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A Note on Asymmetric Power Index for Voting Games

A Note on Asymmetric Power Index for Voting Games. 東京大学 松井知己 東京大学 上原良賢. Power Indices. 目的： 新しい非対称投票力指数の提案 Symmetric Index （対称投票力指数） Shapley-Shubik (1953,1954) Banzhaf (1965) Deegan-Packel (1978) 投票力を議席数と割当数のみから測る . Asymmetric Index （非対称投票力指数） Shapley-Owen (1971) Frank-Shapley (1981)

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A Note on Asymmetric Power Index for Voting Games

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Presentation Transcript

  1. A Note on Asymmetric Power Index for Voting Games 東京大学 松井知己 東京大学 上原良賢

  2. Power Indices • 目的：新しい非対称投票力指数の提案 • Symmetric Index（対称投票力指数） • Shapley-Shubik (1953,1954) • Banzhaf (1965) • Deegan-Packel (1978) • 投票力を議席数と割当数のみから測る. • Asymmetric Index（非対称投票力指数） • Shapley-Owen (1971) • Frank-Shapley (1981) • Rabinowitz-Macdonald (1986) • Ono-Muto (1997) • イデオロギー空間の存在を仮定． • 各政党は､イデオロギー空間内に配置. • （位置の近い2政党は､投票行動が似る.） • 議案は位置or方向ベクトルとして発生.

  3. 投票行動表 • 投票行動表 • 参議院での投票行動（1989-1992） • 政党： 自民 社会 公明 共産 民社 連合 ： 議案数 • 議席： 109 74 21 14 10 12 . • Y Y Y N Y Y ： 85 • Y N N N N N： 18 • Y N N N Y N： 9 • Y N Y N Y Y ： 6 • N Y Y Y Y Y ： 6 • Y N Y N Y N： 5 • Y N Y Y Y Y ： 3 • Y Y Y N Y N： 1 • 全員一致という議案は取り除いてある.

  4. B党 議案 j に反対 A党 C党 O 議案j に賛成 D党 イデオロギー空間 • イデオロギー空間： • n次元ユークリッド空間. • 各政党を点(n次元ベクトル）として配置する. • 方法は後に述べる. • 投票行動の近い政党は近い位置にある. • 議案ベクトル(Rabinowitz-Macdonald)： • 議案は1つの方向として与えられる.

  5. B党 議案 j に反対 A党 C党 O 議案j に賛成 D党 ピヴォット • 議案ベクトルに沿った順に提携が形成される. • {C}, {C,B}, {C,B,D},{C,B,D,A} • 敗北→ 敗北→ 勝利 → 勝利 • D:ピヴォット • ピヴォット：敗北から勝利に変化させた政党

  6. 非対称投票力指数の計算 • 非対称投票力指数の計算法 • (Rabinowitz-Macdonald) • （1）投票行動表を用いて • 政党をイデオロギー空間中に配置する • (2) 議案ベクトルを • 適当な方法で確率的に発生させる • (3) 政党i の指数＝政党i がピヴォットとなる確率 • を計算する

  7. 政党の配置と議案ベクトルの発生 • (1) 投票行動表を用いて • 政党をイデオロギー空間中に配置する • Rabinowitz-Macdonald：因子分析を用いる • Ono-Muto ：数量化III類を用いる • (2) 議案ベクトル（または点）の発生 • Shapley：各方向が等確率で発生する • Rabinowitz-Macdonald：投票行動表の議案もイデオロギー空間中に方向として配置, 過去の議案の非負結合ベクトルを等確率で発生 • Ono-Muto：投票行動表の議案もイデオロギー空間中に点として配置, 過去の議案数に比例して発生

  8. 研究の動機 • 既往の方法： • 投票行動表 → イデオロギー空間 →指数 • 本発表の方法： • 投票行動表 →→→ 指数 • (1) 既往の方法：投票行動表から各政党のイデオロギー空間での配置を構築 • (2) A党とB党が同じ投票行動を示す議案が多い→A,B党は似たイデオロギーを持つ→指数 • (3) 各議案の発生比率→各提携の発生確率 →(非対称)投票力指数

  9. 新しい指数(1) • 投票行動表 • 政党： 自民 社会 公明 共産 民社 連合 ： 議案数 • 議席： 109 74 21 14 10 12 . • Y Y Y N Y Y ： 85 (勝利) • Y N N N N N： 18 (敗北) • Y N ・ ・ ・ ・ ・ ・ Y N： 9 (敗北) • ・ ・ ・ ・ ・ ・ • 重み付き多数決ゲームを生成 （121=割当数） • [ 121; 109, 74, 21, 0, 10, 12 ] • [ 121; 0, 74, 21, 14, 10, 12 ] • [ 121; 0, 74, ・ ・ ・ ・ ・ ・ 0, 12 ] • ・ ・ ・ ・ ・ ・

  10. 新しい指数(2) • 重み付き多数決ゲームを生成 • 政党： 自民 社会 公明 共産 民社 連合 ： 議案数 • 議席： 109 74 21 14 10 12 . • [ 121; 109, 74, 21, 0, 10, 12 ] 85 • [ 121; 0, 74, 21, 14, 10, 12 ] 18 • [ 121; 0, 74, ・ ・ ・ ・ ・ ・ 0, 12 ] 9 • ・ ・ ・ ・ ・ ・ • Shapley-Shubik 指数を計算 （総議案数=133） • (.75 .083 .083 0 0 .083)×(85/133） • (0 .025 .25 .25 0 .25 )×(18/133） • (0 .025 ・ ・ ・ ・ ・ ・ 0 .25 )×( 9/133) • ＋ ・ ・ ・ ・ ・ ・ . • (.550 .117 .145 .064 0 .125)

  11. 他の指数との比較 • 指数 ： 自民 社会 公明 共産 民社 連合 • 109 74 21 14 10 12 . • S-S ：.564 .117 .117 .067 .067 .067 • Bz ：.844 .156 .156 .094 .094 .094 • D-P ：.333 .117 .117 .144 .144 .144 • S-O1： .5 .5 • S-O2：.155 .032 .211 .144 .458 . • O-M1: .932 .068 • O-M2: .632 .292 .068 • O-M3: .639 .135 .180 .045 • O-M4: .707 .007 .105 .135 .045 • O-M5: .511 .166 .202 .049 .072 . • M-U : .550 .117 .145 .064 .125

  12. 他の指数との関係 • 他の指数を特殊ケースとして含む • Shapley-Shubik 指数 • 投票行動表 • 政党： A B C D E F ：議案数 • 議案： Y Y Y Y Y Y ： 1 • Deegan-Packel 指数 • 投票行動表 • 政党 ： A B C D E F ：議案数 • 議案1： Y Y N Y Y Y ： 1 • 議案2： Y Y Y N Y Y ： 1 全ての • 議案3： Y Y Y Y N N ： 1 極小勝利提携 • ･ ･ ･ ･ ･ ･

  13. 公理系(0) • 公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0 • 公理2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]] • → η(G,pE)i = η(G,pE) j • 公理3 ∀ E, η(G1,pE)+η(G2, pE) • =η(G1 ∧G2, pE)+η(G1 ∨ G2, pE) • 公理4 指数の総和=1 • 公理5 (0≦∀λ≦1), η(G,λp+(1‐λ)p’) • =λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’) • 公理6∀ E, η(G,pE) =η(G [E ], pE)

  14. 公理系(1) • データ： • G=[q；w1, w2,..., wn]： wi ：iの票数,q：割当数 • v: 特性関数 • プロフィール p:各勝利提携の発生確率 • (発生確率の総和は1） • 指数： (η(G,p)1, η(G,p)2,...,η(G,p)n) • 公理1 [∀F， v(F) = v(F+i)] → η(G,p)i = 0 • 公理2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]] • → η(G,pE)i = η(G,pE) j • 単純プロフィール pE :勝利提携Eの発生確率=1 • 公理3 ・ ・ ・ ・

  15. 公理系(2) • 単純プロフィール pE :勝利提携Eの発生確率=1 • 公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0 • 公理2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]] • → η(G,pE)i = η(G,pE) j • 公理3 ∀ E, η(G1,pE)+η(G2, pE) • =η(G1 ∧G2, pE)+η(G1 ∨ G2, pE) • 公理4 指数の総和=1 • 公理5 (0≦∀λ≦1), η(G,λp+(1‐λ)p’) • =λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’) • 公理6 ･ ･ ･ ･

  16. 公理系(3) • 公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0 • 公理2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]] • → η(G,pE)i = η(G,pE) j • 公理3 ∀ E, η(G1,pE)+η(G2, pE) • =η(G1 ∧G2, pE)+η(G1 ∨ G2, pE) • 公理4 指数の総和=1 • 公理5 (0≦∀λ≦1), η(G,λp+(1‐λ)p’) • =λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’) • 公理6∀ E, η(G,pE) =η(G [E ], pE) • v’：G [E ]の特性関数, v’（F)=1 ⇔v(F∩E)=1

  17. 公理系(4) • 公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0 • 公理2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]] • → η(G,pE)i = η(G,pE) j • 公理3 ∀ E, η(G1,pE)+η(G2, pE) • =η(G1 ∧G2, pE)+η(G1 ∨ G2, pE) • 公理4 指数の総和=1 • 公理5 (0≦∀λ≦1), η(G,λp+(1‐λ)p’) • =λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’) • 公理6∀ E, η(G,pE) =η(G [E ], pE) • 定理：提案した指数は, • 公理1～6で特徴付けられる.

  18. まとめ • 新たな指数の提案 • イデオロギー空間の導入が不要 • S-S指数, D-P指数 を特殊ケースとして含む • 参議院のデータを用いた他の指数との比較 • O-M指数と近い数値が得られた • （議案ベクトルの発生が偏っている場合に有効） • 指数を特徴付ける公理系の証明 • S-S指数の公理系 • +（公理5）プロフィｰルに関する線形性 • +（公理6）単純プロフィールを持つ際の仮定 • 公理5 (0≦∀λ≦1), η(G,λp+(1‐λ)p’) • =λη(G, p)+ (1‐λ) η(G, p’) • 公理6∀ E, η(G,pE) =η(G [E ], pE)

  19. おわり

  20. 他の指数との比較 • 指数 ： 自民 社会 公明 共産 民社 連合 • 109 74 21 14 10 12 . • S-S ：.564 .117 .117 .067 .067 .067 • Bz ：.844 .156 .156 .094 .094 .094 • D-P ：.333 .117 .117 .144 .144 .144 • S-O1： .5 .5 • S-O2：.155 .032 .211 .144 .458 . • O-M1: .932 .068 • O-M2: .632 .292 .068 • O-M3: .639 .135 .180 .045 • O-M4: .707 .007 .105 .135 .045 • O-M5: .511 .166 .202 .049 .072 . • M-U : .550 .117 .145 .064 .125

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