实验三函数极限、导数与积分的计算实验目的：学习并掌握 Mathematica 中函数极限、导数、积分的计算方法，辅助相关课程的学习。预备知识：

实验三 函数极限、导数与积分的计算实验目的：学习并掌握Mathematica中函数极限、导数、积分的计算方法，辅助相关课程的学习。预备知识：一、高等数学中极限、导数、微分、积分基本概念及相关知识二、Mathematica中计算极限、导数、积分的相关命令

边学边做： （一）求下列极限：（二）导数计算（1）求函数的一阶导数（2）求函数的三阶导数（3）求函数的一阶、二阶偏导数（4）求函数在处的导数值

（5）求函数在处的二阶导数值 （6）求隐函数所确定的函数的导数（7）求参数方程所确定的函数的导数（三）求下列积分 (四）计算二重积分，其中D是由所围成的区域。

(五)应用举例 1．连续复利：有一笔贷款A0=1000元（称本金）以年利率r=0.1贷出，若以一年为一期计算利息，1年末的本利和为A1=A0（1+r），2年末本利和为A2=A1（1+r）=A0(1+r)2，…t年末本利和为At= A0(1+r)t。若一年不是一期，而是一年计息n期，且以为每期利息来计算，则t年末本利和为At= A0(1+)nt，请给出1元贷款在10年后的本利和 2．计算人造卫星轨道的长度：1970年4月24日，我国发射了第一颗人造卫星，这颗卫星的近地点距离地球表面439km，远地点距离地球表面2384km，若取地球的半径为6371km，请计算人造地球卫星的轨道长度

学生实验： 一、基础部分 1．求下列函数极限（1）（2）（3） 2．求下列积分（1）（2）（3）（4）求的数值解（5）计算由所围

3．完成导数计算 （1）求的导函数及其（2）求函数的导数与微分（3）设，求（4）求由参数方程所确定的函数的导数

二、应用部分 （一）已知物体作直线运动，运动方程为，求物体运动的速度和加速度。（二）已知单摆的运动周期为，若摆长由２０cm增加到20.1cm，问周期大约变化多大。（三）将一物体垂直上抛，其运动方，试求：１）物体从t=1秒到t=2秒的平均速度；２）物体从t=1秒到t=1+△t秒的平均速度２）物体在t=1时的瞬时速度；３）物体从t秒到t+△t秒的平均速度；４）物体在任意t秒时的瞬时速度。

(四)求由曲线y=x2与直线y=2x+1所围平面图形的 面积. (五)抛物线y2=2x把圆x2+y2=8分成两部分,求这两部分的面积之比. (六)证明:把质量为m的物体从地球表面升高到h处所做的功是 ,其中K是引力常数,M是地球的质量,R是地球的半径. (七)试计算某建筑物屋盖的拱长,已知这个屋盖是跨度为18m,矢高为3.6m的抛物线拱. (八)求抛物线y=x2与直线x-y-2=0之间的最短距离.

实验三内容详解：一、利用Limit函数求极限1．命令格式Limit[f(x),x->a,选择项]求左极限，加选择项“Direction->1”求右极限，加选择项“Direction->-1”格式中的a既可以是某一个常数，也可以是无穷大Infinity实验三内容详解：一、利用Limit函数求极限1．命令格式Limit[f(x),x->a,选择项]求左极限，加选择项“Direction->1”求右极限，加选择项“Direction->-1”格式中的a既可以是某一个常数，也可以是无穷大Infinity

2．边学边做 求下列极限： (1) ；(2) ；(3) (4) ；(5) ；(6) (1)Clear[x] Limit[Sin[x]/x,x->0] (2)Clear[x] Limit[(Exp[x]-Exp[-x])/Sin[x],x->0] (3)Clear[x] Limit[E^(-1/x),x->0, Direction->-1] (5)Clear[x] Limit[(1+(1/x))^x,x->Infinity] (6) f[x_]:=(1+(2/x))^(x+2) Limit[f[x], x->Infinity] • (4)Clear[x] • Limit[E^(-1/x),x->0, Direction->1]

解(1) Clear[x] Limit[Sin[x]/x,x->0] (2) Limit[(Exp[x]-Exp[-x])/Sin[x],x->0] (3) Limit[E^(-1/x),x->0, Direction->-1] (4) Limit[E^(-1/x),x->0, Direction->1] (5) Limit[(1+(1/x))^x,x->Infinity] (6) f[x_]:=(1+(2/x))^(x+2) Limit[f[x], x->Infinity]

二、利用D函数求导数，微分1．命令汇总 特别强调：若用自定义函数写出求导函数时，求导时亦可采用数学中的通用记号来表示导数。

2．边学边做 （1）D[Sin[2^x],x]即求函数的一阶导数（2）D[Exp[x]*Sin[x],{x,3}] 即求函数的三阶导数（3）求函数的一阶、二阶偏导数解 f[x_,y_]:=x^2*y^3; Z1=D[f[x,y],{x,1}] Z2=D[f[x,y],{y,1}] Z11=D[f[x,y],{x,2}] Z12=D[f[x,y],{x,1},{y,1}] Z21=D[f[x,y],{y,1},{x,1}] Z22=D[f[x,y],{y,2}]

(4)H=D[x3-2x+1,x];H/.x->1 即求函数在x=1处的导数值 (5)f[x_]:=Sin[x^2] N[f″[Pi]]求函数在处的二阶导数值 (6)求隐函数所确定的函数的导数 DFxy[f_,x_,y_]:=Solve[D[f,x]==0,y’[x]] DFxy[x^2+(y[x])^2-1,x,y] (7)求参数方程所确定的函数的导数 Dxyt[y_,x_,t_]:=D[y,t]/D[x,t] Dxyt[a*Cos[t],b*Sin[t],t]

三、利用Integrate函数求不定积分及定积分1．命令汇总

2．边学边做(1)f1=(x+1)/(x^2+3*x+5) f2=Integrate[f1,x] (2)Integrate[x^5,{x,1,2}](3)f3=Integrate[x*Sin[x],{x,0,1}] 输出-cos[1]+sin[1]，此为精确值C=N[f3] 输出结果为0.301169，此为近似值(4)NIntegrate[Sin[x]/x,{x,0,1}]

(5)Integrate[Exp[-x],{x,0,+Infinity}] (6)计算二重积分 ,其中D是由所围成的区域。解一：Integrate[y/x,{x,2,4},{y,x,2x}] 解二：Integrate[y/x,{y,x,2x}] Integrate[%,{x,2,4}]

四、应用举例 1．连续复利：有一笔贷款A0=1000元（称本金）以年利率r=0.1贷出，若以一年为一期计算利息，1年末的本利和为A1=A0（1+r），2年末本利和为A2=A1（1+r）=A0(1+r)2，…t年末本利和为At= A0(1+r)t。若一年不是一期，而是一年计息n期，且以为每期利息来计算，则t年末本利和为At= A0(1+)nt，下面给出1元贷款在10年后的本利和若每年结算一次（n=1） A0=1；r=0. 1；t=10; A[n_,t_,r_]:=A0*(1+r/n)^(n*t) A[1,t,r] \输出结果为2.59374

每月结算一次（n=12） A[12,t,r] \输出结果为2.70704 每天结算一次（n=365） A[365,t,r] \输出结果为2.71791 每小时结算一次（n=365*24） A[365*24,t,r] \输出结果为2.71827 每秒结算一次（n=365*24*3600） A[365*24*3600,t,r] \输出结果为2.71828 由计算结果可知，1元贷款10年后本利和越来越接近e，事实上Limt[(1+0.1/n)^(10n),n->Infinity]=e

2．计算人造卫星轨道的长度：1970年4月24日，我国发射了第一颗人造卫星，这颗卫星的近地点距离地球表面439km，远地点距离地球表面2384km，若取地球的半径为6371km，请计算人造地球卫星的轨道长度2．计算人造卫星轨道的长度：1970年4月24日，我国发射了第一颗人造卫星，这颗卫星的近地点距离地球表面439km，远地点距离地球表面2384km，若取地球的半径为6371km，请计算人造地球卫星的轨道长度解人造地球卫星的轨道可视为平面上的椭圆，其参数方程为x=acost，y=bsint，（0≤t≤2π），a，b分别是长，短半轴。由计算参数方程的弧长公式，椭圆长度可表为定积分，该积分称为椭圆积分，它无法用解析方法计算下面用NIntegrate计算 a=6371+2384，b=6371+439; f[x_]:=a^2*Sin[t]^2+b^2*Cos[t]^2; lenth=4NIntegrate[f[t],{t,0,Pi/2}] \ km

实验三函数极限、导数与积分的计算实验目的：学习并掌握 Mathematica 中函数极限、导数、积分的计算方法，辅助相关课程的学习。预备知识：