Het Erlangenprogramma van Klein

1. Het Erlangenprogramma van Klein of… wat is meetkunde? Gunther Cornelissen, Universiteit Utrecht

2. Plan • “Erlangen in de klas” meervragendanantwoorden • Statische of dynamischemeetkunde? de ezelsbrug in schoolboeken • De meetkunde-crisis het ware gezicht van Bolyai • Wat is het Erlangenprogramma? meetkunde en symmetrie • Conclusies

3. Het Erlangenprogramma is eenbreekpunt in de meetkunde meetkunde op basis van beweging unificatie van “meetkundes”

4. “Erlangen in de klas”Lessen voormeetkunde-onderwijs • Historisch of modern leren? • Dynamische of statischemeetkunde? • Visueleintuïtie of logischestructuur? • Synthetische of analytischemeetkunde? Is het antwoordmisschien: en/en i.p.v. of/of

5. Ingang 1: Statische of dynamischemeetkunde?

6. Statisch of dynamisch? • Voorbeeld: Pons Asinorum (=Eucl. El. I.5) Als in eendriehoek twee zijdengelijkzijn, danook de twee hoeken die ze met de derdezijdemaken. Dynamisch Dalle, De Waele, Vlakkemeetkunde, 20e druk, 1960

7. Wiskunde 2b, Gevers, Leenders et.al. 1970 Dynamisch

8. Euclideszelf (parafrase): Op de verlenging van de gelijkezijden AB en AC kies je twee punten (F en G respectievelijk) op gelijkeafstand van de top. Dan zijn de hoeken ABG en ACF gelijk, en evenzo CBG en BCF. Voor de verschillen is dan ABC = ABG−CBG = ACF −BCF = ACB. Statisch Opm. OokbijGrieken al “dynamisch” bewijs

9. Statisch of dynamisch? • Poincaré: “groepentheorie is even oudals de helewiskunde, want Euclidesgebruikteze”. • Dus… Historischonderwijzen, ja of nee? • Effectiviteit van moderniteit/notatie (Manin) • “Oorsprong van de meetkunde” (sedementatietheorie van Husserl) • “Euclid and his modern rivals” (Charles Lutwidge Dodgson), 1879

10. Ingang 2: De crisis in de meetkunde

11. Het parallellenpostulaat • Het vijfde “axioma” in de Elementen van Euclides • Equivalenteformulering: • Viereersteaxioma’s (Aιτηματα “voorstellen”) zijneensoortvoorschriften over het toelaten van constructies van meetkundigeobjecten, zoalscirkels en rechtelijnen. Gegeveneenlijn en eenniet op de lijngelegen punt is ereenunieke parallel van de lijn door het punt

12. Volgtaxioma 5 uitaxioma’s 1-4? Bolyai, Gauss, Lobachevsky: axioma 5 is onafhankelijk, erzijnmeetkundeswaarin 1-4 geldt en ook, bijv:… 1. Gegeveneenlijn en eenniet op de lijngelegen punt is erprecieseenlijndoor dat punt die de gegevenlijnnietsnijdt. 2. Gegeveneenlijn en eenniet op de lijngelegen punt zijnergeenlijnen door dat punt die de gegevenlijnnietsnijden. 3. Gegeveneenlijn en eenniet op de lijngelegen punt zijneroneindigveellijnen door dat punt die de gegevenlijnnietsnijden.

13. Situatierond 1850: De meetkunde-dierentuin

14. Caveats (vanaf nu) animatie • Vrijgebruik van vectorruimten en (matrix-)groepentheorie • Een (technische) verklaring hoe hyperbolischemeetkunde in projectievemeetkunde past. Compensatie

15. De meetkunde-dierentuin • Synthetisch: euclidisch, sferisch, hyperbolisch • Wat is “ware meetkunde?” We leven op een “bol”… GR… • Afstandsbegrip • Analytisch: • Affienevlak: ±vectorruimteR2 van (a,b) • Projectievevlak: R3-{0}/≈ met (a,b,c)≈(λa,λb,λc) Het projectievevlakbevat het affienevlak, bijv: (a,b,1) (a,b)

16. Affien • “Rechtelijn” is Ax+By+C=0 • Sommigelijnensnijdenmekaar; y=x en y=x+1 snijdenniet • Kegelsnede (cirkel, ellips, parabool, hyperbool), bijv. x2+y2=1 Projectief • “Rechtelijn” is Ax+By+Cz=0. • Allelijnensnijdenmekaar; y=x en y=x+z snijden in (1,1,0) • Kegelsnede, bijv. x2+y2=z2

17. Erlangenprogramma: voortekenen • Felix Klein’s (1849-1925) jeugdwerk • Cayley’sTheory of Quantics: euclidisch “inbedden” in projectief • Klein: ookhyperbolischkan “ingebed” in projectief: • Het inwendige van eenkegelsnede in het projectievevlak. • Afstandtussen P en Q= logaritme van de dubbelverhouding van P en Q met de twee snijpunten van de rechte door P en Q met de kegelsnede. • = “meetkunde met afstand” isomorf met hyperbolischemeetkunde.

18. Het Erlangenprogramma

19. Erlangenprogramma • In het Erlangenprogrammawil Felix Klein nu allemeetkundesordenen door groepentheorie. • Groepentheoriewaspermutatiegroepen (Galois, Jordan). • Klein (en Lie) makentransformatiegroepen. • Noggeenabstractegroepen (Cayley, Burnside, von Dyck, Emmy Noether, van derWaerden)

20. Erlangenprogramma • Bijiederemeetkundehoorteentransformatiegroep. • De meetkunde is de studie van de invarianten van zijntransformatiegroep.

21. Voorbeelden: euclidische vlak • Linearetransformaties van de vectorruimteR2 die afstandbewaren= orthogonale 2x2 matrices O(2,R) (rotaties+spiegelingen) • Translaties over vectoren in R2 Transformatiegroep • “afstand” zinvol: invariant • “cirkel” zinvol

22. Voorbeelden: affienevlak • Linearetransformaties van de vectorruimteR2 = inverteerbare 2x2 matrices GL(2,R), bijv. schalen, roteren, spiegelen • entranslatiesover vectoren in R2 Transformatiegroep“Change the Dog” • “afstand” nietzinvol; niet invariant onderschalen • “rechtelijn” welzinvol; “evenwijdig” zinvol • “ellips”, “parabool”, “hyperbool” zinvol

23. Voorbeelden: projectieve vlak • Lineairetransformaties van R3, op schalenna. • Transformatiegroep PGL(3,R)=GL(2,R)/R* • Zinvol? • “afstand” niet • “rechtelijn” wel • “kegelsnede” wel • “cirkel” “ellips” niet • “dubbelverhoudingwel

24. Erlangenprogramma: met vast punt Lorentzgroep

25. Principe • Hoe kleiner de groep, hoe meerinvarianten, hoe minder algemeen de stellingen. • Hoe groter de groep, hoe minder invarianten, hoe algemener de stellingen.

26. Kleinsemeetkunde = homogeneruimtevooreenLiegroep nu: bijzondergeval van pseudo-Riemannsemeetkunde

27. Conclusies Lessen voor het onderwijs?

28. Het Erlangenprogrammakanongeveer in 2e bachelor wiskundewordenonderwezen, dusniet op school, maartochleren we… • Dezelfdestellingkansomsdynamisch of statischwordenbewezen. • “historische” bewijzenzijnsomsmeergecompliceerd; “moderne” bewijzenzijnsomsteingewikkeld. • visueleintuïtiegebruikenkansomsfoutzijn; formeelbewijzenonbegrijpelijk.