Stochastické modely a simulácie

1. Prednáška 1 Stochastické modely a simulácie

2. Ekonomicko – matematické modely: • deterministické • stochastické • vlastné stochastické modely • indeterministickémodely Stochastické modelovanie 1. STOCHASTICKéMODELOVanie

3. Modely založené na Markovových procesoch • Modely hromadnej obsluhy • Modely zásob • Modely obnovy metóda „Monte Carlo“ Stochastické Modely

4. X(t, ) tT  t - najčastejšie čas, T - reálna časová množina  - element náhodného javu - pravdepodobnostný priestor STOCHASTICKÝ PROCES

5. xj (t)j = 1, 2, ...n t = t0(t0= 9)X (t0, ), j = 1, 2, ...n. E1, E2,....Em Markovova vlastnosť:

6. Markovovreťazec konečný Markovovreťazec nekonečný Markovovreťazec krok, resp.fázaprocesu 2. MODELOVANIE STOCHASTICKÝCH DYNAMICKÝCH SYSTÉMOV MARKOVOVÝMI REŤAZCAMI

7. Podnik uvádza na trh nový produkt a sonduje jeho úspešnosť, ktorý z hľadiska odbytu možno charakterizovať nasledovným spôsobom: produkt sa považuje za úspešný, ak sa v určenom čase predá viac ako 70% výroby, produkt sa považuje za neúspešný, ak sa v určenom čase predá menej ako 70% výroby. Na začiatku v priebehu prvého mesiaca sa zistila 75% úspešnosť produktu. ak bol produkt v prvom mesiaci úspešný, s pravdepodobnosťou 0,5 zostal úspešným aj v nasledujúcom mesiaci. ak nebol úspešný, s pravdepodobnosťou 0,2 sa stane v nasledujúcom mesiaci úspešným. Podnik spustil reklamnú kampaň: v prípade úspešnosti produktu v prvom mesiaci sa zvýšila jeho úspešnosť na 80% ak bol predaj na začiatku neúspešný, jeho úspešnosť sa využitím reklamy zvýšila iba na 30%. Predpokladajme, že sú zistené aj “výnosy” odpovedajúce jednotlivým alternatívam úspešnosti produktu. Úlohou je skúmať vývoj úspešnosti produktu po mesiacoch a stanoviť pre podnik optimálnu politiku súvisiacu s etablovaním sa produktu na trhu. Príklad 1

8. E1 - produkt sa považuje za úspešný, • E2 - produkt sa považuje za neúspešný 1. pravdepodobnosť stavu, resp. absolútna pravdepodobnosť: k = 0

9. 2. pravdepodobnosť prechodu Markovov reťazec - homogénny, ak pre každé i, j, k platí: Matica podmienených pravdepodobností prechodu: Markovovreťazec - nehomogénny

10. Stavy : • tranzientné(prechodné) • rekurentné (návratné) - periodické (s pravidelným návratom) - aperiodické (s nepravidelným návratom), • absorbčné (nenávratné) • Ergodickémarkovove reťazce. • Absorbčnémarkovove reťazce. SKÚMANIE OČAKÁVANÉHO VÝVOJA SYSTÉMU POMOCOU MARKOVOVÝCH REŤAZCOV

11. Určenie vektora absolútnych pravdepodobností po k-krokoch: A. homogénny reťazec: • vektor absolútnych pravdepodobností po 1-kroku: • vektor absolútnych pravdepodobností po 2-kroku: • vektor absolútnych pravdepodobností po k-kroku: B. nehomogénny reťazec: • vektor absolútnych pravdepodobností po 1-kroku: • vektor absolútnych pravdepodobností po 2-kroku: • vektor absolútnych pravdepodobností po k-kroku: ergodickéMarkovové reťazce

12. Asymptotické správanie sa ergodickýchreťazcov

13. očakávaný celkový výnos procesu po k krokoch, ktorý vznikol zo stavu Ei stredná hodnota bezprostredného výnosu odpovedajúca stavu Ei vektor stredných hodnôt bezprostredných výnosov Markovove reťazce s výnosom (ocenením)

14. Markovove reťazce s alternatívami riadené Markovove reťazce, príp. Markovove rozhodovacie procesy HOWARD v roku 1960 „metóda iterácie podľa hodnoty“

15. Ei - stavy systému i = 1, 2, ...m h - index alternatív pijh - pravdepodobnosť prechodu medzi stavmi Ei a Ej pri h-ej alternatíve rijh - ocenenie (výnos) prislúchajúce k - index kroku.

16. 1. krok: celkové očakávané výnosy na optimálnej ceste stredná hodnota výnosu stavu Ei pri h-ej alternatíve Postup

17. 2 krok: určíme vektor odpovedajúcich alternatív Postup