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2013 年中考数学基础解析

2013 年中考数学基础解析. 南京市金陵汇文学校 张爱平. 南京市中考数学命题以 《 全日制义务教育数学课程标准 》 为依据，全卷以初中学段的知识与技能为基准，特别关注考查最基础和最核心的内容．. 试卷中的试题根据难度的不同分为容易题、中等难度题和较难题，比例控制在 7:2:1 左右．. 一、“数与代数”中的基础. 二、“几何与图形”中的基础. 一、“数与代数”中的基础. “ 数与代数”部分关注数与式、方程、不等式、函数等基本知识的考查，注重计算能力的考查，尤其是对核心数学概念和法则的理解与应用考查．. （一）基本概念.

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2013 年中考数学基础解析

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  1. 2013年中考数学基础解析 南京市金陵汇文学校 张爱平

  2. 南京市中考数学命题以《全日制义务教育数学课程标准》为依据，全卷以初中学段的知识与技能为基准，特别关注考查最基础和最核心的内容．南京市中考数学命题以《全日制义务教育数学课程标准》为依据，全卷以初中学段的知识与技能为基准，特别关注考查最基础和最核心的内容． 试卷中的试题根据难度的不同分为容易题、中等难度题和较难题，比例控制在7:2:1左右． 一、“数与代数”中的基础 二、“几何与图形”中的基础

  3. 一、“数与代数”中的基础 “数与代数”部分关注数与式、方程、不等式、函数等基本知识的考查，注重计算能力的考查，尤其是对核心数学概念和法则的理解与应用考查．

  4. （一）基本概念 基本概念包括有理数、实数、整式、分式、二次根式、方程、不等式和函数等概念，要注重概念内涵的理解，理解不同概念间的区别和联系．

  5. 例1：《幂的运算》 （2011南京）下列运算正确的是 A．a2＋a3＝a5 B．a2·a3＝a6 C．a3÷a2＝a D．(a2)3＝a8 （2012南京）计算(a2)3÷(a2)2的结果是 A．a B． a2 C．a3 D．a4 同底数幂乘法（除法）、幂的乘方、积的乘方的三种运算是整式乘法和除法运算的基础，也是中考考查的核心内容之一．

  6. 变式1：学习了 “幂的运算”后，课本提出了一个问题；“根据负整数指数幂的意义，你能用同底数幂的乘法性质（am·an＝am+n，其中m、n是整数）推导出同底数幂除法的性质（am÷an＝am－n，其中m、n是整数）吗？”．请你写出简单的推导过程 ． 此题的难点在于对题目要求的理解．学生可能会利用乘方的意义来解决，这样就不符合题目的要求．

  7. 如am÷an 而am÷an 此题利用同底数幂的运算的逆运算，即利用负整数指数幂的意义和同底数幂的乘法法则，证明同底数幂的除法法则，突出考查学生应用已有法则证明新的法则的能力，渗透了代数推理的考查．

  8. 变式2：若a2＋a－3＝0，则a2(a＋4)的值． 本题解决思路可以是将字母a的值求出，再代入要求的代数式计算，但这样做比较繁琐．也可以从下面几种方法入手： （1）由题意得a2＝3－a，代入得(3－a)(a＋4)＝12－a2－a＝12－3＝9 (降次） ； （2）a2(a＋4)＝a3＋4a2＝ a3＋a2＋3 a2＝a(a2＋a)＋3a2＝3a＋3a2＝9（整体代入） ．

  9. 变式2：若a2＋a－3＝0，则a2(a＋4)的值． （1）由题意得a2＝3－a，代入得(3－a)(a＋4)＝12－a2－a＝12－3＝9 (降次） ； （2）a2(a＋4)＝a3＋4a2＝ a3＋a2＋3 a2 ＝a(a2＋a)＋3a2＝3a＋3a2＝9（整体代入） ． 上面两种解法中利用整式的乘法乘法和因式分解 的变形，均渗透了整体思想．

  10. 例2：《二次根式》 x≤1 典型错误：x＜1，x≠1，x≥1，x≥－1， x＞1且x≠1

  11. 利用二次根式被开方数的非负性解决问题．

  12. 利用二次根式的非负性解决问题．

  13. 例3：《函数》 本题考查一次函数与反比例函数的图象，可以根据一次函数关系式画出其图象，再确定反比例函数的图象所在象限和k的值．

  14. y y＝x＋2 x O 根据y＝x＋2的图象经过一、二、三象限，可以确定k＜0，排除C、D；再画出k＝－1和k＝－2时反比例函数的图象，确定k＝－2时两个函数图象没有交点．

  15. 或将问题转化为两个方程解的问题，即函数图象的交点的坐标是两个函数关系式联立的方程组的解．或将问题转化为两个方程解的问题，即函数图象的交点的坐标是两个函数关系式联立的方程组的解． 这种方法比较准确，但比较繁！故数形结合比较简单！

  16. 本题可以将A(2，1)，B(－1，－2)的坐标代入y＝kx＋b，求出k，b的值．再通过解不等式组得到解集．本题可以将A(2，1)，B(－1，－2)的坐标代入y＝kx＋b，求出k，b的值．再通过解不等式组得到解集． 但计算量大，若从函数y＝kx＋b的图象入手，再构造两个函数y＝1/2x和y＝－2，画出其图象，观察它们图象的关系，则比较简洁．

  17. y A x O B 构造三个函数，观察它们图象的关系解决，渗透数形结合的思想，比较简洁． －1 2

  18. （二）基本计算 基本计算包括数与式的运算、解方程（组）和解不等式等运算，要明确算理，优化算法，规范表达，减少错误．理解计算中的推理过程，提高计算能力．

  19. 将除法运算转化成乘法．

  20. 分式运算和解不等式是本题的考查重点，要求学生能正确进行分式的化简，合理解不等式组，并判断符号．分式运算和解不等式是本题的考查重点，要求学生能正确进行分式的化简，合理解不等式组，并判断符号．

  21. 第（1）问中的算理是将除法转化成乘法，再利用乘法对加法分配律进行计算；第（2）问的算理是利用通分将括号里分式相加，再将除法转化为乘法进行约分和化简．第（1）问中的算理是将除法转化成乘法，再利用乘法对加法分配律进行计算；第（2）问的算理是利用通分将括号里分式相加，再将除法转化为乘法进行约分和化简．

  22. ① ② 从上面的题中可以发现，分式方程、二元一次方程组、一元二次方程的解法考查已经成为基本要求，关键是理解计算过程的转化思想：二元到一元的“消元”、二次到一次的“降次”、分式方程到整式方程的转化．

  23. 由①，得x＝－3y－1．③ 将③代入②，得3(－3y－1)－2y＝8． 解这个方程，得y＝－1． 将y＝－1代入③，得x＝2． 解二元一次方程组的方法： ①代人消元法; ②加减消元法. ①×3，得3x＋9y＝－3．③ ③－②，得11y＝－11． 解这个方程，得y＝－1． 将y＝－1代入①，得x＝2．

  24. 解二元一次方程组的基本思路是“消元” 消元 一元 二元

  25. 变式：解一元二次方程：2x2－5x＋2＝0． 公式法． 因式分解法．

  26. 解一元二次方程的基本思路是“降次” 降次 一次 二次 开平方、因式分解等

  27. （三）要注意的问题 1．计算过程中的各种错误

  28. 2．注意分式运算中字母的取值范围． 在选择恰当的x的值时，要注意原分式中字母的取值范围，即使原分式有意义．

  29. 3．注意“配方法”在解一元二次方程和二次函数关系式变形中的区别．3．注意“配方法”在解一元二次方程和二次函数关系式变形中的区别． 解方程：2x2－5x＋2＝0． 求函数y＝2x2－5x＋2的图象的顶点坐标． 两者在变形中有所不同，要注意不要混淆！

  30. 4．概念运用中的漏解 例1：（2011南京）已知函数y＝mx2－6x＋1（m是常数）．若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． 错解：若函数y＝mx2－6x＋1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2－6x＋1＝0有两个相等的实数根． 所以(－6)2－4m＝0，m＝9． 综上，若函数y＝mx2－6x＋1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为9. 错因：没有讨论！

  31. 漏解 当m＝0时，函数y＝－6x＋1的图象与x轴只有一个交点； 对y＝ax2＋bx＋c中a的要求理解不透，疏忽对a＝0和a≠0的讨论．

  32. 变式：关于x的方程(a －5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（　 　） A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5 讨论a－5是否为0！ 当a－5＝0时，一元一次方程，有解； 当a－5≠0时，△≥0，a≥1且a ≠5，有解． 综上，a ≥1． 要能根据方程的概念，对a－5进行分类．

  33. 5．运动状态中的漏解 例（2013中考指导用书）A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过t小时后两车相距50千米，则t的值是． 容易得到的解是2，而漏掉2．5．原因是两车相距50千米的状态有相遇前相距50千米和相遇后相遇50千米两种．

  34. 名师推荐： 推荐理由：本题考查函数与方程的思想，学生可以联立方程组解决问题；也可以利用整体思想，根据交点坐标的含义，得到ab＝2，b－a＝－1，从而解决问题．

  35. 二、“图形与几何”中的基础 “图形与几何”部分关注基本直线形（线段、角、多边形等）和简单的曲线形（圆）的概念和性质，能利用变换研究两个图形之间的关系，从全等和相似的角度研究两个图形的形状和位置关系，关注几何直觉和几何推理的考查．

  36. （一）图形中的“角度”和“边长”的计算问题（一）图形中的“角度”和“边长”的计算问题 几何图形的“角度”和“边长”计算是中考试题命制的两个重要内容，需要充分理解图形的性质，两个图形之间的位置关系及相关判定方法，正确计算，此类题目一般是中等难度题．

  37. D 3 2 E C 4 1 A B 例1（1）（2012南京）如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝． 本题是关于五边形的外角和的问题，比较简单，关键是理解多边形外角和360°．与∠A相邻的外角的度数为60 °，所以答案为300°．

  38. D A E B C 例1（2）（2012南京）如图，在□ABCD中，AD＝10 cm，CD＝6 cm．E为AD上一点，且BE＝BC，CE＝CD．则DE＝cm． 所以DE＝3．6cm． 本题是直接相似三角形性质计算得到．

  39. 例1（３）（2011南京）等腰梯形的腰长为5 cm，它的周长是22 cm，则它的中位线长为 cm． 本题考查三角形中位线的性质和等腰三角形的性质．

  40. 变式1：（2012北京）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOD，若∠BOD＝76°，则∠BOM等于 ． 由∠BOD＝76 °，根据对顶角相等的性质，得∠AOC＝76 °，根据补角的定义，得∠BOC＝104 °，由射线OM平分∠AOD，根据角平分线定义，∠COM＝38 °， ∴∠BOM＝∠COM＋∠BOC＝142 °． 本题考查了对顶角性质、角平分线等重要内容，考查简单的几何推理能力．

  41. 变式2（2012贵州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE//AD，若AC＝2，CE＝4，则四边形ACEB的周长为．变式2（2012贵州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE//AD，若AC＝2，CE＝4，则四边形ACEB的周长为． D是BC的中点，DE⊥BC CE＝BE＝4 AC∥DE，CE ∥AD ∠ACD＝90° CE＝AD＝4，CD＝BD

  42. 变式3：如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2＋FH2＝． 四边形的中点 O 中点四边形 菱形EFGH EG⊥FH，EG＝2OE，FH＝2OH EH2＝OH2＋OE2 EG2＋FH2＝4(OH2＋OE)2＝36． 本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、菱形的判定和性质等内容，要在解题中领悟思考的方法．

  43. （二）几何图形中的变换问题 平移、旋转和轴对称是三种全等变换，通过三种变换可以改变图形的位置，但不改变形状和大小；而位似变换则不改变形状，可能改变大小．在近几年的中考试题中常常作为考查内容．

  44. D F A C E A' B D' 本题是以菱形折叠为背景的试题，得到几个特殊的三角形，从而解决问题．

  45. O D F A C E A' B D' △OFC中，∠D＝30°， ∠OFC＝90°， △OBD’中， ∠D’＝120 °， ∠BOD’＝30 °， 设CF＝1，OD’＝x． 设BC与D’F交于点O． 由折叠知：D’F＝DF，∠D’＝ ∠D＝120°．

  46. O D F A C E A' B D' 设CF＝1，OD’＝x． 在菱形ABCD中，CD＝CB． x＝1．

  47. 或延长DC、A’D’交于点M，则△FD’M是30°角的直角三角形， △CBM是顶角为120 °的等腰三角形．

  48. 两种方法均是利用特殊的三角形，设未知数构造方程解决问题．两种方法均是利用特殊的三角形，设未知数构造方程解决问题．

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