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Lineare Optimierung mit dem Simplexverfahren

Operations Research. Lineare Optimierung mit dem Simplexverfahren. Marc Schwärzli S S 2013. Konvex - Konkav. Eine Funktion heißt konvex , wenn die Funktionswerte zwischen 2 Punkten unter einer Verbindungsgeraden liegen. F(x) = x². Konvex - Konkav.

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Lineare Optimierung mit dem Simplexverfahren

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Presentation Transcript

  1. Operations Research Lineare Optimierung mit dem Simplexverfahren Marc Schwärzli SS 2013

  2. Konvex - Konkav • Eine Funktion heißt konvex, wenn die Funktionswerte zwischen 2 Punkten unter einer Verbindungsgeraden liegen. F(x) = x²

  3. Konvex - Konkav • Eine Funktion heißt konkav, wenn die Funktionswerte zwischen 2 Punkten über einer Verbindungsgeraden liegen. • F(x) = -x²

  4. Eine Konvexe Punktmenge Alle Punkte auf einer Verbindungsgeraden zwischen zwei Punkten liegen innerhalb der Zielmenge.

  5. Lineare Optimierung (LO) • Eine lineare Optimierungsaufgabe besteht aus einer Zielfunktion, die unter bestimmten Nebenbedingungen zu maxi- bzw. minimieren ist. • Eine LO-Aufgabe kann entweder grafisch durch Schneiden der Nebenbedingungen oder mit dem Simplexverfahren gelöst werden. Bei der grafischen Lösung werden die Nebenbedingungen als Geraden dargestellt.

  6. Beispiel: Gewinnmaximierung • Der Fabrikant Hugo V. stellt auf seinen Maschinen 2 verschiedene Stoffe her (Umrüstzeiten sind zu vernachlässigen): • Pro Minute können 8m Baumwolle oder 4m Seide auf Maschine 1 hergestellt werden. • Auf der 2. Maschine könne höchstens 6m/ Minute Stoff bedruckt werden. • Arbeiter Manfred verpackt 5m Baumwolle pro Minute und Arbeiter Herfried 3m Seide pro Minute. • Der Gewinn je Meter Baumwolle beträgt € 9 und je Meter Seide € 14.

  7. Ableiten der Gleichungen aus dem Text: • Maschine 1: • Maschine 2: • Manfred: • Herfried: • Nichtnegativbedingung: • Zielfunktion: Als Gerade:

  8. Grafische Lösung einer LO-Aufgabe • Die Nebenbedingung wird als Gerade konstruiert:

  9. Grafische Lösung einer LO-Aufgabe • Nebenbedingung

  10. Grafische Lösung einer LO-Aufgabe • Nebenbedingungen und :

  11. Grafische Lösung einer LO-Aufgabe • Bestimmung des Maximalen Gesamtgewinns durch Erstellung der Isogewinngeraden: • Zielfunktion = 9X1 + 14X2 Maximum • Die Ziefunktion wird nach X2 = kX1 + d umgeformt, damit das k ablesbar ist. • d = 0, da die Gerade durch (0/0)  Ursprung geht. • X2 = kX1 • 14X2 = -9X1 • X2 = -9/14 X1k ist als -9/14 erkennbar.

  12. Grafische Lösung einer LO-Aufgabe • Konstruktion der Isogewinngeraden mit der Steigung k = -9/14 durch den Ursprung: X2 X1

  13. Grafische Lösung einer LO-Aufgabe • Durch Parallelverschieben der Isogewinngeraden zum äußersten Punkt kommt man zum Punkt mit dem maximalen Gewinn:

  14. Grafische Lösung einer LO-Aufgabe • 4m Baumwolle und 2m Seide stellen das optimale Produktionsprogramm dar. • Durch Einsetzen des Punktes in die Zielfunktion 9X1 + 14X2ergibt sich der Gewinn für das optimale Produktionsprogramm mit €64 • Der Bereich der zulässigen Lösungen bildet stets eine konvexe Punktmenge. (Schraffierter Bereich)

  15. Rechnerische Lösung einer LO-Aufgabe nach dem Simplexverfahren • Transformation der Ungleichungen in Gleichungen mithilfe von Schlupfvariablen: • X1 + X2 + S1 = 8 • X1 + X2 +S2 = 6 • X1 +S3 = 5 • X2 +S4 = 3 Nichtbasis= variablen Basisvariablen

  16. Allgemeines zum Simplexverfahren • Ein Gleichungssystem heißt von kanonischer Form, wenn es in jeder Gleichung eine Unbekannte gibt, die nur in dieser vorkommt und dort den Koeffizienten Eins besitzt. • Diese Unbekannten bezeichnet man als Basisvariablen (BV), die übrigen als Nichtbasisvariablen (NBV)

  17. Das SimplexverfahrenErstellen der Standardform • Maschine 1: x1 + 2x2 <= 8 Meter • Maschine 2: x1 + x2 <= 6 Meter • Manfred: x1 <= 5 Meter • Herfried x2 <= 3 Meter • Nichtnegativbedingung: x1 >= 0; x2 >= 0 • Zielfunktion: Z(x1, x2) = 9 x1 + 14 x2 -> max.

  18. Das SimplexverfahrenErstellen der Standardform • Die rechte Seite (RHS) einer Restriktion (Nebenbedingung) darf nicht negativ sein. • Einführung der Schlupfvariablen (Y1-4) • Zielfunktion (F) ist mit (-1) multipliziert (optional).

  19. Das SimplexverfahrenErstellen der Standardform Basisvariablen Basisvariablen Nichtbasis= variablen

  20. Das SimplexverfahrenBestimmen der Pivotspalte • Der erste kleinste Zielfunktionskoeffizient weist auf die Pivotspalte:

  21. Das SimplexverfahrenBerechnung der Pivotzeile • Die Quote (Q) wird durch Division der rechten Seite (RHS) durch die Pivotspalte bestimmt (Zeilenweise).  RHS/Pivotspalte

  22. Das SimplexverfahrenBerechnung der Pivotzeile • Die Zeile mit der niedrigsten positive Quote bildet die Pivotzeile(hier 3). • Bei gleichen Werten wird die erste Schlupvariable durch die Pivotspalte dividiert(Y1/ Pivotspalte) . Das niedrigere Ergebnis weist auf die Pivotzeile. (S. 29 Studienbrief oben)

  23. Das SimplexverfahrenBestimmung des Pivotelements • Im Schnittpunkt der Pivotzeile und der Pivotspalte befindet sich das Pivotelement.

  24. Das SimplexverfahrenBerechnung der 2. Simplextabelle • Da X2 den maximal möglichen Wert 3 annehmen soll, kommt X2 in die Basis und Y4 wird Nichtbasisvariable. Inhalt der Y4-Spalte

  25. Das SimplexverfahrenBerechnung der 2. Simplextabelle • Bestimmung der restlichen Elemente der Pivotzeile inkl. RHS.

  26. Das SimplexverfahrenBerechnung der 2. Simplextabelle • Neubrechnung der Pivotzeile: Wert/ Pivotelement 0/1; 0/1; 0/1; 1/1; 3/1

  27. Das SimplexverfahrenBerechnung der 2. Simplextabelle • Neuberechnung der restlichen Werte nach Schema: Wert – (Zeilenwert x Spaltenwert / Pivotelement) -9 – (0 x -14 : 1)

  28. Das SimplexverfahrenBerechnung der 2. Simplextabelle • Umrechnung der restlichen Werte nach Schema: Wert – (Zeilenwert x Spaltenwert / Pivotelement) 8 – (3 x 2 : 1)

  29. Das SimplexverfahrenBerechnung der 2. Simplextabelle Nach Berechnung der restlichen Werte ergibt sich das 2. Simplextableau mit dem Zielwert 42

  30. Das SimplexverfahrenBerechnung der 3. Simplextabelle Die Iterationsschritte werden solange fortgesetzt bis alle Werte der Zielzeile positiv sind, dann ist keine weitere Verbesserung des Zielwertes mehr möglich. Bestimmung des Pivotelements

  31. Das SimplexverfahrenBerechnung der 3. Simplextabelle • Pivotelement zur 4. Simplextabelle: 3. Tabelle

  32. Das SimplexverfahrenBerechnung der 4. Simplextabelle Erst mit der 4. Tabelle ist die Lösung mit Z = 64 erreicht: Bas Is Z Alle Nichtbasisvariablen in der Z-Zeile (hier F) haben einen positiven Koeffizienten  Optimalitätskriterium (Wurde eingangs nicht mit -1 multipliziert müssen alle Koeffizienten negativ sein)

  33. Übungsaufgabe grafisch • Eine Studentin gründet eine Gesellschaft zur Produktion von Computerchips. • Sie hat die Möglichkeit monatlich bis zu 200 kg Silizium, 40 kg Kupfer, 20 kg Aluminium zuzukaufen. • Die Entwicklungsabteilung entwirft 2 verschiedene Chip-Architekturen, deren Verkauf vielversprechend erscheint. • Die Herstellungskosten sind für beide Bauarten gleich, so daß lediglich das Material den Unterschied ausmacht. • Die Marktanalyse ergibt einen erwarteten Gewinn von 400 € je kg Giga und 250 € je kg Nano. • Welche Menge sollte sie monatlich herstellen und verkaufen um einen größtmöglichen Gewinn zu erwirtschaften. • Stellen Sie das mathematische Modell auf und lösen Sie die Aufgabe grafisch.

  34. Lösung • €400 x 160kg + €250 x 80kg = € 84.000.-

  35. Übungsaufgabe Simplex • Eine Studentin gründet eine Gesellschaft zur Produktion von Computerchips. • Sie hat die Möglichkeit monatlich bis zu 200 kg Silizium, 40 kg Kupfer, 20 kg Aluminium zuzukaufen. • Die Entwicklungsabteilung entwirft 2 verschiedene Chip-Architekturen deren Verkauf vielversprechend erscheint. • Die Herstellungskosten sind für beide Bauarten gleich, so daß lediglich die Materialkosten den Unterschied ausmachen. • Die Marktanalyse ergibt einen erwarteten Gewinn von 400 € je kg Giga und 250 € je kg Nano. • Welche Menge sollte sie monatlich herstellen und verkaufen um einen größtmöglichen Gewinn zu erwirtschaften. • Stellen Sie das mathematische Modell auf und lösen Sie die Aufgabe mit dem Simplexverfahren.

  36. Lösung

  37. Lösung

  38. Das SimplexverfahrenDie Zweiphasenmethode • Diese bisherige Form der Lösung eines Ungleichungssystems ist nur möglich wenn für alle Ungleichungen gilt. • Kommen auch Bedingungen vor, so ist die Aufgabe nur mit der Zweiphasenmethode zu lösen.

  39. Die Zweiphasenmethode • Gegeben sei folgende LO-Aufgabe mit einer Restriktion (negative rechte Seite) • I Z = 2X1 + X2 +2X3 max • II 2X1- X2 4 X2 + 2X3 15 X1 + X3 = 8 • III X1, X2, X3 0

  40. Leitfaden zur Zweiphasenmethode • Umwandeln in Gleichungen durch das Einführen von nichtnegativen Schlupfvariablen. • Umwandeln in ein Gleichungssystem von kanonischer Form durch Einführung künstlicher Variablen k1 - …. kn. Umformen

  41. Leitfaden zur Zweiphasenmethode • Künstliche Variablen K gegen Null minimieren (Zk=-k1 … -kn;). Addition von Zkmit k-Restriktionen. Daraus entsteht eine neu Zielfunktion Zneu. • Die neue Zielfunktion wird gemeinsam mit den Restriktionen nach der Umformung (Kanonische Form) in eine Simplextabelle übergeführt. • Lösen des Simplexalgorithmus. • Weglassen der Spalten mit einem k, Z sollte null sein. Erste Phase

  42. Leitfaden zur Zweiphasenmethode • Die verbleibenden Gleichungen (Restriktionen) werden jetzt mit der Zielfunktion aus der Angabe, ZOriginal. , harmonisiert. • Elimination der Basisvariablen aus der Zielfunktion durch Subtraktion des x-fachen Wertes der Restriktionen, die diese Basisvariablen enthalten. • Dadurch ergibt sich eine neue Zielzeile, Z2. Phase. • Die verbleibenden Gleichungen (Restriktionen) werden jetzt mit Z2. Phase in einem weiteren Simplextableau verbunden. • Das Lösen des Simplexalgorithmus bringt das Ergebnis Zweite Phase

  43. Die Zweiphasenmethode • Durch Multiplikation mit -1 wäre die negative rechte Seite erkennbar: • Umformen der in Bedingung zur Lösung! • I Z = 2X1 + X2 +2X3 max • II -2X1+ X2 -4 X2 + 2X3 15 X1 + X3 = 8 • III X1, X2, X3 0  Negative rechte Seite nach Umformung

  44. Die Zweiphasenmethode • Umwandeln in Gleichungen durch das Einführen von nichtnegativen Schlupfvariablen S (auch in der Zielfunktion). • I Z = 2X1 + X2 +2X3 + 0S1 + 0S2 max • II 2X1- X2 -S1 = 4 X2 + 2X3 +S2 = 15 X1 + X3 = 8 • III X1, X2, X3 , S1, S2 0

  45. Die Zweiphasenmethode • Ein Gleichungssystem heißt von kanonischer Form, wenn es in jeder Gleichung eine Unbekannte gibt, die nur in dieser vorkommt und dort den Koeffizienten plus Eins besitzt (nur S2 erfüllt dies): • I Z = 2X1 + X2 +2X3 + 0S1 + 0S2 max • II 2X1- X2 -S1 = 4 X2 + 2X3 +S2 = 15 X1 + X3 = 8 • III X1, X2, X3 , S1, S2 0 Koeffizient -1 Kein S3

  46. Die Zweiphasenmethode • Umwandeln in ein Gleichungssystem von kanonischer Form durch Einführung künstlicher Variablen k: • II 2X1- X2 -S1 +k1 = 4 X2 + 2X3 +S2 = 15 X1 + X3+k2 = 8 • III X1, X2, X3 , S1, S2 0

  47. Die Zweiphasenmethode • II 2X1 - X2-S1+k1 = 4 X2 + 2X3 +S2= 15 X1 + X3 +k2 = 8 • III X1, X2, X3 , S1, S2 0 Ein Gleichungssystem heißt von kanonischer Form, wenn es in jeder Gleichung eine Unbekannte gibt, die nur in dieser vorkommt und dort den Koeffizienten Eins besitzt. Diese Unbekannten bezeichnet man als Basisvariablen (BV), die übrigen als Nichtbasisvariablen (NBV).

  48. Die Zweiphasenmethode • So stellt das Gleichungssystem ein äquivalentes Gleichungssystem kanonischer Form dar, deren künstliche Nichtbasisvariablen k den Wert Null aufweisen. • Damit dem so ist, sollten die künstlichen Variable möglichst nahe bei Null sein. • Einführung einer neuen Zielfunktion (minimiere K): • Z = k1 + k2  min entspricht: `Z = -Z=-k1-k2max

  49. Die Zweiphasenmethode • Die erste Phase der Hilfsaufgabe dient dazu eine kanonische Form und eine erste Basislösung zu gewinnen. • I `Z = - k1 – k2  max • II 2X1- X2 -S1 +k1 = 4 X2 + 2X3+S2 = 15 X1 + X3+k2 = 8 • III X1, X2, X3 , S1, S2 0

  50. Die Zweiphasenmethode • Elimination der Basisvariablen (k) aus der Zielfunktion durch Addition der Gleichungen in II zur Zielfunktion, die ein k beinhalten: • I `Z = - k1 – k2  max • II 2X1- X2 -S1 +k1 = 4 X2 + 2X3 +S2 = 15 X1 + X3+k2 = 8 • III X1, X2, X3 , S1, S2 0

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