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TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA. FUENTES DE CAMPO MAGNÉTICO. FUENTES DE CAMPO MAGNÉTICO. FUENTES DE CAMPO MAGNÉTICO Campo Magnético creado por una carga puntual en movimiento Corrientes eléctricas, Ley de Biot y Savart Ley de Gauss para el magnetismo Ley de Ampere. CARGA PUNTUAL EN MOVIMIENTO.

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TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

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Presentation Transcript

  1. TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA FUENTES DE CAMPO MAGNÉTICO

  2. FUENTES DE CAMPO MAGNÉTICO • FUENTES DE CAMPO MAGNÉTICO • Campo Magnético creado por una carga puntual en movimiento • Corrientes eléctricas, Ley de Biot y Savart • Ley de Gauss para el magnetismo • Ley de Ampere

  3. CARGA PUNTUAL EN MOVIMIENTO • Cuando una carga puntual q se mueve con velocidad vse produce un campo magnético B en el espacio

  4. CARGAS EN MOVIMIENTO • El campo magnético B en cualquier punto está dado por m0 qv x r B = 2 r 4p • Con m0 la constante de permeabilidad en el vacío -7 2 -7 m0 = 4p x 10 T m/A = 4p x 10 N/A

  5. Respuesta B = -3.24 x 10 T k CARGAS EN MOVIMIENTO • Ejercicio Una carga puntual q = 4.5 nC se mueve con velocidad v = 3.6 x 10 m/s i paralelamente al eje X a lo largo de la recta y = 3m. Determinar el campo magnético producido en el origen por esta carga cuando se encuentra en el punto x = -4m, y = 3m. 3

  6. LEY DE BIOT Y SAVART http://video.google.com/videoplay?docid=-3614547206167077169#

  7. LEY DE BIOT Y SAVART • Cuando se tiene un conjunto de cargas (corriente) a través de un elemento conductor, se genera también un campo magnético B

  8. LEY DE BIOT Y SAVART • En este caso B depende del elemento de corriente I dl m0 Idl x r dB = 2 r 4p m0 Idl x r B = 2 r 4p

  9. LEY DE BIOT Y SAVART • En función de la densidad de campo magnético, H, se escribe Idl x r dH= 2 4pr • De donde B = m0H

  10. LEY DE BIOT Y SAVART • B debido a la corriente en una espira de radio R. Y m0 Idl x r dB = 2 r 4p r |dl x r |= dl |r| sen q R Conr = 1 y q = 90° y sen 90°= 1 X |dl x r | = dl

  11. LEY DE BIOT Y SAVART • Así: m0 Idl dB = 2 4p R m0 I B = dB = dl 2 4p R Evaluando la integral en coordenadas polares resulta: 2p dl = R dq = 2pR 0

  12. LEY DE BIOT Y SAVART • De donde: m0 m0I I2pR B = = 2 4p 2R R

  13. LEY DE BIOT Y SAVART • Ejercicio Hallar la corriente en una espira circular de 8 cm de radio que pueda crear un campo magnético de 2G en el centro de la espira. • Respuesta I = 25.5 A.

  14. 2 x + R 2 LEY DE BIOT Y SAVART • Para un punto P fuera de la espira m0 m0 I|dl x r| Idl |dB| = = 2 r 4p 4p Las componentes en el eje Y se cancelaran para cada par de puntos opuestos en el circulo, así: By = 0

  15. 2 2 2 2 [x + R ] [x + R ] x + R x + R 2 2 2 2 LEY DE BIOT Y SAVART • Colocando el punto en el eje X (la espira en YZ) m0 m0 I|dl x r| Idl |dB| = = 2 r 4p 4p 2 2 2 r = x + R Con , dl y r perpendiculares y R R sen q = = r 1/2 m0 Idl R dBx = dB sen q = 1/2 4p

  16. 2 2 2 2 [x + R ] [x + R ] [x + R ] [x + R ] 2 2 2 2 LEY DE BIOT Y SAVART • Así, el campo resultante será: m0 RIdl m0 RI Bx = dBx = = dl 3/2 3/2 4p 4p Con: 2p dl = R dq = 2pR 0 • Se tiene: 2 m0 RI m0 R I Bx = 2pR = 3/2 3/2 4p 2

  17. 2 [x + R ] 2 LEY DE BIOT Y SAVART • En función del momento magnético m de la espira 2 m = IpR m0 2m Bx = 3/2 4p • A una distancia muy grande de la espira x>>R la expresión se reduce a: m0 2m Bx = | x | 3 4p

  18. LEY DE BIOT Y SAVART • Ejercicio Una bobina circular de radio 5.0 cm tiene 12 vueltas y se encuentra en el plano YZ. Por ella circula una corriente de 4 A en un sentido tal que el momento magnético de la espira está dirigido a lo largo del eje X. Determinar el campo magnético sobre el eje X en (a) x = 0, (b) x = 15 cm y (c) x = 3 m. • Respuesta I = 25.5 A.

  19. Respuesta: a) m0NI -4 Bx = = 6.03 x 10 T 2R 2 m0 R NI -5 Bx = = 1.91 x 10 T b) 2 [x + R ] 2 3/2 2 m0 2Nm -9 Bx = = 2.8 x 10 T c) | x | 3 4p LEY DE BIOT Y SAVART

  20. LEY DE BIOT Y SAVART • Ejercicio Una pequeña barra magnética de momento magnético m = 0.03 A m se sitúa en el centro de la bobina del ejercicio anterior modo que su momento magnético se encuentra en el plano XY y forma un ángulo de 30° con el eje X. Despreciando cualquier variación de B en la región ocupada por el imán calcular la torca ejercida sobre el imán. 2 • Respuesta t = - 9.04 x 10 Nm k. -6

  21. LEY DE BIOT Y SAVART • B debido a la corriente en un solenoide

  22. LEY DE BIOT Y SAVART • Considérese un solenoide de longitud L formado por N vueltas de cable conductor que transporta una corriente de intensidad I. Colocando el eje del solenoide en X Y x0 x1 x dx X

  23. LEY DE BIOT Y SAVART • Tomando el número de vueltas por unidad de longitud como el elemento diferencial de corriente será: n = N/L di = nIdx Y x0 x1 L x x dx X

  24. 2 2 [x + R ] [x + R ] 2 2 LEY DE BIOT Y SAVART • El campo magnético en un punto sobre el eje X por una espira colocada en el origen será: m0 2 2pR nIdx dBx = 3/2 4p • Para el solenoide completo x1 m0 dx 2 Bx = 2pR nI 3/2 4p x0

  25. 2 2 2 R [x + R ] LEY DE BIOT Y SAVART • Así x1 m0 x 2 Bx = 2pR nI 1/2 4p x0 x1 x0 1 Bx = m0nI[ + ] 2 2 2 2 1/2 1/2 [x1 + R ] [x0 + R ] 2 • Si L>>R Bx = m0nI • Para un solenoide largo con n vueltas

  26. LEY DE BIOT Y SAVART • Ejercicio Determinar el campo magnético en el centro de un solenoide de longitud 20 cm, radio 1.4 cm y 600 vueltas, por el que circula una corriente de intensidad 4 A. • Respuesta B = 1.5 x 10 T -2

  27. LEY DE BIOT Y SAVART • B debido a la corriente en un conductor rectilíneo

  28. LEY DE BIOT Y SAVART • B debido a la corriente en un conductor rectilíneo m0 Idx dB = sen f 2 r 4p m0 Idx dB = cos q 2 r 4p

  29. LEY DE BIOT Y SAVART De la figura x = y tanqy secq = r/y r 2 2 dx = y sec q dq = y dq 2 y r 2 dx = dq y

  30. LEY DE BIOT Y SAVART Así, para un segmento del conductor, con y = R : m0 2 m0 r dq I I dB = cos q = cos q dq r R 4p 2 R 4p q1 m0 I B = cos q dq R 4p q0 m0 I B = (sen q1 -sen q0) R 4p

  31. LEY DE BIOT Y SAVART Así, para el conductor completo, con q0= -90° y q1= + 90° : m0 2I B = R 4p

  32. LEY DE BIOT Y SAVART • Ejercicio Determinar el campo magnético en el centro de una espira de corriente cuadrada de lado L = 50cm por la cual circula una corriente de intensidad 1.5 A • Solución Para cada lado de la espira m0 2I BL = (sen q1 -sen q0) R 4p m0 I BL = (sen 45°- sen (-45°)) L/2 4p

  33. LEY DE BIOT Y SAVART Y, para la espira completa: -6 B = 4BL = 4BL = 3.39 x 10 T

  34. LEY DE BIOT Y SAVART • F entre dos conductores paralelos

  35. LEY DE BIOT Y SAVART • F entre dos conductores paralelos

  36. LEY DE BIOT Y SAVART • El módulo de la fuerza magnética sobre el segmento I2dl2 es dF2 = |Idl2 x B1| dF2 = I2dl2 B1 • Si la distancia de separación entre los conductores a, es mucho menor que la longitud l, el campo es igual que el generado por un conductor infinitamente largo m0I1 dF2 = I2dl2 2p R

  37. LEY DE BIOT Y SAVART • La fuerza por unidad de longitud es m0I1 dF2 m0 I1 I2 = I2 = 2 2p a dl2 4p a m0 LI1 I2 F2= 2p a

  38. LEY DE BIOT Y SAVART • Ejercicio Dos barras rectilíneas de 50 cm y separadas 1.5 mm en una balanza de corriente transportan corrientes de 1.5 A de intensidad en direcciones opuestas. ¿Qué masa debe situarse en la barra superior para equilibrar la fuerza magnética de repulsión? • Respuesta m = 1.53 x 10 g -3

  39. LEY DE GAUSS PARA EL MAGNETISMO • Flujo de campo magnético a través de una superficie gaussiana

  40. LEY DE GAUSS PARA EL MAGNETISMO • El flujo magnético a través de una superficie cerrada es Fm = BndA = 0 S

  41. LEY DE AMPERE • El campo magnético B en un contorno cerrado C es proporcional a la corriente que atraviesa la superficie S limitada por C C S B

  42. LEY DE AMPERE Bdl = m0IC C C S B

  43. LEY DE AMPERE • Para un alambre largo y recto C S

  44. LEY DE AMPERE Bdl = B dl = B 2pR C C C S

  45. LEY DE AMPERE • Para un alambre largo y recto B2pR = m0IC De donde m0I1 B = 2p R

  46. LEY DE AMPERE • Para un solenoide Bdl = Bdl = Bdl = Bdl = Bdl C C1 C2 C3 C4 BL = m0nLI B= m0nI

  47. LEY DE AMPERE • Para un Toroide • http://www.youtube.com/watch?v=jdsUQs9w0uw

  48. LEY DE AMPERE • B debido a la corriente en un toroide

  49. LEY DE AMPERE Un toroide puede considerarse como un solenoide que se dobla formando una dona. Las líneas del campo magnético forman círculos concéntricos dentro del toroide Bdl = B2pr = m0IC C

  50. LEY DE AMPERE Si a y b son los radios interior y exterior del toroide, la corriente total a través de la superficie limitada por un círculo de radio r entre a y b será NI B2pr = m0NI m0NI B = 2p r

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