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ACB

在第四冊曾學過圓 O 上的任意兩點 A 、 B 把圓分成兩個弧，比較大的弧稱為優弧，比較小的弧稱為劣弧； A 、 B 是這兩個弧的端點，為了區別這兩個弧，我們常在此二弧上各取一點 C 、 D ，把這兩弧分別表示成 ACB 、 ADB ，如圖 ( 一 ) 。. 我們通常用 AB 表示以 A 、 B 為端點的劣弧 ( 即 ACB ) ，此時， AB 稱為圓心角 ∠ AOB 所對的弧，而弦 稱為圓心角 ∠ AOB 所對的弦，相對的，我們也稱 ∠ AOB 為 AB 和弦 所對的圓心角。 AB 除了代表弧本身外，它還代表兩種意義，那就是弧的度數和弧的長度。.

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E N D

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  1. 在第四冊曾學過圓O上的任意兩點A、B把圓分成兩個弧，比較大的弧稱為優弧，比較小的弧稱為劣弧；A、B是這兩個弧的端點，為了區別這兩個弧，我們常在此二弧上各取一點C、D，把這兩弧分別表示成ACB 、ADB，如圖(一)。 我們通常用AB表示以A、B為端點的劣弧(即ACB )，此時，AB稱為圓心角∠AOB所對的弧，而弦稱為圓心角∠AOB所對的弦，相對的，我們也稱∠AOB為AB 和弦所對的圓心角。 AB除了代表弧本身外，它還代表兩種意義，那就是弧的度數和弧的長度。

  2. 在第四冊曾學過圓O上的任意兩點A、B把圓分成兩個弧，比較大的弧稱為優弧，比較小的弧稱為劣弧；A、B是這兩個弧的端點，為了區別這兩個弧，我們常在此二弧上各取一點C、D，把這兩弧分別表示成ACB 、ADB，如圖(一)。 A D C O B ACB ADB 劣弧 優弧

  3. A D C O B

  4. 我們將兩個半圓的量角器拼成一個圓，如圖(二)，這時整個圓的圓周被分割成360等分，每一等分的弧所對應的圓心角是1°，此時我們說這個弧的度數是1°。同樣的x°的圓心角所對的弧的度數為x°。 弧的度數 圓上一弧的度數就是它所對圓心角的角度。

  5. 如果∠AOB＝x°為圓O的圓心角，則所對AB 的度數會等於∠AOB的度數，而且我們會得到： (1) AB的度數＝∠AOB＝x°。 (2) AB的長度＝圓周長× 。

  6. AB 的長度＝8×2×π× CD 的長度＝10×2×π× 例1 已知圓心角，求所對弧和弦的長　 如右圖，兩同心圓的圓心為O，且兩圓的半徑分別為10、8，∠AOB＝120°。則AB 與CD 的度數與長度分別為何？ 解 AB的度數＝∠AOB＝120° CD的度數＝∠AOB＝120°

  7. (1) BD為圓心角∠BOD所對應的弧， ∠BOD的度數＝ ∴ BD的度數＝67.5° (2)圓O的周長為2×π×20＝40π(cm)， 得BD的長度＝ (cm) (3)圓O的面積為π×20×20＝400π(cm2) 得扇形BOD面積＝ (cm2) 如右圖，圓O的半徑為20cm，虛線將圓O分成八等分，若為∠AOC的角平分線，則： (1) BD的度數為多少？ (2) BD的長度為多少？ (3)扇形BOD的面積為多少？

  8. 我們接下來討論若圓O中AB 的度數＝CD的度數，則弦、弦是否等長？ 說明：圓心角∠AOB、∠COD所對的弧AB、CD相等 ∴∠AOB＝∠COD 在△OAB和△OCD中 、 (圓O的半徑) 且∠AOB＝∠COD ∴△OAB △OCD(SAS全等性質) 得到 由上面的說明我們可以知道，當一個圓內有兩個相等的弧時，其所對應的弦也會相等；反之，當一個圓內有相等的兩弦時，則其所對應的弧也會相等。

  9. 例2 等弦對等弧的應用　 如右圖，正五邊形ABCDE的頂點皆在圓O上，求∠AOC＝？ ∵正五邊形ABCDE的頂點皆在圓O上 解 ∴ AB＝BC＝ CD＝ DE＝ EA ∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOA＝ ∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC ＝72°＋72° ＝144°

  10. 當兩條弦的交點在圓周上，所形成的角稱為圓周角。如圖(三)，兩弦與相交於A點，則∠BAC就是圓周角。 右圖中的圓上有哪幾個角是圓周角？ ∠ABC、∠BCA、∠CAB都是圓周角

  11. 在隨堂練習的圖中，對圓周角∠ABC而言，是它所對的弦，AC是它所對的弧。我們已經知道，圓心角的度數等於其所對弧的度數，那麼圓周角的度數和它所對弧的度數有什麼關係呢？

  12. 等腰 ＝ ∠A ∠B 探索圓心角、圓周角與弧的度數關係 1.第一部分：圓周角的一邊是直徑時。參考圖(四)，回答下列 問題。 (1)圓周角∠BAC所對的弧為。 (2)連接，則△OAB為三角形， 得∠A∠B。 (3)因為∠BOC為△OAB的外角，所以 ∠BOC＝＋。 (4)由第(2)、(3)題的結果得知，圓周角∠A和圓心角∠BOC 有什麼關係？圓周角∠A和所對的弧BC 的度數有什麼關係？ BC ∵∠A＝∠B且∠BOC＝∠A＋∠B ∴∠A＝ ∠BOC＝ BC

  13. BC 2.第二部分：圓周角的兩邊都不是直徑，且圓心在圓周角內。 參考下圖(五)，回答下列問題。 (1)圓周角∠BAC所對的弧為。 (2)過A作直徑如圖(六)，則圓心角∠BOD和圓周角∠BAD有什麼關係？圓心角∠COD和圓周角∠CAD有什麼關係？ 利用△OAB和△OAC為等腰三角形及外角定理可推得 ∠BAD＝ ∠BOD；∠CAD＝ ∠COD

  14. (3)由∠BAC＝∠CAD＋∠BAD得知，圓周角∠BAC和圓心 角∠BOC有什麼關係？圓周角∠BAC和所對的弧BC的度數有什麼關係？ ∠BAC＝∠CAD＋∠BAD ＝ ∠COD＋∠BOD ＝ ∠COD＋∠BOD) ＝ ∠BOC ＝BC

  15. BC 3.第三部分：圓周角的兩邊都不是直徑，且圓心不在圓周角內。 參考下圖(七)，回答下列問題。 (1)圓周角∠BAC所對的弧為。 (2)過A作直徑，如圖(八)，則圓心角∠BOD和圓周角∠BAD有什麼關係？圓心角∠COD和圓周角∠CAD有什麼關係？ 利用△OAB和△OAC為等腰三角形及外角定理可推得 ∠BAD＝ ∠BOD；∠CAD＝ ∠COD

  16. (3)由∠BAC＝∠CAD－∠BAD得知，圓周角∠BAC和圓心角∠BOC有什麼關係？圓周角∠BAC和所對的弧BC的度數有什麼關係？(3)由∠BAC＝∠CAD－∠BAD得知，圓周角∠BAC和圓心角∠BOC有什麼關係？圓周角∠BAC和所對的弧BC的度數有什麼關係？ ∠BAC＝∠CAD－∠BAD ＝ ∠COD－ ∠BOD ＝ (∠COD－∠BOD) ＝ ∠BOC ＝BC

  17. 經由上面問題探索1的結論，可以得到以下性質： 圓周角的性質－1 1.一弧所對圓周角的度數等於它所對圓心角度數的一半。 2.一弧所對圓周角的度數等於該弧度數的一半。 在右圖中，∠ABE＝∠ACE＝∠ADE＝AE，所以我們也可以得知： 圓周角的性質－2 在同圓中，同弧所對的圓周角都相等。

  18. 例3 同圓中，同弧所對的圓周角相等　 如右圖，∠AOB＝100°，∠APB、∠AQB都是圓周角，則： (1)∠APB為多少度？ (2)∠AQB為多少度？ (3)∠APB、∠AQB是否相等？ (1)∵∠AOB＝100°∴∠AOB所對的弧AB ＝100° 解 又圓周角∠APB所對的弧為AB ∴∠APB＝ (2)∵圓周角∠AQB所對的弧也為AB ∴∠AQB＝ (3)∠APB＝∠AQB＝50°

  19. 30 120 60 如右圖，若∠ADC＝30°，∠ACB＝90°，則： (1)∠ABC＝度。 (2) BC＝度。 (3)∠BDC＝度。

  20. 例4 直徑所對的圓周角是直角　 如右圖，是圓O的直徑，C、D、E三點均在圓周上，則∠ACB、∠ADB、∠AEB的度數分別是多少？ ∵ 是圓O的直徑 解 ∴半圓AFB為180° 又∵∠ACB是圓周角 ∴∠ACB＝ 又∠ADB、∠AEB與∠ACB對同弧 ∴∠ADB＝∠AEB＝90°

  21. 由例題4可發現：為直徑，AB 所對的圓周角都是直角。事實上， 圓周角的性質－3 直徑或半圓所對的圓周角是直角。

  22. 右圖是一個半圓，O為圓心，為直徑，C為圓上一點，若∠CAB＝36°，則∠ABC是幾度？右圖是一個半圓，O為圓心，為直徑，C為圓上一點，若∠CAB＝36°，則∠ABC是幾度？ ∵ 為直徑，∴∠ACB＝90° 故∠ABC＝180°－∠ACB－∠CAB ＝180°－90°－36° ＝54°

  23. 若一圓周角是直角，則它所對的弦是否為此圓的直徑？若一圓周角是直角，則它所對的弦是否為此圓的直徑？ P為圓O外一點，以為直徑畫圓，若此圓與圓O相交於M、N二點，則、是圓O的切線嗎？為什麼？ 是。 ∵ 為圓Q的直徑 ∴∠PMO＝∠PNO＝90° 即 ⊥ ， ⊥ 故、為圓O的切線

  24. 例5 同圓中，平行弦所截的弧會相等　 如右圖，若弦和弦互相平行，則AC和BD是否相等？ 連接 解 ∵弦 //弦 ∴∠1＝∠2 又∵∠1＝ × AC ∠2＝ × BD ∴ 即AC＝BD

  25. 例6 同圓中，等弧所對圓周角相等的應用　 如下圖，若AC＝BD ，則弦和弦是否互相平行？

  26. (1)要判斷弦和弦是否互相平行，可以 連接當作截線，得到內錯角∠1、∠2 解 (2)∠1、∠2也是圓周角，其中 ∠1＝ × AC ∠2＝ × BD ∵ AC＝BD ∴∠1＝∠2 (3)由(1)、(2)得知 弦和弦被所截的內錯角相等 ∴弦和弦互相平行

  27. 如右圖，若，且BD＝70°，則∠E＝？ ∵ ∴ AC＝BD＝70° 故∠E＝

  28. 若有一個四邊形ABCD的四個頂點都在圓周上時，我們稱四邊形ABCD為圓內接四邊形。接下來，我們來討論圓內接四邊形的對角有什麼關係。 說明：如右圖，四邊形ABCD為一個圓內接四邊形 ∵∠BAD＝BCD，∠BCD＝BAD ∴∠BAD＋∠BCD＝BCD＋BCD ＝ ( BCD＋BCD ) 同理，∠ABC＋∠ADC＝180°

  29. 從以上說明可以知道： 圓內接四邊形的性質 圓內接四邊形的對角互補。 圓內接四邊形的對角互補　 如右圖，四邊形ABCD為圓內接四邊形，E為、延長線的交點；F為、延長線的交點，若∠DAB＝50°，∠F＝35°，則∠E＝？ 例7

  30. Hint 三角形外角定理：∠1＝∠A＋∠B 又∠CBE＝∠DAB＋∠F＝50°＋35°＝85°(∠CBE是△ABF的外角) 解 ∵四邊形ABCD為圓內接四邊形 ∴∠DCB＋∠DAB＝180° ∠DCB＋50°＝180° ⇒ ∠DCB＝130° ⇒ 且∠DCB＝∠CBE＋∠E(∠DCB是△CBE的外角) 130°＝85°＋∠E ⇒ ∠E＝130°－85°＝45° ⇒

  31. 如右圖，四邊形ABCD為圓內接四邊形，且B、C、E三點共線，若∠ABC＝95°，∠BAD＝115°，則如右圖，四邊形ABCD為圓內接四邊形，且B、C、E三點共線，若∠ABC＝95°，∠BAD＝115°，則 (1)∠ADC＝？ (2)∠DCE＝？ (1)∵四邊形ABCD為圓內接四邊形 ∴∠ABC＋∠ADC＝180° 95°＋∠ADC＝180° ∠ADC＝85° (2)∵∠BAD＋∠BCD＝180° 115°＋∠BCD＝180° ∠BCD＝65° 故∠DCE＝180°－∠BCD＝180°－65°＝115° ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

  32. 由2-1中我們知道過一圓直徑端點的垂線為此圓的切線，如圖(九)，為圓O的一條切線，A為切點，則∠BAC＝90°。如果我們將A點固定，B點沿著圓周移動，可得到如下圖(十)之B1、圖(十一)之B2。

  33. 上面三個圖形中的∠BAC、∠B1AC、∠B2AC，都分別是弦、、和切線的夾角，像這樣過圓上同一點的弦和切線所夾的角，我們稱為弦切角，其中BDA、B1DA、B2DA分別稱為弦切角∠BAC、∠B1AC、∠B2AC的夾弧。

  34. 探索弦切角和它所夾弧的度數的關係 1.若右圖中的弦切角∠BAC為直角，則BDA為多少度？∠BAC的度數與BDA的度數有什麼關係？ 2.若右圖中的弦切角∠B1AC為鈍角，∠1的度數與B1B的度數有什麼關係？又因為∠B1AC＝∠BAC＋∠1，所以∠B1AC的度數與B1DA的度數有什麼關係？ 180°；∠BAC＝ BDA ∠1＝ B1B；∠B1AC＝ B1DA

  35. 3.若右圖中的弦切角∠B2AC為銳角，∠2的度數與B2B的度數有什麼關係？又因為∠B2AC＝∠BAC－∠2，所以∠B2AC的度數與B2DA的度數有什麼關係？3.若右圖中的弦切角∠B2AC為銳角，∠2的度數與B2B的度數有什麼關係？又因為∠B2AC＝∠BAC－∠2，所以∠B2AC的度數與B2DA的度數有什麼關係？ 經由問題探索2，可以得到以下性質： 弦切角性質 弦切角的度數等於它所夾弧度數的一半。 ∠2＝ B2B；∠B2AC＝ B2DA

  36. (2)由弦切角的性質得知 例8 弦切角等於其夾弧度數的一半 如右圖，BA為84°，∠BDA為圓周角， ∠BAC為弦切角，則： (1)∠BDA為多少度？ (2)∠BAC為多少度？ (3)∠BDA、∠BAC是否相等？ (1)由圓周角的性質得知 解 Hint 對等弧的弦切角與圓周角會相等。 ∠BDA＝ BA＝ ×84°＝42° ∠BAC＝ BA＝ ×84°＝42° (3)由(1)、(2)可知∠BDA＝∠BAC＝42°

  37. (1)如圖，直線AC為圓O切線，A為切點，若 ∠BAC＝30°，則AB為多少度？ (2)如圖，直線AC為圓O切線，A為切點，若 ∠BAC＝60°，則AB為多少度？ 由弦切角的性質得知∠BAC＝ AB ∴ AB＝2∠BAC＝2×30°＝60° AB＝2∠BAC＝2×60°＝120°

  38. 前面介紹兩條弦的交點在圓周上，所形成的角為圓周角。接下來我們來看看，當兩條弦的交點不在圓周上時，這兩條弦所形成的角與弧的度數會有什麼關係呢？ 當兩弦的交點在圓內時，所形成的角稱為圓內角。 如下圖，兩弦與相交於P點，則∠APD、∠APC、∠CPB、∠BPD就是圓內角。

  39. 對圓內角∠APD而言，AD為它所對的弧； 對圓內角∠APC而言，AC為它所對的弧； 對圓內角∠CPB而言，CB為它所對的弧； 對圓內角∠BPD而言，BD為它所對的弧。 接下來，我們來看圓內角和其所對弧之間有什麼關係。

  40. 說明：如右圖，、為圓O的兩弦，且相交於P點 連接 ∵∠APD是△APC的外角，∴∠APD＝∠1＋∠2 又∠1、∠2均為圓周角 即∠1＝ AD，∠2＝ BC ∴∠APD＝ 同理∠APC＝

  41. 由以上可知： 圓內角的性質 圓內角的度數等於此角及其對頂角所對兩弧度數和的一半。

  42. 例9 圓內角的應用 如右圖，AB為86°，CD為100°，試求圓內角∠APB的度數。 解 ∠APB＝ ＝93°

  43. 如右圖，若∠BDC＝30°，∠CEB＝80°，則AD 為多少度？ ∠BDC＝30°BC＝2∠BDC＝60° ∠CEB＝ 80°＝ AD＝100°

  44. 當圓的兩條割線、一條割線及一條切線或兩條切線相交於圓外時，所形成的角稱為圓外角。 如圖(十二)，兩條割線與相交於P點，則∠P就是圓外角，對圓外角∠P而言，AC 與BD是它所對的兩弧。

  45. 如圖(十三)，切線與割線相交於P點，則∠P就是圓外角，對圓外角∠P而言，AC與AB是它所對的兩弧。

  46. 如圖(十四)，過圓外一點P，作此圓的兩切線、，則∠P就是圓外角，對圓外角∠P而言，ACB與ADB 是它所對的兩弧。

  47. 接下來我們討論圓外角的度數和其所對弧之間的關係： 1.如右圖，P為圓外一點，和為此圓的割線。 說明：連接 ∵∠1是△APD的外角 ∴∠1＝∠P＋∠2，∠P＝∠1－∠2 又∠1、∠2均為圓周角 即∠1＝ ，∠2＝ ∴∠P＝

  48. 2.如右圖，若移動，使得與圓相切，B為切點，則∠P與BC、BD有何關係？2.如右圖，若移動，使得與圓相切，B為切點，則∠P與BC、BD有何關係？ 說明：接 ∵∠2是△PBD的外角 ∴∠2＝∠1＋∠P，∠P＝∠2－∠1 又∠2為圓周角，∠1為弦切角 即∠2＝ ，∠1＝ ∴∠P＝

  49. 3.如右圖，接著再移動，使得與圓相切，D為切點， 則∠P與BED、BFD 又有何關係？ 說明：連接 ∵∠1為△PBD的外角 ∴∠1＝∠P＋∠2，∠P＝∠1－∠2 又∠1、∠2皆為弦切角 即∠1＝ ，∠2＝ ∴∠P＝

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