1 / 39

Számrendszerek

Számrendszerek. Farkas Gábor. Komputeralgebra Tanszék ELTE IK P á zm á ny P é ter s é t á ny 1/ C. H-1117 Budapest, Hungary farkasg@compalg.inf.elte.hu. Budapest 2004. Számrendszer N-ben. Tétel. Legyen q > 1 természetes szám. A = {0, 1, 2, ..., q  1}.

moke
Download Presentation

Számrendszerek

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Számrendszerek Farkas Gábor Komputeralgebra TanszékELTE IK Pázmány Péter sétány 1/C. H-1117 Budapest, Hungary farkasg@compalg.inf.elte.hu Budapest2004

  2. Számrendszer N-ben Tétel. Legyen q > 1 természetes szám A = {0, 1, 2, ..., q1} ekkor N0 tetszőleges  eleme egyértelműen írható fel a következő véges összegként:  = e0 + e1q + e2q2 + ... + ekqk, ahol ei A és 0  i  k . - 1 -

  3. Bizonyítás. A legfeljebb k + 1 számjeggyel előállítható számok halmaza: k + 1 együttható mindegyike q különböző értéket vehet fel 0 és q 1 között.  qk+1 külünböző lehetőség. A legkisebb szám a 0, a legnagyobb összesen qk+1 darab. - 2 -

  4. Van-e két azonos? Tfh, létezik   N0 , amire  = e0 + e1q + e2q2 + ... + ekqk = = f0 + f1q + f2q2 + ... + fkqk.   e0  f0 mod (q), A TMR  e0 = f0 . q -val osztva kapjuk: 1 = e1 + e2q + e3q2 + ... + ekqk-1 = = f1 + f2q + f3q2 + ... + fkqk-1 . Most e1 = f1 , folytassuk ezt az eljárást ... - 3 -

  5. Jelölések, elnevezések: A = {0, 1, 2, ..., q1} teljes maradékrendszer kanonikusegyüttható-, vagy jegyhalmaz. Elemei a számjegyek. ( A , q ) számrendszer , q alapszámmal . CÉL : Különböző algebrai struktúrákra hasonló módon értelmezni a számrendszer fogalmat. Problémák (pl.): 1. A kanonikus alakú jegyhalmazok általában nem eredményeznek számrendszert! 2. Egészek, algebrai egészek. 3. Törtek leírása. - 4 -

  6. A vizsgált kérdések különböző struktúrákban I. Adott -hoz találjunk olyan E teljes maradékrendszert, ha létezik, amire (, E) számrendszer. II.Adott  és E = {0,1,..., |N()|-1} kanonikus együtthatórendszerről döntsük el, hogy (, E) számrendszer, vagy sem. - 5 -

  7. Általánosított számrendszerek Z-ben Legyen q 0 Z, A = {a0= 0, a1, ..., at1} TMR, ahol |q| = t > 1 . Ekkor és   n  Z –re ! f  A : n = n1q + f . - 6 -

  8. Definiálunk egy függvényt J : Z Z: J(n) = n1 . Átmenet: f n n1 Legyen - 7 -

  9. 1. Lemma. (1) Ha |n| > L  |J(n)| < |n|, (2) Ha n [L, L]  J(n)[L, L] . Bizonyítás. (1)Indirektte tfh |n|  |J(n)|   - 8 -

  10. (2) n [L, L]  - 9 -

  11. Következmény. A J0(n), J1(n), J2(n), ... sorozat vagy csökkenni fog, vagy bennemarad egy intervallumban, tehát „előbb-utóbb perio-dikus lesz”. Definíció.   Z periodikus elem, ha valamely k  N-re   Z : Jk() =  . P a periodikus elemek halmaza. G(P) irányított gráf, ahol a pontok a periodi-kus elemek és egy nyíl 1 –ből 2 –be mutat, ha J(1) = 2 . - 10 -

  12. Állítások. 1. 0 P . 2.n P k N : n = e0 + e1q + e2q2 + ... + ek-1qk-1 + nqk, ei  A. n = e0 + q(e1 + e2q + e3q2 + ... + nqk-1), J(n) = e1 + e2q + e3q2 + ... + nqk-1, J(J(n)) = e2 + e3q + e4q2 + ... + nqk-2, Jk(n) = n . - 11 -

  13. 3. P J() P . 4.G(P) diszjunkt körök uniója. 5. P [L, L ] . Definíció. ( q, A ) számrendszer Z felett, ha minden  egész felírható a következő véges összegként:  = e0 + e1q + e2q2 + ... + ekqk, ahol ei A és 0  i  k . A TMR  egyértelműség . - 12 -

  14. Észrevétel. ( q, A ) számrendszer  P = {0} . Példa. q = 3, A = {0, 7, 11}. Ekkor K = 11, L = 11/2  || ≤ 5 n > 0 : n = 3n1 + b , b {0, 7, 11} . - 13 -

  15. 5 = 3·(-2) + 11 4 = 3·(-1) + 7 3 = 3·1 + 0 2 = 3 ·(-3) + 11 1 = 3 ·(-2) + 7 n < 0 : -5 = 3·(-4) + 7 -4 = 3·(-5) + 11 -3 = 3·(-1) + 0 -2 = 3 ·(-3) + 7 -1 = 3 ·(-4) + 11 G(P) : 11 0 -4 -5 0 7 - 14 -

  16. Általánosított számrendszerek R-ben Legyen HR olyan x valós számok halmaza, melyeknek legalább egy ei A , alakú előállítása. Tétel. (1) H korlátos és zárt, (2)  y  R –re  n  Z ésx  H :y = n + x . - 15 -

  17. Definíció. k = { | = e0 + e1q + e2q2 + ... + ekqk, ei A . A = 0  1  2  ... azon elemek halmaza, melyeknek van véges előállítása (A, q)-ban. - 16 -

  18. Állítások. 1.  = Z  (A, q) számrendszer. 2.  k  N : 3. (H) > 0, különben Tétel  - 17 -

  19. 2. Lemma. 1, 2   (1  2)  (1 + H  2 +H) = 0. Bizonyítás. 2. Állítás  - 18 -

  20. Ha (1 + H  2 +H) > 0 lenne, akkor Következmény. Ha (A, q) számrendszer   = Z   n1, n2  Z , (n1  n2) : (n1 + H  n2 +H) = 0. - 19 -

  21. Definíció (JTCS). (A, q) éppen érintő lefedő rendszer, ha (n1 + H  n2 +H) = 0,  n1, n2  Z , (n1  n2) esetén. Nyílt kérdés. S(0) = {n | H + n H   } (= S) , S(m) = {n | H + n H + m   }. - 20 -

  22. Észrevétel. S   , különben { H + n | n Z} nem fedné le R -t.   S : B = H  H +  . Tetszőleges JTCS esetén mennyi B Hausdorff – dimenziója ? - 21 -

  23. Általánosított számrendszerek Rk-ban Mkk mátrix, 1, ..., k, különböző saját-értékekkel és |i| > 1  i-re. L = MZk részcsoport Zk –ban. A Zk /MZk faktorcsoport rendje |det M| . L = A0,A1, ..., At-1 , ahol t = |det M| , maradékosztályok mod(M).  Aj –ből egy elemet választunk: A = { a0= 0, a1, ..., at-1 } . További definíciók hasonlóan, mint eddig. - 22 -

  24. Quadratic fields If D is a squarefree integer, then is a real ( D > 1 ) or imaginary ( D < -1 ) quadratic field. Let I be the set of algebraic integers in an arbitrary quadratic field . - 23 -

  25. If   I and E is a complete residue system mod  containing 0, then (, E) is a coefficient, or digit set with base number. We say that (, E)is a number system in I if each Ican be written as a finite sum  = e0 + e1 + e22 + ... + ekk, where ei E and i = 0, 1, ..., k . - 24 -

  26.  I : !f  E :  = 1 + f with a suitable 1I . J : I I function, J() = 1 . Transition: f  1 Periodic element:   I : Jk() =  . G(P) is a disjoin union of directed circles. - 25 -

  27. (, E) is a Number System  P = { 0 } G(P) : 0 0 - 26 -

  28. The starting point of our investigation I. Kátai, Number Systems in imaginary quadratic fields, Annales Univ. Sci. Budapest., Sect. Comp. 14 (1994), 159-164. If I is the set of integers in some imaginary quadratic field then   I is a base of a number system with an appropriate digit set E,    0 and , 1   are not units . - 27 -

  29. K – type coefficient (digit) sets G. Farkas, Number systems in real quadratic fields. Annales Univ. Sci. Budapest, Sect. Comp.18 47-60 (1999).   0 , , 1   are not unit and EK – type digit set .  (, E) is a NS. - 28 -

  30. G. Farkas, Digital expansion in real algebraic quadratic fields. Mathematica Pannonica. 10 (2) 235-248 (1999). G. Farkas, Location and number of periodic elements in Annales Univ. Sci. Budapest, Sect. Comp. 20 133-146 (2001). G. Farkas, Periodic elements and number systems in Comp. Math. Appl. (to appear). - 29 -

  31. F  type digit sets Irrational part f Rational part - 30 -

  32. New result   0 , , 1   are not unit,  α is a base number of a NS. - 31 -

  33. K- típusú jegyhalmazok konstrukciója 2. eset. Egész bázis: - 32 -

  34. számjegyre - 33 -

  35. Fraktálgeometriai kapcsolatok H a nulla egészrészű számok halmaza. H elemei a következő alakban írhatók: ahol ai –k számjegyek. - 34 -

More Related