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A Note on Asymmetric Power Index for Voting Games

A Note on Asymmetric Power Index for Voting Games. University of Tokyo Tomomi Matsui University of Tokyo Yoshikata Uehara. voting game. N ={1,2,…, n }: set of players v : 2 N → R : characteristic function ( N , v ): characteristic function game voting game v : 2 N →{0,1} (simple game),

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A Note on Asymmetric Power Index for Voting Games

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Presentation Transcript

  1. A Note on Asymmetric Power Index for Voting Games University of Tokyo Tomomi Matsui University of Tokyo Yoshikata Uehara

  2. voting game • N={1,2,…,n}: set of players • v: 2N →R: characteristic function • (N,v): characteristic function game • voting game • v: 2N →{0,1} (simple game), • ∀S⊆∀T⊆N, v（S）≦v（T）. • game for analyzing (political) voting system

  3. voting game • coalition: subset of players • (empty set is also called a coalition, here) • winning coalition: v(S)=1 • losing coalition: v(S)=0 • W: family of all the winning coalitions • L: family of all the losing coalitions • (clearly W ∪ L = 2N ) • voting game: • G=(N,W): (players, winning coalitions) ∀S⊆∀T∈W, S∈W.

  4. power index • power index: quantitative measure of power for players of voting game • (symmetric) power index • Shapley-Shubik (1953,1954) • Banzhaf (1965) • Deegan-Packel (1978) • defined only by the characteristic function • Political voting system: each voter has his/her own ideology • ⇒ non-symmetry among voters

  5. asymmetric index • asymmetric index • Shapley-Owen (1971) • Rapoport-Golan (1985) • Israeli Knesset • Frank-Shapley (1981) • U. S. Supreme Court • Rabinowitz-MacDonald (1986) • U. S. Presidential Elections • Ono-Muto (1997) • House of Councilors in Japan • introduce ideology (profile) space, • each player has a position in ideology space,

  6. result • main result: asymmetric index for voting game • (1) without the definition of ideology space, • (2) use the profile of issue distribution directly, • (3) generalization of Shapley-Shubik index, and Deegan-Packel index, • (4) axiomatic characterization.

  7. profile of issue distribution • profile of issue distribution: • characterize each issue by the coalition consists of players (parties) who agree with the issue • issue distribution = probability distribution defined on winning coalitions • (losing coalition = rejected issue • = issue blocked by complement coalition • = (winning) complement coalition) • Assumption: v(S)+v(N-S) ≧１ • profile:p:W →[0,1] • satisfying {∑p(S)｜S∈W}=1

  8. new index • E: winning coalition • G[E]=(N,W[E]) sub-game: • W[E]={F ⊆N｜F∩E ∈W} • φ[G’]：N→[0,1]： • Shapley-Shubik index of a voting game G’ • φ[E]： N→[0,1]： • Shapley-Shubik index of the sub-game G[E] • new index: • η(G,p)={∑p(E) φ[E] ｜E∈W} • G=(N,W) : sub-game, • p:W →[0,1] : profile

  9. explanation from game theoretical point of view • new index: • η(G,p)={∑p(E) φ[E] ｜E∈W} • G[E]=(N,W[E]) : sub-game, • p:W →[0,1] : profile • φ[E] :Shapley-Shubik index of sub-game • = imputation corresponding to Shapley value • ∑p(E) φ[E] = ∑(probability) (imputation) • = (expectation of imputations w.r.t. Shapley value and issue distribution)

  10. special case • new index: • η(G,p)={∑p(E) φ[E] ｜E∈W} • Shapley-Shubik index: • profile p(F )=1 iff F =N • Deegan-Packel index: • profile p(F)=1/|Wmin| iff F is a minimal winning coalition • Wmin : family of minimal winning coalitions • (p(F)= 0 (otherwise) )

  11. Analysis of House of Councilors in Japan

  12. House of Councilors in Japan • House of Councilors in Japan (1989-1992) • 6 (non-minor) parties • Liberal Democratic Party (LDP): 109 • Social Democratic Party (SDPJ): 74 • Komeito (Komei): 21 • Japan Communist Party (JCP): 14 • Democratic Socialist Party (DSP): 10 • Rengo: 12 • total: 240

  13. profile of issue distribution • characterize issues by the coalition (8 issues) • House of Councilors in Japan （1989-1992） • party： LDP SDPJ Komei JCP DSP Rengo ：number • seats： 109 74 21 14 10 12 . • Y Y Y N Y Y ： 85 • Y N N N N N： 18 • Y N N N Y N： 9 • Y N Y N Y Y ： 6 • N Y Y Y Y Y ： 6 • Y N Y N Y N： 5 • Y N Y Y Y Y ： 3 • Y Y Y N Y N： 1 • profiles of non-unanimous votes

  14. weighted majority game • players: N ={1,2,…,n} • weighted majority game: [q; w1,w2,…,wn] • q: quota, • wi: voting weight (seats) of player (party) i • coalition S is winning ⇔ {∑ wi| i ∈S}≧q • Assumption: • (1/2) (w1+w2+・･･＋wn )<q≦ (w1+w2+・･･＋wn )

  15. sub-games • profile of issue distribution • party： LDP SDPJ Komei JCP DSP Rengo ： number • seats： 109 74 21 14 10 12 . • Y Y Y N Y Y ： 85 (winning) • Y N N N N N： 18 (loosing) • Y N ・ ・ ・ ・ ・ ・ Y N： 9 (loosing) • ・ ・ ・ ・ ・ ・ • generate sub-games （121=quota） • [ 121; 109, 74, 21, 0, 10, 12 ] • [ 121; 0, 74, 21, 14, 10, 12 ] • [ 121; 0, 74, ・ ・ ・ ・ ・ ・ 0, 12 ] • ・ ・ ・ ・ ・ ・

  16. calculation of indices • generated sub-games （121=quota） • party： LDP SDPJ Komei JCP DSP Rengo ： number • seats： 109 74 21 14 10 12 . • [ 121; 109, 74, 21, 0, 10, 12 ] 85 • [ 121; 0, 74, 21, 14, 10, 12 ] 18 • [ 121; 0, 74, ・ ・ ・ ・ ・ ・ 0, 12 ] 9 • ・ ・ ・ ・ ・ ・ • Shapley-Shubik index of each sub-game （issue total=133） • (.75 .083 .083 0 0 .083)×(85/133） • (0 .025 .25 .25 0 .25 )×(18/133） • (0 .025 ・ ・ ・ ・ ・ ・ 0 .25 )×( 9/133) • ＋ ・ ・ ・ ・ ・ ・ . • (.550 .117 .145 .064 0 .125)

  17. comparison with other indices • party： LDP SDPJ Komei JCP DSP Rengo • seats: 109 74 21 14 10 12 . • S-S ：.564 .117 .117 .067 .067 .067 • Bz ：.844 .156 .156 .094 .094 .094 • D-P ：.333 .117 .117 .144 .144 .144 • S-O1： .5 .5 • S-O2：.155 .032 .211 .144 .458 . • O-M1: .932 .068 • O-M2: .632 .292 .068 • O-M3: .639 .135 .180 .045 • O-M4: .707 .007 .105 .135 .045 • O-M5: .511 .166 .202 .049 .072 . • M-U : .550 .117 .145 .064 .125

  18. Axiom(0) • Axiom1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0 • Axiom2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]] • → η(G,pE)i = η(G,pE) j • Axiom3 ∀ E, η(G1,pE)+η(G2, pE) • =η(G1 ∧G2, pE)+η(G1 ∨ G2, pE) • Axiom4 sum total of indices =1 • Axiom5 (0≦∀λ≦1), η(G,λp+(1‐λ)p’) • =λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’) • Axiom6∀ E, η(G,pE) =η(G [E ], pE)

  19. Axiom (1) • G=(N,v): voting game • profile p: • index： (η(G,p)1, η(G,p)2,...,η(G,p)n) • Axiom1 [∀F， v(F) = v(F+i)] → η(G,p)i = 0 • （dummy player) • Axiom2 [i,j ∈E , [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]] • → η(G,pE)i = η(G,pE) j • simple profile pE : [pE(F) =1 ⇔F=E ] • (symmetric player and simple profile)

  20. Axiom(2) • Axiom1 (dummy player) • Axiom2 (symmetric players and simple profile) • Axiom3 ∀ E ∈W, η(G1,pE)+η(G2, pE) • =η(G1 ∧G2, pE)+η(G1 ∨ G2, pE) • (additivity of games with simple profile) simple profilepE : [pE(F) =1 ⇔F=E ] • Axiom4sum total of indices =1 • Axiom5 (0≦∀λ≦1), η(G,λp+(1‐λ)p’) • =λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’) • (linearity with respect to the profile)

  21. Axiom(3) • Axiom1 (dummy player) • Axiom2 (symmetric players and simple profile) • Axiom3(additivity of games with simple profile) • Axiom4sum total of indices =1 • Axiom5(linearity with respect to the profile) • Axiom6∀ E∈W,η(G,pE) =η(G [E ], pE) • (indices of simple profile game • = indices of simple profile sub-game restricted to the corresponding coalition • = outsiders do not have any power) • simple profilepE : [pE(F) =1 ⇔F=E ]

  22. Axiom(4) • Axiom1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0 • Axiom2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]] • → η(G,pE)i = η(G,pE) j • Axiom3 ∀ E, η(G1,pE)+η(G2, pE) • =η(G1 ∧G2, pE)+η(G1 ∨ G2, pE) • Axiom4 sum total of indices =1 • Axiom5 (0≦∀λ≦1), η(G,λp+(1‐λ)p’) • =λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’) • Axiom6∀ E, η(G,pE) =η(G [E ], pE) • Theorem: • ηindex is characterized by the above axioms

  23. Conclusion • propose asymmetric index • without definition of ideology space • generalization of S-S index and D-P index • analyze House of Councilors in Japan • our index is similar to O-M index • axiomatic characterization of our index • axioms for S-S index • +（Axiom5）linearity on profile • +（Axiom6）index for the case of simple profile • Axiom5 (0≦∀λ≦1), η(G,λp+(1‐λ)p’) • =λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’) • Axiom6∀ E, η(G,pE) =η(G [E ], pE)

  24. END

  25. B党 議案 j に反対 A党 C党 O 議案j に賛成 D党 イデオロギー空間 • イデオロギー空間： • n次元ユークリッド空間. • 各政党を点(n次元ベクトル）として配置する. • 方法は後に述べる. • 投票行動の近い政党は近い位置にある. • 議案ベクトル(Rabinowitz-Macdonald)： • 議案は1つの方向として与えられる.

  26. B党 議案 j に反対 A党 C党 O 議案j に賛成 D党 ピヴォット • 議案ベクトルに沿った順に提携が形成される. • {C}, {C,B}, {C,B,D},{C,B,D,A} • 敗北→ 敗北→ 勝利 → 勝利 • D:ピヴォット • ピヴォット：敗北から勝利に変化させた政党

  27. 非対称投票力指数の計算 • 非対称投票力指数の計算法 • (Rabinowitz-Macdonald) • （1）投票行動表を用いて • 政党をイデオロギー空間中に配置する • (2) 議案ベクトルを • 適当な方法で確率的に発生させる • (3) 政党i の指数＝政党i がピヴォットとなる確率 • を計算する

  28. 政党の配置と議案ベクトルの発生 • (1) 投票行動表を用いて • 政党をイデオロギー空間中に配置する • Rabinowitz-Macdonald：因子分析を用いる • Ono-Muto ：数量化III類を用いる • (2) 議案ベクトル（または点）の発生 • Shapley：各方向が等確率で発生する • Rabinowitz-Macdonald：投票行動表の議案もイデオロギー空間中に方向として配置, 過去の議案の非負結合ベクトルを等確率で発生 • Ono-Muto：投票行動表の議案もイデオロギー空間中に点として配置, 過去の議案数に比例して発生

  29. 研究の動機 • 既往の方法： • 投票行動表 → イデオロギー空間 →指数 • 本発表の方法： • 投票行動表 →→→ 指数 • (1) 既往の方法：投票行動表から各政党のイデオロギー空間での配置を構築 • (2) A党とB党が同じ投票行動を示す議案が多い→A,B党は似たイデオロギーを持つ→指数 • (3) 各議案の発生比率→各提携の発生確率 →(非対称)投票力指数

  30. 新しい指数(1) • 投票行動表 • 政党： 自民 社会 公明 共産 民社 連合 ： 議案数 • 議席： 109 74 21 14 10 12 . • Y Y Y N Y Y ： 85 (勝利) • Y N N N N N： 18 (敗北) • Y N ・ ・ ・ ・ ・ ・ Y N： 9 (敗北) • ・ ・ ・ ・ ・ ・ • 重み付き多数決ゲームを生成 （121=割当数） • [ 121; 109, 74, 21, 0, 10, 12 ] • [ 121; 0, 74, 21, 14, 10, 12 ] • [ 121; 0, 74, ・ ・ ・ ・ ・ ・ 0, 12 ] • ・ ・ ・ ・ ・ ・

  31. 新しい指数(2) • 重み付き多数決ゲームを生成 • 政党： 自民 社会 公明 共産 民社 連合 ： 議案数 • 議席： 109 74 21 14 10 12 . • [ 121; 109, 74, 21, 0, 10, 12 ] 85 • [ 121; 0, 74, 21, 14, 10, 12 ] 18 • [ 121; 0, 74, ・ ・ ・ ・ ・ ・ 0, 12 ] 9 • ・ ・ ・ ・ ・ ・ • Shapley-Shubik 指数を計算 （総議案数=133） • (.75 .083 .083 0 0 .083)×(85/133） • (0 .025 .25 .25 0 .25 )×(18/133） • (0 .025 ・ ・ ・ ・ ・ ・ 0 .25 )×( 9/133) • ＋ ・ ・ ・ ・ ・ ・ . • (.550 .117 .145 .064 0 .125)

  32. 他の指数との比較 • 指数 ： 自民 社会 公明 共産 民社 連合 • 109 74 21 14 10 12 . • S-S ：.564 .117 .117 .067 .067 .067 • Bz ：.844 .156 .156 .094 .094 .094 • D-P ：.333 .117 .117 .144 .144 .144 • S-O1： .5 .5 • S-O2：.155 .032 .211 .144 .458 . • O-M1: .932 .068 • O-M2: .632 .292 .068 • O-M3: .639 .135 .180 .045 • O-M4: .707 .007 .105 .135 .045 • O-M5: .511 .166 .202 .049 .072 . • M-U : .550 .117 .145 .064 .125

  33. 他の指数との関係 • 他の指数を特殊ケースとして含む • Shapley-Shubik 指数 • 投票行動表 • 政党： A B C D E F ：議案数 • 議案： Y Y Y Y Y Y ： 1 • Deegan-Packel 指数 • 投票行動表 • 政党 ： A B C D E F ：議案数 • 議案1： Y Y N Y Y Y ： 1 • 議案2： Y Y Y N Y Y ： 1 全ての • 議案3： Y Y Y Y N N ： 1 極小勝利提携 • ･ ･ ･ ･ ･ ･

  34. 公理系(0) • 公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0 • 公理2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]] • → η(G,pE)i = η(G,pE) j • 公理3 ∀ E, η(G1,pE)+η(G2, pE) • =η(G1 ∧G2, pE)+η(G1 ∨ G2, pE) • 公理4 指数の総和=1 • 公理5 (0≦∀λ≦1), η(G,λp+(1‐λ)p’) • =λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’) • 公理6∀ E, η(G,pE) =η(G [E ], pE)

  35. 公理系(1) • データ： • G=[q；w1, w2,..., wn]： wi ：iの票数,q：割当数 • v: 特性関数 • プロフィール p:各勝利提携の発生確率 • (発生確率の総和は1） • 指数： (η(G,p)1, η(G,p)2,...,η(G,p)n) • 公理1 [∀F， v(F) = v(F+i)] → η(G,p)i = 0 • 公理2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]] • → η(G,pE)i = η(G,pE) j • 単純プロフィール pE :勝利提携Eの発生確率=1 • 公理3 ・ ・ ・ ・

  36. 公理系(2) • 単純プロフィール pE :勝利提携Eの発生確率=1 • 公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0 • 公理2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]] • → η(G,pE)i = η(G,pE) j • 公理3 ∀ E, η(G1,pE)+η(G2, pE) • =η(G1 ∧G2, pE)+η(G1 ∨ G2, pE) • 公理4 指数の総和=1 • 公理5 (0≦∀λ≦1), η(G,λp+(1‐λ)p’) • =λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’) • 公理6 ･ ･ ･ ･

  37. 公理系(3) • 公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0 • 公理2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]] • → η(G,pE)i = η(G,pE) j • 公理3 ∀ E, η(G1,pE)+η(G2, pE) • =η(G1 ∧G2, pE)+η(G1 ∨ G2, pE) • 公理4 指数の総和=1 • 公理5 (0≦∀λ≦1), η(G,λp+(1‐λ)p’) • =λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’) • 公理6∀ E, η(G,pE) =η(G [E ], pE) • v’：G [E ]の特性関数, v’（F)=1 ⇔v(F∩E)=1

  38. 公理系(4) • 公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0 • 公理2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]] • → η(G,pE)i = η(G,pE) j • 公理3 ∀ E, η(G1,pE)+η(G2, pE) • =η(G1 ∧G2, pE)+η(G1 ∨ G2, pE) • 公理4 指数の総和=1 • 公理5 (0≦∀λ≦1), η(G,λp+(1‐λ)p’) • =λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’) • 公理6∀ E, η(G,pE) =η(G [E ], pE) • 定理：提案した指数は, • 公理1～6で特徴付けられる.

  39. まとめ • 新たな指数の提案 • イデオロギー空間の導入が不要 • S-S指数, D-P指数 を特殊ケースとして含む • 参議院のデータを用いた他の指数との比較 • O-M指数と近い数値が得られた • （議案ベクトルの発生が偏っている場合に有効） • 指数を特徴付ける公理系の証明 • S-S指数の公理系 • +（公理5）プロフィｰルに関する線形性 • +（公理6）単純プロフィールを持つ際の仮定 • 公理5 (0≦∀λ≦1), η(G,λp+(1‐λ)p’) • =λη(G, p)+ (1‐λ) η(G, p’) • 公理6∀ E, η(G,pE) =η(G [E ], pE)

  40. おわり

  41. 他の指数との比較 • 指数 ： 自民 社会 公明 共産 民社 連合 • 109 74 21 14 10 12 . • S-S ：.564 .117 .117 .067 .067 .067 • Bz ：.844 .156 .156 .094 .094 .094 • D-P ：.333 .117 .117 .144 .144 .144 • S-O1： .5 .5 • S-O2：.155 .032 .211 .144 .458 . • O-M1: .932 .068 • O-M2: .632 .292 .068 • O-M3: .639 .135 .180 .045 • O-M4: .707 .007 .105 .135 .045 • O-M5: .511 .166 .202 .049 .072 . • M-U : .550 .117 .145 .064 .125

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