Qu'est-ce qu'une échelle ?

1. Qu'est-ce qu'une échelle ? Pour représenter la réalité sur une feuille de papier, il faut la dessiner. Pour ne pas la déformer, le dessin (ou plan) doit être exact. C'est pourquoi, les dimensions du dessin d'un objet doivent être proportionnellesaux dimensions réelles de cet objet. Longueur Largeur Dimension réelle (en cm) 1940 560 Dimension sur le dessin (en cm) 9,7 2,8 560 cm 1940 cm échelle I - Définition d'une échelle Voici le plan d'un appartement On peut établir un tableau de proportionnalité : Attention : Les dimensions sur le dessin et dans la réalité doivent être exprimées dans la même unité.

2. Calcul du coefficient de proportionnalité : 9,7 2,8 == 0,005 1940 560 Ce coefficient de proportionnalité est appelé échelle. Il permet d'obtenir une dimension sur le dessin à partir d'une dimension réelle. On peut retenir : Dimension sur le dessin Echelle = Dimension réelle

3. 1 Echelle = 100 000 Cela signifie que 1 cm sur la carte représente 100 000 cm dans la réalité, soit 1 km. 1 Echelle = 50 000 Cela signifie que 1 cm sur la carte représente 50 000 cm dans la réalité, soit 500 m. II – Exemple : les plans et cartes Dans la plupart des cas, les échelles sont données sous forme de fraction dont le numérateur vaut 1. Voici trois exemples de cartes routières représentant une même zone géographique :

4. 1 Echelle = 25 000 Cela signifie que 1 cm sur la carte représente 25 000 cm dans la réalité, soit 250 m. Si on compare les trois cartes, on constate que les détails sont plus grands et donc le dessin plus lisible avec une échelle dont le dénominateur est plus petit.

5. Agrandissement et réduction Dimension sur le dessin Echelle = Dimension réelle Dimension sur le dessin Echelle = Dimension réelle 4,5 = 1,8 6 = 3000 La vis dessinée ci-dessous mesure en réalité 1,8 cm de long. Sur le dessin, elle mesure 4,5 cm. L'éolienne dessinée ci-dessous mesure en réalité 30 m de haut, soit 3 000 cm. Sur le dessin, elle mesure 6 cm.

6. On peut écrire cette échelle : - sous forme décimale 4,5 = 2,5 1,8 a - sous forme d'une fraction où b a et b sont des entiers. 4,5 4,5 x 10 45 5 = = = 1,8 1,8 x 10 18 2 On peut écrire cette échelle : - sous forme décimale 6 = 0,002 3000 a - sous forme d'une fraction où b a et b sont des entiers. 6 1 = 3000 500 Dans le cas de la vis, le dessin est plus grand que la réalité et l'échelle est supérieure à 1. On a réalisé un agrandissement. Dans le cas de la maison, le dessin est plus petit que la réalité et l'échelle est inférieure à 1. On a réalisé une réduction.

7. Utilisation d'une échelle Dimension réelle (en cm) Dimension sur le dessin (en cm) échelle I - Calcul d'une dimension sur le dessin D'après le tableau de proportionnalité, on peut établir la relation : Dimension sur le dessin = dimension réelle x échelle d = D x e Exemple On veut dessiner à l'échelle 1/4 , un rectangle dont les dimensions réelles sont : 20 cm de longueur et 8 cm de largeur. Calcul de la longueur sur le dessin : L = 20  = 5 Calcul de la largeur sur le dessin : l = 8 = 2 On obtient la figure ci-dessous :

8. II - Calcul d'une dimension réelle a) 1er cas : l'échelle est donnée sous forme décimale On utilise le tableau de proportionnalité: échelle Dimension réelle (en cm) Dimension sur le dessin (en cm) échelle On peut établir la relation : Dimension sur le dessin Dimension réelle = Echelle D = Le personnage ci-contre est représenté à l'échelle 0,02 par un dessin de 3,4 cm de hauteur. On cherche sa taille réelle.   D = = 170 On peut dire que le personnage mesure 170 cm, soit 1,70 m Exemple :

9. a) 2nd cas : l'échelle est donnée sous forme de fraction Un terrain de football représenté à l'échelle est un rectangle de 23,1 cm de longueur sur 13,6 cm de largeur. On cherche sa longueur réelle. Une échelle signifie que 1 cm sur le dessin représente 500 cm dans la réalité. On peut établir un tableau de proportionnalité : Dimension sur le dessin 1 23,1 13,6 Dimension réelle 500 L ? l ? Calcul de la longueur On peut écrire : Calcul de la largeur On peut écrire : 1L = 50023,1 L = 11 550 La longueur réelle du terrain mesure 11 550 cm, soit 115,5 m. 1l = 50013,6 L = 6 800 La longueur réelle du terrain mesure 6 800 cm, soit 68 m.