Előadó: Kovács Zita 2013/2014. II. félév

1. Tudásalapú rendszerek Előadó: Kovács Zita 2013/2014. II. félév • Az osztályozás fogalmának háló alapú bevezetése

2. Tartalom • Bevezetés • Hálóelméleti alapfogalmak • Fogalmi hierarchia • Az osztályozási eljárás • Összegzés

3. 1. Bevezetés • osztályozás: • az objektumok közötti és • az objektumok és tulajdonságaik közötti relációk felépítése • homogén egységeket alakítunk ki

4. Bevezetés • az osztályozáson alapuló rendszerek különböző útvonalakon alakultak ki: • logika • szemantikus hálók és keretek • osztályalapú nyelvek • leíró logikák

5. Bevezetés • az osztályozáson alapuló rendszerek osztályhierarchián alapulnak • egyedeire az osztályozáson alapuló következtetőrendszerek hatnak • osztályok osztályozása olyan folyamat, melynek során • az osztályokat hierarchiába szervezzük vagy • a meglévő hierarchiába új osztályt illesztünk

6. Bevezetés • egyedek osztályozása olyan folyamat, melynek során • felismerjük az egyedhez tartozó osztályt • mai előadás célja: megmutasson egy lehetséges megközelítési módot az osztályozás fogalmának bevezetésére a hálóalgebraistruktúrák segítségével

7. 2. Hálóelméleti alapfogalmak • Legyen S tetszőleges halmaz. • Az R relációt reflexívnek nevezzük, ha minden S-beli a elemre R(a,a). • Az R relációt antiszimmetrikusnak nevezzük, ha minden S-beli a és b elemre, ha R(a,b) és R(b,a), akkor a és b azonosak.

8. Hálóelméleti alapfogalmak • Az R relációt tranzitívnak nevezzük, ha minden S-beli a,b,c elemre ha R(a,b) és R(b,c), akkor R(a,c). • Az S halmazt részben rendezettnek nevezzük, ha az S bizonyos elempárjaira értelmezve van egy reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív R reláció.

9. Hálóelméleti alapfogalmak • Az S részben rendezett halmazban∀ a,b ∈ S esetén: R(a,b) vagy R(b,a) vagy a és b nem összehasonlíthatóak. • Legyen S részben rendezett halmaz.S-t (teljesen) rendezettnek nevezzük, ha∀ a,b ∈ S összehasonlítható.

10. Hálóelméleti alapfogalmak • Legyen S részben rendezett és a,b,c, x ∈ S. • Az x elemet az a és b elemek felső korlátjának nevezzük, ha R(a,x) és R(b,x). • Az x elemet az a és b elemek alsó korlátjának nevezzük, ha R(x,a) és R(x,b).

11. Hálóelméleti alapfogalmak • A c elemetaz a és b elemeklegkisebbfelsőkorlátjánaknevezzük, ha • c az a és b elemekfelsőkorlátjaés • ∀ x ∈ S esetén, ha x felső korlátjaaz a és b elemeknek, akkor R(c,x).

12. Hálóelméleti alapfogalmak • A c elemetaz a és b elemeklegnagyobbalsókorlátjánaknevezzük, ha • c az a és b elemekalsókorlátjaés • ∀ x ∈ S esetén, ha x alsókorlátjaaz a és b elemeknek, akkor R(x,c).

13. Hálóelméleti alapfogalmak • Ha az a és b elemeknek léteziklegkisebbfelső (legnagyobbalsó) korlátja,akkorazegyértelműen meghatározott. • A legkisebbfelsőkorlát: a ∪ b • A legnagyobbalsókorlát:a ∩ b

14. Háló fogalma Legyen S részbenrendezetthalmazaz R relációval. Az {S, R} párosthálónaknevezzük, habármelyx,y ∈ S elempár esetén léteziklegkisebbfelsőés legnagyobbalsókorlát. • A hálók jelölésekorszokásosannememlítjük az R relációt.

15. Háló fogalma • Legyen P háló és e,O ∈ P. • Az eelemetegységelemneknevezzük, ha ∀a∈Pesetén R(a,e). • Az O elemetzéruselemneknevezzük, ha∀a∈Pesetén R(O,a). • Egy hálóban nem feltétlenül létezikegységelem és zéruselem.

16. Példa hálóra • Az X halmaz összes részhalmaza a halmazelméleti részhalmaza relációval (jelölésben P(X)). • Legyen S teljesen rendezett halmaz. Ekkor S háló, mégpedig • a ∪ b = max(a,b) és a ∩ b = min(a,b).

17. Példa hálóra • Legyen S a pozitív egészekhalmaza,hozzávéve a nullát. • Jelentseaz R(a,b) relációazt, hogy a osztója b-nek. • Ekkora ∪ b az a és b legkisebb közös többszöröse és • a ∩ b az a és b legnagyobb közösosztója. • Aháló nullelemeaz1, • és egységeleme a nulla.

18. Példa hálóra • Legyen S a háromdimenziós tér lineáris alakzatainak halmaza (üres halmaz, pontok, egyenesek, síkok és az egész tér). • R(a,b) jelentse azt, hogy a benne van b-ben. • Ekkor az a ∪ b az a és b alakzatokat tartalmazó legkisebb lineáris alakzat, • a ∩ b pedig az a és b alakzatok közös része.

19. Példa hálóra • Tekintsük a következő számokat: 4, 5, 6, 7, 8 és legyen R a szokásos ≤, azaz R(a,b) jelentése, hogy a ≤ b. 8 7 6 5 4

20. Példa hálóra • Tekintsük a következő számokat: 2, 4, 6, 10, 60 és jelentse R(a,b), hogy a osztója b-nek. 60 4 6 10 2

21. Példa hálóra • Tekintsük a következő halmazokat: {a,b,c}, {a}, {c}, {b,c}, ∅ és a halmazelméleti részhalmaza (⊆) relációt. {a,b,c} {b,c} {a} {c} ∅

22. Példa hálóra • Tekintsük a következő intervallumokat: A = [5,6], B = [4,7], C = [2,8], D = [3,9],E = [1,10] és R(a,b) jelentse, hogy az a intervallum része a b intervallumnak. E C D B A

23. Példa nem háló struktúrára • Tekintsük a következő számokat: 2, 3, 5, 30, 60 és jelentse R(a,b), hogy a osztója b-nek. 60 30 3 2 5

24. Példa nem háló struktúrára • Tekintsük a következőintervallumokat:A = [4,5], B = [6,7], C = [2,8], D = [3,9],E = [1,10] és R(a,b) jelentse, hogyaz a intervallum része a b intervallumnak. E C D A B

25. A hálók tulajdonságai • Legyen P háló, R a P-n definiált részben rendezési reláció és a,b,c ∈ P. • Ha R(a,b), akkor létezik a-nak és b-nek legkisebb felső és legnagyobb alsó korlátja a ∪ b = b és a ∩ b = a.

26. A hálók tulajdonságai A P hálóban a legkisebb felső és legnagyobb alsó korlátok a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:

27. A hálók tulajdonságai Legyenaz S nemüres halmazban kétoperáció értelmezvea ∪ b és a ∩ b; az S tetszőlegesa,belemeire úgy,hogyaz előbbi 4 feltételteljesül. • Ekkor S háló,amelyben • az a, b elemeklegkisebbfelsőkorlátja a ∪ b, • legnagyobbalsókorlátja a ∩ b. • Az R reláció: R(a,b) pontosan akkor, ha a ∩ b = a.

28. A hálók tulajdonságai • Az 1-4 tulajdonságokat gyakran háló axiómáknak is nevezzük.

29. A hálók tulajdonságai Ha a P háló véges halmaz, akkor van egységeleme és zéruseleme. • Legyen P = {a1, a2, . . . , an}. • Akkor e = a1 ∪ a2 ∪ . . . ∪ an • és O = a1 ∩ a2 ∩ . . . ∩ an. • Ha az egységelem és a zéruselem léteznek, akkor egyértelműen meghatározottak.

30. Az egységelem és a zéruselem tulajdonságai az S tetszőleges a elemére • e ∪ a = e e ∩ a = a • O ∪ a = a O ∩ a = O

31. Az egységelem és a zéruselem tulajdonságai Legyen S rendezett halmaz. • Akkor S háló, amelyben • a ∪ b = max(a,b) és • a ∩ b = min(a,b).

32. Moduláris hálók Tétel: Tetszőleges hálóbanR(x,z) ⇒ R(x ∪(y ∩ z),(x ∪ y)∩ z) Bizonyítás: Mivel R(x, x ∪ y) és R(y ∩ z, y) és R(y, x ∪ y) és a tranzitivitás miatt R(y ∩ z, x ∪ y) ezértR(x ∪(y ∩ z), x ∪ y) valamint R(x,z) és R(y ∩ z, z) -ből következik, hogy R(x ∪(y ∩ z), z) és ígyR(x ∪(y ∩ z), (x ∪ y)∩ z)

33. Moduláris hálók Definíció: Azolyan hálót, amelyben R(x,z) ⇒ x ∪(y ∩ z) = (x ∪ y)∩ z moduláris hálónaknevezzük.

34. Példa • moduláris: 60 4 6 10 2

35. Példa • nem moduláris: {a,b,c} {b,c} {a} {c} ⊆ {b,c} {c} ∪({a} ∩ {b,c}) = {c} ∪ {∅} = {c}, ({c} ∪ {a}) ∩ {b,c} = {a,b,c} ∩ {b,c} = {b,c} {c} ∅

36. Disztributív hálók Tétel: Tetszőleges hálóban R(x ∪(y ∩ z), (x ∪ y)∩(x ∪ z)) R((x ∩ y)∪(x ∩ z), (x ∩(y ∪ z)). Tétel: Egy hálóban az 1.azonosság pontosanakkorteljesül, ha a 2.azonosság is teljesül. 1. x ∪(y ∩ z) = (x ∪ y)∩(x ∪ z) 2. x ∩(y ∪ z) = (x ∩ y)∪(x ∩ z)

37. Disztributív hálók Definíció: Egy hálót amelybenaz 1. azonosság(következésképpen a 2. azonosság) teljesül, disztributív hálónaknevezü nk.

38. Példa • Egyhalmazösszes részhalmazainakhalmazadisztributív háló (∩ és ∪ a szokásoshalmazelméletei műveletek). • Egyteljesenrendezetthalmazdisztributív háló • (∩, a legnagyobbalsókorlát azelemek minimuma, • ∪, a legkisebbfelsőkorlát azelemek maxi- muma).

39. Példa nem disztributív hálóra • 4 ∪(6 ∩ 10)= (4 ∪ 6)∩(4 ∪ 10) • 6 és 10 legnagyobbalsókorlátja (közös osztója): 2 • 2 és 4 legkisebbfelsőkorlátja (közös többszöröse):4 • ugyanakkor 4 és 6 legkisebbfelsőkorlátja (közös többszöröse): 60 • 4 és 10 legkisebbfelsőkorlátja (közös többszöröse) is 60, azaz a jobboldalon a legnagyobbalsókorlát (közös osztója) is 60 60 4 6 10 2

40. Boole algebra • Legyen L háló, amelynekegységeleme e és nulleleme 0. • Az a ∈ L elemkomplemenséneknevezzük aztaza L-belielemet, amelyre • a ∪ a =e és • a ∩ a = O. • Nyilvánvaló, hogya komplemenseéppen a. • O és e egymás komplemensei.

41. Boole algebra • Az alábbiábrán nemdisztributív hálót láthatunk. • a d elemneknincskomplemense • az f elemnek a és b egyarántkomplemensei e d f a b c o

42. Boole algebra Tétel:Egy L disztributív hálómindeneleméneklegfeljebbegykomplemenselehet. Az előbbi ábrából a b elemet és a o-d élet törölve disztributív hálót kapunk, amelyben a d-nek továbbra sincs komplemense.

43. Boole algebra Definíció: Egy olyandisztributív hálót,amelyben mindenelemnek van komplemense Boole-féle algebránaknevezünk.

44. Boole algebra Tétel: Ha a, b Bboole-algebraielemek, akkor • (a ∪ b) = a ∩ b és • (a ∩ b) = a ∪ b

45. 3. Fogalmi hierarchia • a valós világ egy fogalmát reprezentáló osztály egy generikus egység, amely csoportosít egy elemhalmazt és amely egy saját leíróval rendelkezik. • tehát egy C osztályhoz tartozik egy rá jellemző, a reprezentált fogalom állapotát és viselkedését leíró tulajdonsághalmaz

46. Fogalmi hierarchia A C osztálykonjunkciókkal is kifejezhető, C = (a1, s1) ⊓ (a2, s2) . . ., ⊓ (an, sn) ahol • az akattribútum és • skaz attribútumhozkapcsolódó specifikáció, • pontosítvaazértékek típusát, atartományát és számosságát (ak-k páronként különbözőek).

47. Fogalmi hierarchia • az osztályok klasszifikációja során: az osztályhoz tartozó egyedek közös tulajdonságait csoportosítjuk

48. Fogalmi hierarchia • az alárendelés • egy általános reláció, amely • az osztályok hierarchiába szervezését biztosítja • (pontos definíció: lásd leíró logikáknál) • egy C osztály alárendeli egy D osztály (C⊑D), ha • D minden attribútuma C-ben is megtalálható • a C attribútumai mutatják a D attribútumainak állapot specifikációját

49. Fogalmi hierarchia Definíció: EgyH fogalmihierarchiaegy(χ, ⊤, ⊑) háló, ahol • χ osztályok végeshalmaza, • ⊑ azosztályokondefiniált részbenrendezésireláció, amitalárendelésneknevezünk, és • ⊤ a χ egységeleme a ⊑ relációra nézve. ⊤-t a hierarchiagyökeréneknevezzük.

50. Fogalmi hierarchia • A χ háló diagramjában a D→C él jelöli azt a tényt, hogy a C osztály alárendeli a D osztályt.