Számrendszerek

1. Számrendszerek óvodapedagógusoknak

2. A természetes számok fogalmának halmazelméleti megközelítése • Legyen a halmazok egy rendszerére jellemző, hogy • Legyen benne üres halmaz • Ha a halmazrendszer tartalmaz egy H halmazt, akkor tartalmazza a HU{x} halmazt is, ahol x tetszőleges elem. • Soroljuk egy osztályba az egyenlő számosságú halmazokat • Vegyünk ki minden osztályból egy halmazt – reprezentáns halmaz. • Értelmezzük a következő relációt: |A|<|B| • Az osztályreprezentánsok rendezett sorozatában található halmazok számosságát természetes számoknak nevezzük.

3. A természetes számok halmaza • A természetes számok halmaza végtelen számosságú, • Jelölése: N={1,2,3,…..} • Megjegyzések • Minden véges halmaz számossága egy természetes számmal adható meg. • A természetes szám halmaztulajdonság – az elemek lényeges tulajdonságaitól elvonatkoztatunk. • A fenti értelmezés szerint a 0 is természetes szám! • A véges halmaz számosságának megállapításához a gyakorlatban sorszámozzuk az elemeket.

4. A természetes számok axiomatikus értelmezése • Alapfogalmak • Természetes szám • A nulla (0) • rákövetkezés • Axiómák

5. A természetes számokra vonatkozó axiómák • A 0 természetes szám • Minden természetes számnak van egy természetes rákövetkezője, amely szintén természetes szám • Nincs olyan természetes szám, amelynek a 0 rákövetkezője lenne • Különböző természetes számok rákövetkezője is különböző. • Ha egy T tulajdonság olyan, hogy • Igaz a k0€N számra, továbbá • Abból a feltevésből, hogy a T tulajdonság igaz egy tetszőleges k(k>=k0, k€N) számra, következik, hogy igaz a k rákövetkezőjére is, akkor a T tulajdonság minden k>=k0 természetes számra igaz lesz (teljes indukció axiómája).

6. Műveletek természetes számokkal • Összeadás |A|=a, |B|=b és A B={}, akkor a+b=|AUB| • Szorzás |A|=a, |B|=b, ab=|AxB| • Kivonás |A|=a, |B|=b és BÍA, azaz a<=b, a-b=|A\B| • Osztás a,b€N, a:b az a c€N, melyre bc=a

7. Műveleti tulajdonságok • Kommutatív A+b=b+a, ab=ba • Asszociatív (a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(bc) • Disztributív (a+b)c=ac+bc

8. Számírás

9. Számírás - Róma • Római számok – csak alaki érték! • I,II,III,IV, V, VI,VII,VIII,IX,X,XI,…., L (50),,,,C(100),…D(500), ….M(1000),…. • MCMLXVIII (1968) • Európában az 1300 –as évekig ez volt használatban, műveletek elvégzésére alkalmatlan volt.

10. Számírás • Hinduk – kb. 600-tól alkalmazzák a helyiértékes leírást. • Az indiai számjelek számjegyekké fejlődését könnyítette, hogy nem voltak összetett jelek. • A helyiérték fogalmát valószínűleg Mezopotámiából vették át. • Kínai hatás látszik (nagyságrend jelölése)

11. kínai

12. Számrendszerek • A tetszőleges természetes szám, g>0 természetes szám, A=angn+an-1gn-1 +…+a2g2+a1g1+a0 156=1*102+5*101+6*100=15610 156=1*125+1*25+5+1=1*53+1*52+1*51+1*50 =11115 156=1*128+0*64+0*32+1*16+1*8+1*4+0*2+1*0= 1*27+0*26+0*25+1*24+1*23+1*22+0*21+0*20= 100111002

13. ÁTÍRÁS 10-ESBŐL • Kettes számrendszerbe • 29 a tízes számrendszerben • Kettő hatványok: • 29:16=1, marad 13 • 13:8=1, marad 5 • 5:4=1, marad 1 • 1:2 0, marad 1 • 1:1 1 • 11101

14. Jelrendszer • 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,… • Kettes számrendszer: 0,1 • Hármas számrendszer: 0,1,2 • …. • Nyolcas számrendszer: 0,1,2,3,4,5,6,7 • …. • 16-os számrendszer: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

15. Visszaírás 10-es számrendszerbe a kettes számrendszerből 110111 a kettes számrendszerben • 1*32+1*16+0*8+1*4+1*2+1*1=55 • 1010001 kettes • 1*64+1*16+1=81 tízes számrendszer

16. Visszaírás 3-as számrendszerből tízesbe • 12023 • 1*27+2*9+2=47 • 21120 hármas számrendszerben • 2*81+1*27+1*9+2*3= • 204 tízes számrendszerben

17. Műveletek 2-es számrendszerben • Összeadás 10112+1012= 1011 0101 10000 • Szorzás 1011*11 1011 100001

18. Egész számok • Ahhoz, hogy a kivonás is korlátlanul elvégezhető legyen, a természetes számok halmazát bővítenünk kell a negatív egész számok halmazával. Ekkor kapjuk az egész számok halmazát. • Az egész számok halmazelméleti jelölése: Z • Z={...-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3...}

19. Racionális számok • Azokat a számokat, amelyeket felírhatjuk két egész szám hányadosaként, racionális számoknak nevezzük. (a racionális latin szó, itt most azt jelenti, hogy arányként felírható) • Természetesen az egész számok racionális számok. (Az osztó az 1.) • A racionális számok halmazelméleti jele: Q.

20. Tizedes törtek • A racionális számokat felírhatjuk tizedes tört alakban is. • A tizedes törtek lehetnek • véges tizedes törtek • szakaszos tizedes törtek (tiszta szakaszos, vegyes szakaszos tizedes törtek) • A tizedes törteknek végtelen, nem szakaszos formája is van, ezek nem képezhetők két egész szám hányadosaként, ez a forma egy újabb számhalmaz tizedes tört alakja. • Az alakú racionális szám, akkor és csak akkor írható fel tiszta szakaszos tizedes tört alakban ha (b;10)=1 (azaz b és a 10 legnagyobb közös osztója az 1)

21. Irracionális számok • Azokat a számokat, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként irracionális számoknak nevezzük. • Az irracionális számok halmazelméleti jelölése: Q* • A nem szakaszos végtelen tizedes törtek irracionális számok.

22. Indirekt bizonyítás Tétel: irracionális szám a √2 • Bizonyítás: • Indirekt bizonyítás lényege: ha az állítás tagadásáról kimutatjuk, hogy hamis, akkor az állítás igaz. • Tegyük fel, hogy √2 racionális szám, azaz van p, q egész, hogy p/q alakban felírható

23. számosság • Véges - végtelen • Megszámlálható végtelen – természetes számok, racionális számok • 1/1 2/1 3/1 4/1 5/1 6/1 7/1 8/1 9/1…. • ½ 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 7/2 8/2 9/2…. • 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3 7/3 8/3 9/3…. • ¼ 2/4 ¾ 4/4 5/4 6/4 7/4 8/4 9/4…. • 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5 7/5 8/5 9/5…. • Nem megszámlálható

24. függvények • A leképezések típusai: • Egy-egyértelmű leképezés – kölcsönösen egyértelmű leképezés - minden a-nak egy b képe van és viszont. • Több a-hoz egy b tartozik (gyerek →életkor függvény, de az életkor →gyerek leképezés nem függvény) • Egy a-hoz több b tartozik – nem függvény • Függvény – A egyértelmű leképezése B-re

25. „szabály játék” • A szabály felismerése • A szabály alkalmazása • Példák • Y=x+3

26. Wass Albert Arany János Petőfi Sándor Kányádi Sándor Móra Ferenc Valaki jár a fák hegyén Szeressétek az iskolát Feltámadott a tenger Családi kör Üzenet haza Toldi János vitéz Szerzők, versekA={költők}, B={versek}

27. leképezések • Költő→vers leképezés • vers→költő (leképezés - függvény) • AxB={minden(vers, költő)} értelmezési tartomány • T={igaz, hamis} • F: AxB→T logikai függvény

28. Inverz függvény • Csak kölcsönösen egyértelmű leképezés esetén tudjuk értelmezni. • Vizsgáljuk meg a versek és szerzők egymáshoz rendelését! • Vers --- szerző (egy versnek egy szerzője van) • Szerző --- vers (egy szerző több verset is írt.)

29. feladat • Gesztenyét gyűjtünk egy nagy kosárba, és bevisszük a gyerekekkel a csoportszobába. • Veszünk (készítünk) olyan dobozokat, melyek egymásba rakhatók. • kettesével lehet egy nagyobb dobozt készíteni • Két kisebb dobozt egy nagyobb dobozba be lehet rakni.

30. Kettes számrendszer

31. Hármas számrendszer • A fenti eljárással tegyük be a gesztenyéket a dobozokba, 3-3 db-ot egy dobozba. • Ha a dobozok hármasával rakhatók egymásba, akkor a 23 gesztenye elrakásához kell • Két kilences, azaz kétszer háromszor hármas doboz, • Egy hármas és kívül marad 2 • 23=2*9+1*3+2, 2123

32. Felírás kettes számrendszerben • 1 csillag • 1 „kettes” doboz • 1 dupla kettes doboz • 0 dupla (dupla kettes) doboz • 1 dupla (dupla (dupla kettes)) doboz • 10111 kettes számrendszerben • 101112 • 1*16+0*8+1*4+1*2+1*1=23