Tema 4: Sistemi di V.A. Gaussiane

1. Tema 4:Sistemi di V.A. Gaussiane Vettore Gaussiano: N v.a. congiuntamente Gaussiane ddp congiunta di ordine N Vettore valori medi [ statistica di ordine 1 ] Matrice di covarianza [ statistica di ordine 2 ]

2. Proprietà dei vettori Gaussiani Proprietà 1: la ddp congiunta di ordine N di un vettore aleatorio Gaussiano è completamente specificata dal vettore valori medi e dalla matrice di covarianza Proprietà 2: una trasformazione lineare di vettori Gaussiani preserva la Gaussianità: Proprietà 3: una qualsiasi r-upla di v.a. estratte da X è ancora un vettore aleatorio Gaussiano, in particolare ogni Xk è una v.a. Gaussiana

3. Proprietà dei vettori Gaussiani Proprietà 4: Funzione caratteristica di un vettore Gaussiano • Se{Xi; i=1,2, … , N} sono v.a. Gaussiane indipendenti: • Se{Xi; i=1,2,3,4} sono v.a. Gaussiane con valori medi nulli:

4. Proprietà dei vettori Gaussiani Proprietà 5: se N v.a. congiuntamente Gaussiane sono a due a due incorrelate, esse sono anche indipendenti • Se sono anche identicamente distribuite: , • dove I è la matrice identità, e

5. Proprietà dei vettori Gaussiani Proprietà 6: la ddp di una qualsiasi r-upla di v.a. condizionata ad un qualsiasi sottogruppo di k v.a. (prese tra le rimanenti N-r) è Gaussiana vettore valori medi e matrice di covarianza condizionati

6. y x Densità di Probabilità (ddp) di due v.a. congiuntamente Gaussiane: Sistema di 2 v.a. congiuntamente Gaussiane

7. y y x x Influenza di valori medi e varianze Curve di livello:

8. y x y x Influenza del coefficiente di correlazione

9. Esempio di file.m: ddpgausscorr.m % Calcolo analitico della ddp congiunta di coppia di v.a. cong. Gaussianefunction ddp=ddpgausscorr(vx,vy,ex,ey,sx,sy,rho,graf) % IN: vettori dei valori di cui calcolare la ddp, vx,vy;% media della prima e seconda v.a. Gaussiana, ex, ey;% dev. standard della prima e seconda v.a. Gaussiana, sx, sy;% coefficiente di correlazione, rho;% flag grafico 3D/curve di livello (0,1), graf% OUT: matrice di valori della ddp congiunta;% uscita su video della ddp congiunta x=repmat(vx,size(vy,2),1); % prepara una matrice di valori di x per y costantiy=repmat(vy,size(vx,2),1);y=y'; % prepara una matrice di valori di y per x costanti fattnorm=1/(2*pi*sx*sy*sqrt(1-rho^2));fattesp=1/(2*(1-rho^2));formaquadr=(x-ex).^2/sx^2-2*rho*(x-ex).*(y-ey)/(sx*sy)+(y-ey).^2/sy^2;ddp=fattnorm*exp(-fattesp*formaquadr); % valuta la ddp if graf == 0mesh(x,y,ddp) % grafico 3Delsecontour(x,y,ddp) % curve di livellohold onplot([min(vx) max(vx)],[0 0],'g--')hold onplot([0 0],[min(vy) max(vy)],'g--')end

10. y x y ddp marginali e condizionate y y y

11. y y y retta di regressione x y ddp marginali e condizionate

12. Esempio di file.m: ddpcondgauss.m % Calcolo analitico della ddp condizionata Y|X per coppia di v.a. X,Y cong. Gaussianefunction ddpc=ddpcondgauss(x,vy,ex,ey,sx,sy,rho) % IN: valore della v.a. X a cui condizionare la v.a. Y, x;% vettore dei valori di Y di cui calcolare la d.d.p. cond., vy;% media della prima e seconda v.a. Gaussiana, ex, ey;% dev. standard della prima e seconda v.a. Gaussiana, sx, sy;% coefficiente di correlazione, rho; % OUT: vettore di valori della ddp cond.;% uscita su video della ddp cond. etaycond=ey+rho*sy/sx*(x-ex);sigmaycond=sy*sqrt(1-rho^2); % calcola media e dev. standard cond. ddpc=normpdf(vy,etaycond,sigmaycond); % calcola ddp cond. plot(vy,ddpc)hold onplot(0,0,'go')hold onplot(etaycond,0,'r*') % valor medio cond.

13. Generazione di V.A. cong. Gaussiane correlate ? desiderati Decomposizione di Cholesky matrice triangolare superiore oppure Decomposizione spettrale

14. Generazione di V.A. cong. Gaussiane correlate Vettore Gaussiano 2-D: N=2 Metodo per N=2: M coppie di campioni di v.a. X ed Y cong. Gaussiane:

15. Calcolo di “scatterplot” e coeff. di correlazione • - Generare M realizzazioni del vettore 2-D Z=[X Y], X ed Y v.a. cong. Gaussiane • Visualizzare lo “scatterplot” (diagramma di dispersione, rappresentazione cartesiana delle coppie di campioni)[istruzioni utili:load, plot, axis]- Calcolare le medie, le varianze ed il coefficiente di correlazione[istruzioni utili:mean, std] • Confrontare lo scatterplot con la ddp analitica determinata dai parametri calcolati elaborando N coppie di campioni • [Sugg.: utilizzare il programma ddpgausscorr.m]

16. Esempio di risultati scatterplot Valori dei parametri della ddp: media X = 2; media Y = 4; varianza X = 9; varianza Y = 4; coeff. di correlazione r = -0.5 y load coppie.matplot(x,y,'.')axis([-8 12 -4 12])hold onplot([-8 12],[0 0],'g--')plot([0 0],[-4 12],'g--') x

17. Esempio di risultati e file.m: calcrho.m % Misura empirica del coefficiente di correlazionefunction rho = calcrho(x,y) % IN: vettori di realizzazioni della coppia di v.a. (x,y) % OUT: coefficiente di correlazione rho etax=mean(x); % calcola le medie e deviazioni standardetay=mean(y);sigx=std(x,1);sigy=std(y,1); rho=mean((x-etax).*(y-etay))/(sigx*sigy); % calcola la covarianza % normalizzata Valori effettivi: media X = 2; media Y = 4; varianza X = 9; varianza Y = 4; coeff. di correlazione r = -0.5 » mean(x)1.9904» mean(y)3.9958» std(x)^29.1204» std(y)^24.0664» calcrho(x,y)-0.5192

18. Esempio di risultati hold onddpgausscorr([-8:.1:12],[-4:.1:12],mean(x),mean(y),std(x),std(y),calcrho(x,y),1); Scatterplot + Curve di livello y x

19. Esempio di risultati ddpgausscorr([-8:.1:12],[-4:.1:12],2,4,3,2,-0.5,1);hold onddpgausscorr([-8:.1:12],[-4:.1:12],mean(x),mean(y),std(x),std(y),calcrho(x,y),1); Confronto tra ddp effettivae la ddp analitica con i parametri misurati dai dati y x

20. Esempio di file.m: gengausscorr1.m % Generazione coppie di v.a. cong. Gaussiane correlate% metodo della decomposizione di Cholesky function [x,y] = gengausscorr1(n,etax,etay,sig2x,sig2y,rho) % IN: numero di realizzazioni, n;% media della prima e seconda v.a. Gaussiana, etax, etay;% varianza della prima e seconda v.a. Gaussiana, sig2x, sig2y;% coefficiente di correlazione, rho; % OUT: vettori di realizzazioni della prima e seconda v.a. Gaussiana, x,y; R=[sig2x sqrt(sig2x*sig2y)*rho; sqrt(sig2x*sig2y)*rho sig2y]; % matrice di covarianza Ch=chol(R); % determina la trasform. lineare 2x2 tramite decomposizione di Cholesky;A=Ch.'; w=randn(2,n); % genera n realizzazioni di un vettore di 2 v.a. Gaussiana standard indip.% organizzate in una matrice 2xn; c=A*w; % trasformazione lineare 2x2% applicata a tutte le realizzazioni; x=c(1,:)+etax; % impone le medie y=c(2,:)+etay;

21. Esempio di file.m: gengausscorr2.m % Generazione coppie di v.a. cong. Gaussiane correlate% metodo della decomposizione agli autovalori function [x,y] = gengausscorr2(n,etax,etay,sig2x,sig2y,rho) % IN: numero di realizzazioni, n;% media della prima e seconda v.a. Gaussiana, etax, etay;% varianza della prima e seconda v.a. Gaussiana, sig2x, sig2y;% coefficiente di correlazione, rho; % OUT: vettori di realizzazioni della prima e seconda v.a. Gaussiana, x,y; R=[sig2x sqrt(sig2x*sig2y)*rho; sqrt(sig2x*sig2y)*rho sig2y]; % matrice di covarianza [V,L]=eig(R); % determina le matrici degli autovettori e degli autovalori; A=V*L.^(1/2); % calcola la trasformazione lineare 2x2 w=randn(2,n); % genera n realizzazioni di un vettore di 2 v.a. Gaussiana standard indip.% organizzate in una matrice 2xn; c=A*w; % trasformazione lineare 2x2% applicata a tutte le realizzazioni; x=c(1,:)+etax; % impone le medie y=c(2,:)+etay;