UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica

1. UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica Disciplina: Mecânica dos Materiais 1 – 5º Período Professor: Dr. Damiano da Silva Militão.

2. OBJETIVOS: • Revisar alguns princípios importantes da estática e usar para determinar os esforços internos resultantes em um corpo. • Introduzir os conceitos de tensão normal e tensão de cisalhamento e discutir aplicações específicas da análise e do projeto de elementos submetidos a carga axial ou cisalhamento. Tema de aula 1: Tensão SEQUÊNCIA DE ABORDAGENS: • 1.1 Introdução • 1.2 Equilíbrio • 1.3 Tensão • 1.4 Tensão Normal Média em uma Barra com Carga Axial • 1.5 Tensão de Cisalhamento Média • 1.6 Tensão Admissível “Não é conhecer muito, mas o que é útil, que torna um homem sábio.” THOMAS FULLER, M.D.

3. 1.1-Introdução. A resistência dos materiais: estuda as relações entre cargas externas aplicadas a um corpo deformável e forças internas que atuam dentro do corpo. Abrange o cálculo da deformação do corpo e o estudo da sua estabilidade, quando submetido a forças externas. É necessário primeiro usar estática para determina as forças que atuam tanto sobre como no interior de seus vários membros. As dimensões dos elementos, sua deflexão e sua estabilidade dependem não só das cargas como também do tipo de material. Assim, a determinação precisa e a compreensão do comportamento do material são de vital importância para o desenvolvimento das equações usadas na resistência dos materiais.

4. 1.2 - Equilíbrio. Forças Externas: Classificadas como força de superfície ou de corpo; Forças de Superfície são causadas pelo contato direto de um corpo com a superfície e distribuídas pela área de contato entre os corpos. Se área for pequena é força concentrada em um ponto do corpo. Se aplicada ao longo de uma área estreita é carga linear distribuída, w(s) (N/m), representada por setas ao longo da reta s, A força resultante de w(s), FR, equivale à área sob a curva de distribuição da carga, e sua resultante atua no centróide C ou centro geométrico dessa área. Força de Corpo. Desenvolve-se sem contato físico direto entre eles. No caso da gravidade, essa força é chamada peso e atua no centro de gravidade desse corpo.

5. Reações do Apoio. São forças de superfície nos pontos de contato entre corpos submetidos a sistemas de forças coplanares. Determinar reação do apoio imaginando que se o apoio impede a translação em dada direção, então deve ser desenvolvida uma força naquela direção; se a rotação for impedida, deve ser aplicado um conjugado sobre o elemento.

6. Equações de Equilíbrio. O equilíbrio de forças, evita translação ou movimento acelerado. O equilíbrio de momentos, evita a rotação do corpo. Num sistema de coordenadas x, y, z com origem no ponto O as equações podem ser decompostos em componentes: A melhor maneira de considerar essas forças e conjugados para aplicar as equações é desenhar o diagrama de corpo livre.

7. Força interna resultante: Determina força resultante e o momento que atuam no interior do corpo, para manter o corpo unido quando submetido a cargas externas. Exemplo; Consideremos o corpo mostrado mantido em equilíbrio por quatro forças externas. Para determinar as cargas internas; fazer uma seção ou 'corte' através da região em que as cargas internas devem ser determinadas (método das seções) Obter a força resultante FRe o momento resultante Mrono Centróide O da área e relacioná-las às forças externas. O diagrama de corpo livre de uma das partes é desenhado. As forças internas representam os efeitos do material da parte superior atuando sobre a parte inferior.

8. As componentes de FRe Mro na direção normal ou perpendicular à área definem; Força Normal, N, perpendicular à área se as forças externas tendem a empurrar ou puxar as duas partes secionadas do corpo. Força de Cisalhamento, V, quando as cargas externas tendem a provocar o deslizamento das duas partes secionadas do corpo. Momento de Torção ou Torque, T, quando as cargas externas tendem a torcer uma parte do corpo secionado em relação à outra (regra da mão direita). Momento Fletor, M, quando as cargas externas tendem a fletir o corpo no plano da área secionada. Para Cargas Coplanares, existirão na seção apenas força normal, de cisalhamento e momento fletor. Uma solução direta para N é obtida aplicando-se Fx = 0, e para V aplicando-se Fy= 0. Finalmente o momento fletorM0é determinado diretamente pela soma dos momentos em torno do ponto O (eixo do z), Mo = 0, vejamos exemplos;

9. Exemplo 1:

10. Vamos treinar: 1-A viga suporta a carga distribuída mostrada. Determinar a carga interna resultante nas seções transversais que passam pelos pontos D e E. Assumir que as reações nos apoios A e B sejam verticais.

11. Exemplo 2:

12. Vamos treinar: 2-A prensa manual de metal está submetida a uma força de 120 N na extremidade. Determine a intensidade da força de reação no pino A e no elo BC. Determinar também a resultante das cargas internas que atuam na seção transversal que passa pelo ponto D do cabo.

13. 1.3-Tensão. Para estabelecer o conceito de tensão, considere que a seção da área seja subdividida em áreas pequenas ΔA; supondo que o material é contínuo, (sem vazios), e coeso, (bem unido e sem trincas), a força finita (ΔF), atuante sobre ΔA, tem três componentes; ΔFz, normal , ΔFx e ΔFy tangentes à área, que geram as seguintes tensões nesta área: Tensão Normal, se ΔFz'empurra' o elemento é denominada tensão de compressão, se 'puxa‘ é chamada tensão de tração. Tensão de Cisalhamento, que atuam tangentes à ΔA. Onde z indica a orientação da área, enquanto x e y referem-se às retas de direção das tensões de cisalhamento. Unidades. No SI, (N/m2= pascal (Pa). No sistema norte-americano, (ou sistema Pés-Libras-Segundo) expressamos a tensão em libras por polegada quadrada (psi) ou quilolibra por polegada quadrada (ksi). Estado Geral da Tensão. Representado ao ‘cortar' um elemento cúbico do volume do material. Em cada face atuam as 3 componentes do estado geral da tensão.

14. 1.4-Tensãonormal média em uma barra com carga axial. Caso todas as áreas da seção transversal da barra sejam iguais, a barra será denominada prismática. Desprezando o peso da barra, para o equilíbrio do segmento inferior, a resultante da força interna que atua na seção transversal deverá ser igualem intensidade, opostaem sentido à força na extremidade inferior . Supomos: 1-considerar tensão no interior da seção média da barra onde a deformação é uniforme (longe das forças externas das extremidades que causam distorções). 2- P aplicada ao longo do eixo centróide para uniformizar deformação. 3- material homogéneo e isotrópico. Tensão Normal Média. Com as considerações acima, cada área ΔAestá sujeita a uma força ΔF = σ Δ A, e o somatório resulta naforça interna resultante P no centróide da seção; Nota: P passar pelo centróide implica tensão uniforme e produzirá momentos nulos em torno de quaisquer eixos x e y que passem por esse ponto: Igualdades satisfeitas porque no centróide;

15. Interpretação gráfica: P é equivalente ao volume sob o diagrama de tensão. Aresultante passa pelo centróide do volume considerado. OBS: As hipóteses podem ser usadas para barras levemente cónicas. Por exemplo, em barra cónica de seção transversal retangular, com ângulo de 15° entre dois lados adjacentes, a tensão normal média calculada é 2,2% menor. Tensão Normal Média Máxima. Ocasionalmente, a barra pode ser submetida a várias cargas externas ao longo de seu eixo, ou pode ocorrer uma mudança na área de sua seção transversal. Resultado: tensão normal no interior será diferente de uma seção para a outra. É importante determinar o local em que a relação P/A chega ao máximo, para tal, havendo mudança de área, mostrar por meio do gráfico da força normal P contra posição x ao longo da barra. EXEMPLO: A barra tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm. Determinar a tensão normal média máxima da barra quando submetida ao carregamento mostrado.

16. Sol: força axial interna na região AB: força axial interna na região BC: força axial interna na região CD: Diagrama: Como a área da seção transversal da barra é constante, a maior tensão normal média ocorre em BC; Graficamente, o volume (ou 'bloco') dessa distribuição de tensão equivale à carga de 30 kN; isto é, 30 k N = (87,5 MPa)(35 mm)(10 mm).

17. Fazer: O mancal de encosto está submetido às cargas mostradas. Determinar a tensão normal média desenvolvida nas seções transversais que passam pelos pontos B,C e D. Fazer o desenho esquemático dos resultados para um elemento de volume infinitesimal localizado em cada seção.

18. Exemplo: O pedestal tem seção transversal triangular como mostrado. Supondo que esteja submetido a uma força de compressão de 500 lb, especificar as coordenadas de localização do ponto P (x, y), em que a carga deve ser aplicada na seção transversal, de modo que a tensão normal média seja uniforme. Calcular a tensão e desenhar sua distribuição atuando em uma seção transversal fora do ponto de aplicação da carga. Solução: Para obter as coordenadas e do centróide devemos nos lembrar que em triângulos ele se encontra à x= 1/3 da altura relativa a base, então podemos dividir em dois triângulos e obter as coordenadas x e y do centróide por somatórrio; Sendo a tensão média uniforme, podemos calcular por; A distribuição em uma seção qualquer será:

19. Fazer: O bloco pequeno tem espessura de 5 mm.Supondo que a distribuição de tensão desenvolvida pela carga no apoio varie como mostrado, determinar a força F aplicada ao bloco e a distância d até o ponto em que ela se aplica.

20. 1.5-Tensão de cisalhamento média. Ao lado F=2v, logo a tensão de cisalhamento média sobre cada uma das duas seções será ; Ela é a uniforme em cada ponto da seção; Geralmente ocorrem dois tipos de cisalhamento: Cisalhamento simples: Cisalhamento duplo:

21. Para estar em equilíbriode forças (em z e y), e momentos, um elemento removido da superfície onde atue a tensão de cisalhamento média; requer asquatro tensões de cisalhamento com intensidades iguais e sentido contrário nas bordas opostas. (propriedade complementar do cisalhamento) Exemplo: A embreagem de dentes é usada para transmitir um torque de 450 lb • pés em uma única direção. Supondo que cada eixo tenha apenas dois dentes em torno da circunferência, como mostrado, determinar a tensão de cisalhamento média ao longo da raiz AB de cada dente. Sol: Façamos o DCL com os momentos e Forças na seção; Passando tudo para polegada (1ft=12in), o equilíbrio de momentos dará F: Como a área é 1/6 da área do anel; A tensão média de cisalhamento será

22. 1.6-Tensão Admissível O fator de segurança (F.S.) é a relação entre a carga de ruptura Frupe a carga admissível Fadm. Se a carga aplicada ao elemento for relacionada linearmente à tensão, como σ= P/A e τ= V/A, então; O F.S. é maior que 1. 1.7-Projeto de Acoplamentos Simples Seja um elemento sujeito a uma força normal; a área requerida da seção será: Seja um elemento sujeito a uma força cortante; a área requerida da seção será: Área da Seção Transversal de um Elemento de Tração Vejamos 4 tipos comuns: Área da Seção Transversal de um Acoplamento Submetido a Cisalhamento. Área Requerida para Resistir ao Apoio Área Requerida para Resistir ao Cisalhamento Provocado por Carga Axial

23. Exemplo: A estrutura está submetida a uma carga de 1,5 kip. Determinar o diâmetro necessário dos pinos em A e B se a tensão de cisalhamento admissível para o material for 6 ksi. O pino A está submetido a cisalhamento duplo, enquanto o pino B está submetido a cisalhamento simples. Sol: Precisamos dos esforços em B e A; Usando DCL no braço DC: Façamos DCL da estrutura: Pelas Eq. Equil. obtemos os esforços em A e D: Vamos finalmente obter os diâmetros em A e B:

24. Fazer: O mancal de encosto consiste de um colar circular A preso ao eixo B. Determinar a força axial máxima P que pode ser aplicada ao eixo de modo que não provoque tensão de cisalhamento admissível de 170 MPa ao longo das superfícies cilíndricas a ou b.

25. MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO! • Bibliografia: • R. C. Hibbeler – Resistência dos materiais – 5º Edição.