Neutron transzport

1. Neutron transzport Makai Mihály egyetemi tanár BME NTI makai@reak.bme.hu

2. Statisztikus fizika alapok • Vizsgáljunk egy N>>1 részecskéből álló rendszert! • A részecske lehet: • atom • molekula • domain (nagyobb, bonyolultabb rész). • A részecskék közötti kölcsönhatás lehet: • közelhatás (ütközések adott szabályok szerint) • távolhatás (potenciáltér révén). • A részecskét leírhatjuk • klasszikusan (impuzus és hely, energia és idő, pálya stb.) • kvantumosan (felcserélési relációk, kizárási elv, hullám fv. stb.)

3. Klasszikus leírás • mozgásegyenletek száma=szabadsági fokok száma. Ezek • megoldásával minden egyes részecske mozgása leírható. A • megoldás így kizárólag a kezdeti állapot függvénye. Mi történik, • ha a kezdeti állapot csak kicsit változik meg? Káosz kialakulása • pl. bolygórendszerekben. • A makroszkópikus test állapotát le lehet írni a statisztika törvé- • nyeivel (pl. annak val.-ge, hogy az energia (E, E+dE) közé esik • megadható. • Megfigyelés: a rendszer leírásához sokkal kevesebb változó kell, • mint alkotóelemeinek száma.

4. Kvantumos leírás • minden részecskére megoldandó a Schrödinger-egyenlet • a rendszer energiája „elkent”, mindig van kölcsönhatás • lényegében nincs stacionárius állapot, mert egy kis gerjesztés • lecsengéséhez is igen hosszú idő kellene (Dth/DE) • Schrödinger macskája (makroszkopikus fotonszám szuperpo- • zíciója, C60 hullámviselkedése, rádiófrekvenciás szupravezető • szuperpozíciós állapota) • a rendszer hullámfüggvénye nem építhető fel, mert a rendelke- • zésünkre álló információ a szükségesnek csak töredéke • bevezethető viszont a sűrűségmátrix (ld. később).

5. Makroszkopikus állapotok szuperpozíciója BEK-ban

6. A makroszkopikus testek mozgását, viselkedését leíró törvények általános jellege nem függ lényegesen a részecske leírásának módjától. • A statisztikus fizika tárgya: • egy sok részecskéből álló rendszer, jele: S. • Minden rendszert felbonthatunk részrendszerekre, a részrend- • szerek között kölcsönhatás van. Ha a rendszer egésze nem áll • kölcsönhatásban a külvilággal, akkor zárt rendszerről beszélünk. • Az S1, S2, … részrendszerek közötti kölcsönhatások típusai: • anyagáram (szigetelhető) • energiaáram (a gravitáció kivételével szigetelhető) • impulzusáram (szigetelhető) • impulzusmomentum (szigetelhető).

7. Klasszikus rendszer leírása Legyen a vizsgált S rendszer szabadsági fokainak száma s. Ekkor S leírható a q1,…,qs általános koordinátákkal és a p1,…,ps általános impulzusokkal. A rendszer leírására tehát a (p,q) koordinátákból álló, 2s dimenziós fázistér (m-tér) használható. Mivel a rendszer állapota a részecskék állapotainak direktszor- zata, a rendszer energiája gyakorlatilag folytonosnak tekinthető. Egy tetszés szerint kiválasztott részrendszer a rendszer többi ré- szével kcshatásban áll, ennek energiája sokkal nagyobb, mint az energianívók távolsága. Ezért feltehetjük, hogy elegendően hosszú idő után min- den állapotát elegendően sokszor veszi fel. Legyen

8. Ahol Dt a DpDq infinitezimális fázistérfogatban eltöltött idő. Bevezetjük a r(p,q) statisztikus eloszlásfüggvényt: r definíciója miatt a statisztikus átlagolás egy időbeni átlagolás- sal egyenlő (ergodikus rendszer): Az állítások statisztikus jellegűek.

9. Kvantumos leírás Tekintsünk egy S1 alrendszert S-ben. Az alrendszer energianí- vóinak száma 10N1 szerint változik egy véges (energia) intervallumban. Itt N1 az S1-ben lévő részecskék száma. (Minden részecske külön energianívó-sorozattal rendelkezik, a rendszerben ezek „összefésülendőek”.) Bontsuk föl S-t S1 és S2 (makroszkopikus) alrendszerekre. A mak- roszkópikus alrendszerek lényegében függetlenek egymástól: Legyen az S1 alrendszer koordinátája (p1,q1), a maradéké pedig (p2,q2). S hullámfüggvénye Y(p,q)=Y(p1,p2,q1,q2) függ mindkét részrendszer koordinátáitól. Ekkor az S1-re vett átlagolás így írható:

10. Legyen a r1 sűrűségmátrix: Amivel az átlagolás: r segítségével tehát egy fizikai mennyiség átlagértéke meghatá-rozható.

11. Az S rendszer leírása: 1, (m-tér) fázistér: p1,…,ps, q1,…,qs s: szabadsági fokok száma 2, fázistér (G-tér): p1,…,pN, q1,…,qN N-részecskék száma 3, sűrűség függvény: f(r,v,t)drdv megadja az (r,r+dr) körüli tér- fogatban található (v,v+dv) sebességű részecskék számát. 4, Ekvivalens rendszerek (Gibbs-sokaságok): végtelen sok olyan S rendszer konstruálható, amelynek állapota a (redukált) fázistérben azonos. A rendszer leírására használható mennyiségek sokaságra vett átlagok.

12. Példák statisztikus fizika eszközeivel leírható rendszerekre: • ideális gáz: pontszerű részecskék, rugalmas bináris ütközések, • visszaverődés a (merev) falról (szimmetriasík) • neutrongáz: neutron--mag ütközések, az ütközés leírása: • magreakciók (szórás, befogás, hasadás), molekuláris káosz • (ld. később). • Reális gázok: véges térfogatú részecskék, a részecskéknek • erőtere van (van der Waals-erők). • Kvantumfolyadékok: Bose-gáz, fermionok, kvantumstatisztikák.

13. Legegyszerűbb statisztikus fizikai modell: klasszikus autonóm rendszerek S-t a (m-térben) fázistérben írjuk le, q1,…,qs koordinátákkal. S állapota a fázistér egy pontja, a pont változását írja le. Az egyenletben nem szerepelnek a koordináták deriváltjai. Tegyük fel, hogy qi(t1)=qi(t2), t1t2 fennáll minden i-re. Ekkor fennáll

14. aminek alapján a megoldás folytatható tetszőleges argumentumra. Minden olyan c szám, amire az előző egyenlet fennáll, egy ciklusidő. • Kapcsolódó kérdések: • Adott egy diff. egyenlet. Mikor létezik periódikus megoldása? • (A lehetséges c számok egymás többszörösei.) • 2. Létezik-e zárt pályát leíró megoldás? (A lehetséges c számok • halmaza korlátos.)

15. Tekintsük az állandó együtthatós egyenletet. Ekkor a rendszer lehetséges trajektóriáit osztályozni lehet az alábbi módon: Legyen az egyenlet alakja Legyenek az A mátrix sajátértékei l1,…,ls. Az általános megoldás Ahol Ahi=lihi, i=1,…,s. Új jelölés:

16. A pálya alakulását s=2 esetén jól lehet ábrázolni, amennyiben a h1 és h2 vektorok időfüggő amplitudóit rajzoljuk az x1 ill. x2 tengelyre. n<0 n>0 l=m+ni, m0

17. Visszatranszformálás után (általános kép) m=0

18. l1>0, l2>0 l1<0, l2<0