 jest parzysta co oznacza, że L też jest parzysta. Istnieje zatem liczba naturalna K taka, że L = 2K.

43. Dowód arytmetyczny • Podstawmy więc L = 2K do ostatniej równości: • 2M2 = (2K)2 = 4K2 • 2K2 = M2 Zatem liczba M2 jest parzysta, co oznacza, że liczba M również jest parzysta. Otrzymaliśmy sprzeczność – założyliśmy, że L i M są względnie pierwsze, a otrzymaliśmy, iż posiadają one wspólny dzielnik 2. Sprzeczność ta kończy dowód – liczba jest niewymierna.

44. DYWANY LICZBOWE -FRAKTALE

45. Czym jest fraktal? Fraktal w znaczeniu potocznym jest obiektem samo-podobnym (części są podobne do całości) lub „nieskończenie subtelny” (subtelne detale w wielokrotnym powiększeniu). Jak na razie matematycy unikają stworzenia definicji fraktali, proponują za to określać fraktale jako zbiór.

46. Czym jest fraktal? • Do najbardziej znanych badaczy fraktali należeli: • Benoît Mandelbrot • Wacław Sierpiński • Abraham Bezikowicz • Donald Knuth • Gaston Julia • Paul Lévy

47. Benoît Mandelbrot Benoît B. Mandelbrot(ur. 20 listopada 1924 w Warszawie, zm. 14 października 2010 w Cambridge) – francuski matematyk, pochodzenia żydowskiego, urodzony w Polsce. Opisał zbiór Mandelbrota oraz wymyślił słowo fraktal. W 1993 został uhonorowany Nagrodą Wolfa w fizyce, a w 2003 został wyróżniony prestiżową Nagrodą Japońską. Otrzymał 16 tytułów doktora honoris causa.

48. Zbiór Mandelbrota Zbiór Mandelbrota(żuk Mandelbrota) - podzbiór płaszczyzny zespolonej, którego brzeg jest jednym ze sławniejszych fraktali.

49. Zbiór Mandelbrota

50. Zbiór Mandelbrota