Matemática I

1. Matemática I • Prof. Laurence D. Hoffmann. • Prof. GeraLd L. Bradley • Professora. Patrícia Carly

2. Limite de uma função • Se f(x) tende a um número L quando x tende a um número c tanto pela esquerda como pela direita, L é limite de f(x) quando x tende a c, o que, em notação matemática, é escrito como: Lim f(x)= L x c

3. Para as três funçoes , o limite de f(x) quando x tende F(c)=4 F ( c)=é diferente de 4 • Para as três funções, o limite de f(x) quando x tende a 3 é igual a 4. F(c)= não é definido

4. Propriedade algébrica dos limites:se lim f(x) e lim g(x) existem x c x c

5. Limite de duas funções lineares • Para qualquer constante k. • Lim k = k e lim x = c • x c x c • O limite de uma constante é a própria constante. • o limite de f(x)=x quando x tende a c é c.

6. Limite de duas funções lineares y y Y=k c (c,k ) (c,c) x x c x x x c x Lim k = k lim x = c x c x c

7. Calcule o limite • A)Lim 2 • x 1 • B) lim x • x 2

8. Solução y y Y=2 2 (1,2 ) (2,2) x x 2 x x x 1 x A)Lim 2 x 1 B) lim x x 2 Lim k = k lim x = c x c x c

9. Calcule lim (3x³-4x +8)x -1 • Solução: • Usando a propriedade e limite • lim (3x³-4x +8)= 3(lim x)³- 4(lim x) + lim 8 • x -1 x -1 x -1 x -1 • = 3(-1) ³ - 4(-1) + 8 = 9

10. Calcule lim (2x³+4x +7) x -1

11. Calcule lim (2x³+4x +7)x -1 • Solução: • Usando a propriedade e limite • lim (2x³+4x +7)= 2(lim x)³+ 4(lim x) + lim 7 • x -1 x -1 x -1 x -1 • = 2(-1) ³ + 4(-1) + 7= 1

12. Calcule lim 3x³ -8/ x-2 x 1 • Lim (x-2)= o • X 1 • Lim 3x³ -8 = 3( lim x)³ -lim 8 • x 1 x – 2 x 1x 1 =3-8 / 1-2 = 5 • lim x - lim 2 • x 1x 1

13. Calcule lim 3x³ -8/ x-3x 2

14. solução • Lim (x-3)= o • X 2 • Lim 3x³ -8 = 3( lim x)³ -lim 8 • x 2 x – 3 x 2x 2 =24-8 / 2-3 = 16/-1=- 16 • lim x - lim3 • x 2x 2

15. Limite de Polinômio e funções Racionais • Se p(x) e q(x) são polinômios, • Lim p(x)=p(c ) • X c • Lim p(x) = p(c ) • x c q(x) q(c ) se q( c) = 0

16. Calcule lim x+1x 2 x-2 • Solução • A regra do quociente não se aplica, neste caso, o limite do denominador é • lim(x-2)=0 • X 2 • O limite do numerador é lim(x+1) =3 • X 2 • Que é diferente de zero, chegamos à conclusão que o limite não existe.

17. Calcule lim x²-1 x 1 x²-3x+2 • Solução • Tanto o numerador quanto o denominador de uma fração dada tende a zero. Quando isso acontece, muitas vezes é possível simplificar algebricamente a fração para obter o limite desejado.

18. solução • Calcule lim x²-1 x 1 x²-3x+2 • =(x-1)(x+1) x=1 • (x-1)(x-2) • =lim(x+1) x 1 lim (X-2) x 1 • =2/-1=-2

19. Método para determinar o Limite no Infinito de f(x) =p(x) /q(x) • 1 passo: divida todos os termos de f(x) pela maior potência de x que aparece no polinômio do denominador, q(x). • 2 passo: calcule lim f(x) ou lim f(x) • x +∞ x -∞ • usando as propriedades algébricas dos limites e as regras das potências inversas.

20. Calcule lim 2x²+3x+1 x +∞ 3x²-5x+2 • Solução: • A maior potência de x no denominador é x². dividindo o numerador e denominador por x², obtemos:

21. Calcule lim 2x²+3x+1 x +∞ 3x²-5x+2 • Solução: • A maior potência de x no denominador é x², obtemos: =lim 2x²/x²+3x/x²+1/x² x +∞ 3x²/x²-5x/x²+2/x² lim 2x²+3x+1 x +∞ 3x²-5x+2 =2/3

22. Limite Infinito • Dizemos que lim f(x) é um um limite infinito se f(x) aumenta ou diminui sem limite quando x c. escrevemos • Se f(x) aumenta sem limite quando x c e • Se f(x) diminui sem limite quando x c Lim f(x) =+ ∞ X c Lim f(x) =- ∞ X c

23. Exemplo calcule lim - x³+2x+1 x +∞ x-3 • lim - x³+2x+1 • x +∞ x-3 = lim - x³/x+2x/x+1/x x +∞ x/x-3/x = lim - x²x+2+1/x x +∞ 1-3/x =- ∞ lim - 1 -3/x x +∞ =1 lim - x³+2x+1 x +∞ x-3 =- ∞

24. Limites unilaterais e continuidade • Limites Unilateria • Se f(x) tende a L quando x tende a c pela esquerda (x<c), escrevemos • lim f(x)=L • x c - • Se f(x) tende a M quando x tende a c pela direita (x>c), escrevemos • lim f(x)=M • x c +

25. Exemplo limite uniliterais envolvendo um estoque just in time. Lim I(t)= L2 e lim I(t) =L1 t t1- t t2+

26. Exemplo de limite unilaterias • F(x) = 1-x² para 0≤x <2 • 2x+ para x≥2 • Determine os limites lim f(x) e lim f(x) • x 2‾ x 2†

27. solução y • f(x)= 1-x² para 0≤x <2 temos: • lim f(x) = lim (1-x²) = 1-4 = -3 • x 2‾ x 2‾ • Como f(x)=2x+1 para x≥2, temos: • lim f(x) = lim (2x+1)= 4+1 =5 • x 2† x 2† 5 1 2 x 3

28. Existência de um limite • O limite limf(x) existe se e apenas se os limites uniliterais • lim f(x) e lim f(x) existem e são iguais,caso que • x c‾ x c† • Lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) • X c x c ‾ x c†

29. Exemplo determine se lim f(x) existe, onde x 1 • F(x) = x+1 para x<1 • -x²+4x -1 para x≥1

30. Solução calculando os limites unilateria em x=1 • F(x)= x+1 x<1 • lim f(x) = lim (x+1) =1+1=2 • x 1‾ x 1‾ • F(x) = -x²+4x-1 x≥1 • Lim f(x) =lim (-x²+4x-1)=-(-1)²+4(-1)-1=2 • x 1† x 1† • Lim f(x) = lim f(x)= lim f(x)=2 • X 1 x 1 ‾ x 1†

31. Exercício determine se lim f(x) existe, onde x 3 • F(x) = x²+1 para x≤3 • 2x+4 para x>3

32. solução • Lim (x²+1)=9+1=10 • x 3 • Lim (2x+4)=6+4=10 • x 3 2x+4 10 4 x²+1 1 3

33. Continuidade: Uma função f é continua no Ponto c se três condições são satisfeitas. • A) f(c ) é definida. • B) Lim f(x)=f(c ) • x c • C) lim f(x) existe • x c • Se f(x) não é contínua no ponto c, dizemos que o ponto c é um ponto de descontinuidade.

35. exempo: mostre que a função racional f(x)=(x+1)/(x-2) é continua em x=3

36. Solução: f(x)=(x+1)/(x-2) é continua em x=3 • Observe que f(3)=(3+1)/(3-2)=4 • Com lim (x-2)=0