DANE INFORMACYJNE

2. DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: II Liceum Ogólnokształcące im. Cypriana Kamila Norwida w Stargardzie Szczecińskim ID grupy: 97/40_MF_G1 Opiekun: Dorota Zołotar Kompetencja: MAT_FIZ Temat projektowy: Różne własności liczb naturalnych Semestr/rok szkolny: III semestr rok szkolny 2010/2011

3. CECHY PODZIELNOŚCI LICZB

4. przez 2 Liczba jest podzielna przez 2 jeżeli w rzędzie jedności ma cyfrę:0, 2, 4, 6, lub 8. Przykłady: 24, 506, 1002, 99990

5. przez 3 Liczba jest podzielna przez 3 jeżeli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 3.Przykłady: 42 4+2 = 6 3|6 783 7+8+3=18 3|181209 1+2+0+9=12 3|12

6. przez 4 Liczba jest podzielna przez 4 jeżeli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4. Przykłady:116, 340, 2036

7. przez 5 Liczba jest podzielna przez 5 jeżeli w rzędzie jedności ma liczbę 0 lub 5. Przykłady: 30, 785, 1090

8. przez 6 Liczba jest podzielna przez 6, gdy równocześnie dzieli się przez 2 i przez 3 Przykłady: 138 - ostatnia cyfra świadczy o podzielności przez 2,a suma cyfr 1+3+8=12 jest podzielna przez 3

9. przez 7 Aby dowiedzieć się czy dana liczba dzieli się przez 7, skreślamy jej ostatnie trzy cyfry, a od tak powstałej liczby odejmujemy liczbę skreśloną, jeśli ta różnica dzieli się przez siedem to i liczba jest podzielna przez 7. Przykład:366345 bo 366 - 345=21 7|21

10. przez 8 Liczba jest podzielna przez 8, gdy równocześnie dzieli się przez 2 i przez 4 Przykłady: 128 - ostatnia cyfra świadczy o podzielności przez 2, a jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4

11. przez 9 Liczba jest podzielna przez 9 jeżeli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 9. Przykłady:8784 8+7+8+4 = 27 i 9|27909 9 + 0 + 9 = 18 i 9|181125 1 + 1 + 2 + 5 = 9 i 9|9

12. przez 10 Liczba jest podzielna przez 10, gdy równocześnie dzieli się przez 2 i przez 5 Przykłady:2740 - ostatnia cyfra świadczy o podzielności przez 2 i przez 5.

13. przez 11 Jeżeli różnica pomiędzy sumą cyfr stojących na miejscach nieparzystych(licząc od prawej) i sumą cyfr stojących na miejscach parzystych jest liczbą podzielną przez 11 to i badana liczba jest podzielna przez 11. Przykład: 61974 (4+9+6)-(7+1)=19-8=11

14. przez 12 Liczba jest podzielna przez 12, gdy równocześnie dzieli się przez 4 i przez 3 Przykłady: 1512 - ostatnie dwie cyfry świadczą o podzielności przez 4, a suma cyfr 1+5+1+2=9 jest podzielna przez 3.

15. przez 13 Aby dowiedzieć się czy dana liczba dzieli się przez 13, skreślamy jej ostatnie trzy cyfry, a od tak powstałej liczby odejmujemy liczbę skreśloną, jeśli ta różnica dzieli się przez 13 to i liczba jest podzielna przez 13. Przykład:461435 bo 461-435=26 i 26=2*13

16. przez 14 Liczba jest podzielna przez 14, gdy równocześnie dzieli się przez 2 i przez 7 Przykłady: 222264 - ostatnia cyfra świadczy o podzielności przez 2 i 222-264= -42 7|(-42)

17. przez 15 Liczba jest podzielna przez 15 podczas gdy jednocześnie dzieli się przez 5 i przez 3.Przykład:105 - jest zakończona cyfrą pięć, czyli dzieli się przez pięć, a jej suma cyfr dzieli się przez 3, czyli jest podzielna przez 3. Liczba dzieli się przez 15.

18. przez 19 Liczba jest podzielna przez 19, jeżeli liczba otrzymana po przekształceniach jest podzielna przez 19. Przekształcenia - należy odrzucić ostatnią cyfrę, do liczby dodać podwojoną odrzuconą cyfrę, następnie z otrzymaną sumą postępujemy analogicznie.Przykład:8588858 + 2 * 8 = 858 + 16 = 87487 + 2 * 4 = 87 + 8 = 959 + 2 * 5 = 9 + 10 = 1919|8588 bo 19|19

19. przez 25 Liczba jest podzielna przez 25 jeżeli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę: 25, 50, 75 lub są zerami. Przykłady:1300, 250, 975, 67025

20. przez 27 Liczba jest podzielna przez 27 jeżeli suma jej odcinków trzycyfrowych od prawej strony jest podzielna przez 27.Przykład:176 121176 + 121 = 29727|176 121 bo 27|297

21. przez 33 Liczba jest podzielna przez 33, jeżeli suma jej odcinków dwucyfrowych od strony prawej jest podzielna przez 33.Przykład:40 72222 + 7 + 4 = 3333|40 722 bo 33|33

22. przez 37 I sposób:Liczba jest podzielna przez 37 jeżeli suma jej odcinków trzycyfrowych od prawej strony jest podzielna przez 37.Przykład:214 193214 + 193 = 40737|214 193 bo 37|407 II sposób:Od liczby odejmujemy trzycyfrową liczbę powstałą z trzykrotności cyfry jedności i skreślamy zero. Działanie powtarzamy do uzyskania mniejszej liczby.Przykład:214 193214 193 - 333 = 213 86021 386 - 666 = 20 7202 072 - 222 = 185037|214 193 bo 37|185

23. przez 100 Liczba jest podzielna przez 100 jeżeli jest zakończona dwoma zerami.Przykłady: 1400, 79900, 200600

24. LICZBY NATURALNE

25. LICZBY NATURALNE… CO TO TAKIEGO ? Liczby naturalne - liczby 1, 2, 3… Zbiór liczb naturalnych oznacza się symbolem N. W zbiorze liczb naturalnych określone są dwa działania: dodawanie i mnożenie. Jest to zbiór liniowo uporządkowany, nieskończony i przeliczalny.

26. GENEZA LICZB NATURALNYCH • Liczbom tym od zawsze przypisywano wyjątkową pozycję, ponieważ mają one bezpośredni związek z jedną z codziennych czynności- liczeniem. • Do końca XIX w. pojęcie ‘liczby naturalne’ zaliczano do grupy pojęć pierwotnych, a więc nie wymagających wyjaśnienia. • Pierwszą próbę zdefiniowania liczb naturalnych podjął matematyk włoski G. Peano. Jego definicja ma postać aksjomatyczną.

27. CZY 0 JEST LICZBA NATURALNĄ ? • Dla jednych nie - bowiem przez bardzo długi czas odgrywało jedynie rolę symbolu cyfrowego, • Dla innych tak - odpowiada bowiem na pytanie o liczebność zbioru pustego. • To czy zero jest liczbą naturalną jest kwestią umowy. W matematyce nie przyjęto ogólnie żadnej konwencji dotyczącej przynależności zera lub jej braku do liczb naturalnych.

28. POSTULATY PEANO • Zero jest liczbą naturalną • Każda liczba naturalna ma swój następnik • Zero nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej • Różne liczby naturalne mają różne następniki • Jeśli zero ma daną własność i następnik dowolnej liczby naturalnej o tej własności również ma tę własność, to każda liczba naturalna ma tę własność (zasada indukcji matematycznej).

29. LICZBY DOSKONAŁE

30. LICZBA DOSKONAŁA – CO TO TAKIEGO ? Liczba doskonała – liczba naturalna, która jest sumą wszystkich swych dzielników właściwych (to znaczy od niej mniejszych)

31. Najmniejszą liczbą doskonałą jest 6, ponieważ 6 = 3 + 2 + 1. Następną jest 28 (28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1), Te dwie liczby znane były w starożytności. Kabaliści utrzymywali, że nie przypadkiem Bóg stworzył świat w sześć dni, a Księżycowi kazał obiegać Ziemię w ciągu 28 nocy.

32. Kolejne liczby doskonałe, to: 496 8128 33550336 8589869056 137438691328. Do tej pory znaleziono 36 liczb doskonałych.

33. W IX księdze Elementów Euklides podał sposób znajdowania liczb doskonałych parzystych: należy obliczać sumy kolejnych potęg dwójki np. 1 + 2 + 4 + 8 +... Jeśli wziąć dowolnie dużo liczb, z których pierwsza jest jedynką, a każda następna jest dwa razy większa od poprzedniej i dodać je do siebie to, jeśli w wyniku otrzyma się liczbę pierwszą, to liczba ta pomnożona przez liczbę dwa razy większą od ostatniej w tym szeregu będzie liczbą doskonałą.

34. Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest 243112608·(243112609-1) ciekawostka

35. Jak dotąd nie udało się znaleźć liczby doskonałej nieparzystej, ani dowodu, że liczby takie nie istnieją. Euler udowodnił, że każda liczba doskonała nieparzysta musi być postaci p4k+1 l2, gdzie p jest liczbą pierwszą postaci 4m+1. Wiadomo też, że jeśli liczba taka istnieje, to musi być większa od 10300 (wynik z roku 1991)

36. LICZBY BLIŹNIACZE

37. LICZBY BLIŹNIACZE – CO TO TAKIEGO ? Liczby bliźniacze to takie dwie liczby pierwsze, których różnica wynosi 2. Przykłady to: • 3 i 5 • 5 i 7 • 11 i 13 • 17 i 19 • 29 i 31 • 41 i 43 • 59 i 61 • 71 i 73 Liczba 5 jest bliźniacza zarówno z 3 jak i z 7.

38. Już w 1919 roku Norweg Brun wykazał, że szereg odwrotności bliźniaczych liczb pierwszych jest zbieżny. Zbieżność ta może być spowodowana przez to, że liczb bliźniaczych jest tylko skończenie wiele, a jeśli tak nie jest - to znaczy przynajmniej, że są one "rzadko położone". Ostatnimi cyframi liczb bliźniaczych mogą być: 1 i 3 (na przykład 11 i 13), 7 i 9 (na przykład 17 i 19) oraz 9 i 1 (na przykład 29 i 31).

39. ciekawostka Największą znaną obecnie parą liczb bliźniaczych jest para liczb (260 497 545ˇ26 625-1,  260 497 545ˇ26 625+1).

40. 3 i 5 5 i 7 11 i 13 17 i 19 29 i 31 41 i 43 59 i 61 71 i 73 101 i 103 107 i 109 137 i 139 149 i 151 179 i 181 191 i 193 197 i 199 227 i 229 239 i 241 269 i 271 281 i 283 311 i 313 347 i 349 419 i 421 431 i 433 461 i 463 521 i 523 557 i 559 569 i 571 617 i 619 659 i 661 809 i 811 821 i 823 827 i 829 857 i 859 881 i 883 Oto wszystkie takie liczby mniejsze od 1000:

41. LICZBY ZAPRZYJAŹNIONE

42. LICZBY ZAPRZYJAŹNIONE – CO TO TAKIEGO ? Dwie liczby A i B nazywają się zaprzyjaźnionymi jeżeli suma wszystkich dzielników liczby A (mniejszych od niej samej) jest równa liczbie B i odwrotnie, suma wszystkich dzielników liczby B (mniejszych od niej samej) jest równa liczbie A.

43. Pierwsza para to 220 i 284. D284 = {1, 2, 4, 71, 142, 284} D220 = {1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220} 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110

44. Przykładowe pary

45. ciekawostka Na początku 2001 roku Mariano Garcia znalazł milionową parę liczb zaprzyjaźnionych. W maju tego samego roku znaleziono już takich par aż 2 122 263!

46. LICZBY MERSENNE’A

47. LICZBY MERSENNE’A – CO TO TAKIEGO ? Liczby postaci 2p − 1 gdzie p jest liczbą naturalną. Zostały tak nazwane na cześć francuskiego matematyka Marina Mersenne'a, który opublikował tablicę liczb pierwszych tego typu – jak się później okazało - błędną. Liczbę Mersenne'a M(p) można określić jako sumę p pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego: 21, 22, 23, 24,...

48. PIERWSZOŚĆ LICZB MERSENNE’A Liczby złożone Mersenne'a to liczby Mersenne'a M(p), które są złożone, gdy liczba p jest pierwsza (gdy p jest złożone, to M(p) jest zawsze złożone). Warunkiem koniecznym, ale nie wystarczającym, żeby liczba M(p) była pierwsza jest, by p było liczbą pierwszą. PRZYKŁAD: • M(p) jest liczbą pierwszą dla p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 607 • M(p) jest liczbą złożoną dla p = 11, gdyż 211−1 = 23·89

49. LICZBY ZŁOŻONE MERSENNE’A Istnieje nieskończenie wiele liczb złożonych Mersenne'a. Ich przykładami są: 223-1= 8388607 = 47 * 178481 237-1= 137438953471 = 223 * 616318177 243-1= 8796093022207 = 431 * 20408568497 247-1= 140737488355327 = 2351 * 4513 * 13264529 283-1= 167 * 5791261411327569087721

50. LICZBY PIERWSZE MERSENNE’A Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Mersenne'a. Obecnie poznano ich 47. Oto kilka z nich: 27 − 1213 − 1217 − 1219 − 1231 − 1261 − 1289 − 12107 − 12127 − 12521 − 12607 − 121279 − 1