1 / 46

Matricų teorija

Matricų teorija. 201 3 -09- 04. Matricų teorija. Matricos ir vektoriaus sąvok os Veiksmai su matricomis Dauginės regresijos įverčių skaičiavimas pasitelkiant matricas. mxn matavimų stačiakampe matrica, vadiname aibę skaičių, sudėliotų stačiakampe forma, turinčia m eilučių ir n stulpelių.

mandel
Download Presentation

Matricų teorija

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Matricųteorija 2013-09-04

  2. Matricųteorija • Matricosirvektoriaussąvokos • Veiksmai su matricomis • Dauginės regresijos įverčių skaičiavimas pasitelkiant matricas

  3. mxn matavimų stačiakampe matrica, vadiname aibę skaičių, sudėliotų stačiakampe forma, turinčia m eilučių ir n stulpelių a11 a12 a13 ... a1n A= a21 a22 a23 ... a2n ... … … … … am1 am2 am3 ... amn 1xn matavimų matrica vadinama vektoriumi- eilutemx1matavimų matrica vadinama vektoriumi- stulpeliu Vektorius žymime mažąja raide pvz. a

  4. Matricų rūšys • Nulinė • Kvadratinė • Diagonalinė • Skaliarinė • Vienetinė • Simetriška • Sub-matrica

  5. Kvadratinę nxn matavimų matricą, kurios pagrindinės įstrižainės elementai yra lygūs 1, o visi likę elementai yra lygūs 0 vadiname vienetine matrica ir žymine raide I Vienetinė matrica 1 0 0 ... 0 I = 0 1 0 ... 0 ... 0 0 0 ... 1

  6. Veiksmai su matricomis • Sudėtis • Atimtis • Daugyba • Dalyba • Diferencijavimas

  7. Matricų sumamxnmatavimųdviejųmatricų A ir B sumaA+Byralygimxnmatavimųmatricai C, kurioselementaicijyralygūs A ir B matricųatitinkamųelementųsumaiaij + bij. a11 a12 a13 ... a1n A= a21 a22 a23… a2n ... am1 am2 am3... amn b11 b12 b13 ...b1n B= b21 b22 b23 … b2n ... bm1 bm2 bm3 ...bmn

  8. mxn C=A+B, kur kiekvienam i,j cij = aij + bij. c11 c12 c13 c1n C= c21 c22 c23 c2n = cm1 cm2 cm3 cmn a11+b11 a12+b12 a13+b13 …a1n+b1n a21+b21 a22+b22 a23+b23 … a2n+b2n am1+bm1 am2+bm2 am3+bm3 … amn+bmn

  9. Matricų atimtis mxnmatavimųdviejųmatricų A ir B skirtumas A-B yralygusmxnmatavimųmatricai C, kurioselementaicijyralygūs A ir B matricųatitinkamųelementųskirtumuiaij - bij. b11 b12 b13 ...b1n B= b21 b22 b23 … b2n ... bm1 bm2 bm3 ...bmn a11 a12 a13 ... a1n A= a21 a22 a23… a2n ... am1 am2 am3... amn

  10. nxm C=A-B, kur kiekvienam i,j cij = aij - bij. a11--b11 a12-b12 a13-b13 …a1n-b1n a21-b21 a22-b22 a23-b23 … a2n-b2n … …. … … … am1-bm1 am2-bm2 am3-bm3 … amn-bmn c11 c12 c13 …c1n C= c21 c22 c23 …c2n = … … … … … cm1 cm2 cm3 cmn

  11. Matricų daugyba • Matricos daugyba iš konstantos • Matricos daugyba iš vektoriaus • Matricos daugyba iš matricos

  12. Matricos daugyba iš konstantosA=kA mxn matavimų matricą padauginus iš bet kokio skaičiaus k, gauname naują mxn matavimų matricą kA, kurios elementai yra lygūs matricos A atitinkamiems elementams, padaugintiems iš skaičiaus k. a11 a12 a13 ... a1n A= a21 a22 a23… a2n ... am1 am2 am3... amn ka11 ka12 ka13 ... ka1n kA= ka21 ka22 ka23… ka2n ... kam1 kam2 kam3... kamn

  13. Sąvokos: • Suderinamos matricos • Matricų transponavimas

  14. Suderinamos matricos Dauginti galima tik suderinamas matricas A ir B matricos yra suderinamos jeigu matricos A stulpelių skaičius yra lygus matricos B eilučių skaičiui a11 a12 a13 a14 A= a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 b11 b12 b13 b14 B= b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34 ? 3x4 3x4

  15. Ar suderinamos matricos? b11 b12 b13 b14 B= b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34 b41 b42 b43 b44 a11 a12 a13 a14 A= a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 ? b11 b12 b13 b14 B= b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34 b41 b42 b43 b44 a11 a12 a13 a14 A= a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 ?

  16. Matricų transponavimas Matricą A (mxn) transponuojame sukeisdami stulpelius ir eilutes vietomis. Transponuota matrica žymima A’ a11 a12 a13 ... a1n A= a21 a22 a23… a2n ... am1 am2 am3... amn a11 a21 a31 ... am1 A’= a12 a22 a32… am2 ... a1n a2n a3n ... amn mxn nxm

  17. Matricų daugybos principas Tarkim turim matricą A (mxp) matavimų ir B (pxn) j-stulpelis i eilutė cij cij= ai1b1j+ ai2b2j + ai3b3j + ... aipbpj

  18. Dviejų vektorių daugyba Tarkim a yra vektorius- eilutė (1xn) matavimų , o b vektorius - stulpelis (nx1) Vektorių a ir b sandauga bus lygi skaičiui c, t.y., a x b = c, kur skaičius c apskaičiuojamas pagal formulę: c=a11b11+ a12b21 + a13b31 + ... a1nbn1 b11 b21 b31 ... bn1 a = [a11 a12 a13 ... a1n] b= a x b= a11b11+ a12b21 + a13b31 + ... a1nbn1=c

  19. Matricų daugyba C=AB Tarkim turime dvi matricas A (mxp) ir B(pxn) Matricos A ir B sandauga yra lygi matricai C (mxn), kurios elementai cij yra apskaičiuojami pagal formulę: cij= ai1b1j+ ai2b2j + ai3b3j + ... aipbpj Kai i=1,2…m ir j=1,2…n

  20. Matricų sandaugos savybės • Dauginti galima tik suderinamas matricas • AB  BA • A(BC)=(AB)C • A(B+C)=AB+AC • (A+B)C=AC+BC • IA=AI=A

  21. Determinanto sąvokaTikkvadratinėsmatricos! Kvadratinės matricos determinantas - tai skaičius, kuris yra lygus visų galimų elementų, priklausančių skirtingoms eilutėms ir stulpeliams sandaugų, padaugintų iš (-1)f , sumai a11 a12 a13 ... a1n IAI=a21 a22 a23… a2n ... an1 an2 an3... ann f- inversijų skaičius

  22. Determinanto sąvoka |A| Perstatiniu vadinama skaičių kombinacija J=[j1, j2 j3 ...jn], sudaryta iš dauginamų matricos elementų stulpelių numerių ir žymima J. Inversija vadinama perstatinio dviejų skaičių pora, kurioje pirmasis skaičius yra didesnis už antrąjį. f- inversijų skaičius

  23. Matricosdeterminantas Tik kvadratinės matricos!!! Antros eilės matricos determinantu vadinsime tokį skaičių: a11 a12 [A]= a21 a22 = a11a22 – a12a21 Pvz.: 1 2 3 4 = 4 – 6 = -2

  24. Trečios eilės matricos determinantu vadinsime tokį skaičių : a11 a12 a13 [A]= a21 a22 a23 a31 a32 a33 [A] = a11a22a33 + a12 a23 a31 + a13a21a32 – (a13a22a31 + a21a12a33 + a11a23a32) Pvz.: 2 3 4 0 5 6 = 2×5×1+3×6×7+4×0×8–(4×5×7 + 0×3×1 + 2×6×8) =-100 7 8 1

  25. N – tos eilės matricos determinanto apskaičiavimas Determinanto skleidimas eilute a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... … ai1 ai2 ... ain ... ... ... …= ai1Ai1+ ai2Ai2+...+ ainA in an1 an2 ... ann Aij – matricos A elemento aij adjunktas. Aij= (-1)i+jMij Mij-minoras –

  26. N – tos eilės matricos determinanto apskaičiavimas Determinanto skleidimas stulpeliu a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... … ai1 ai2 ... ain ... ... ... …=a1jA1j+ a2jA2j+...+ anjAnj an1 an2 ... ann Aij – matricos A elemento aij adjunktas. Aij= (-1)i+jMij Mij-minoras –

  27. Adjunkto ir minoro sąvokos Minoro sąvoka Pasirenkame A matricoje aij elementą. Išbraukiame i- eilutę ir j- stulpelį. Lieka n-1 matavimų matrica, kurios determinantas yra vadinamas elemento aij minoru ir žymime raide Mij Adjunkto sąvoka aij elemento adjunktas žymimas Aij ir yra lygus Aij=(-1)i+j Mij

  28. Pvz.:Det. skaičiavimas skleidžiant stulpeliu 2 3 4 0 6 2 4 2 4 0 5 6 = - 3A12 + 5A22 - 8A32 = -3 7 1 + 5 7 1 - 8 0 6 = 7 8 1 =-3(0×1-6×7) + 5 (2×1-7×4) – 8 (2×6 – 4×0)= 126 – 130 – 96 = -100

  29. Determinantų savybės 1. Jei matricos kurios nors eilutės arba stulpelio visi elementai yra lygūs 0, tai ir determinantas yra lygus 0 2. Jeigu dvi matricos eilutes sukeičiame vietomis, tai jų determinantų absoliučios reikšmės yra tos pačios, skiriasi tik ženklas

  30. Determinantų savybės 3. Jeigu visi matricos A kurios nors eilutės elementai turi bendrą daugiklį, tai jį galima iškelti už determinanto ženklo, t.y D’=kD a11 a12 a13 ... a1n D= a21 a22 a23… a2n ... an1 an2 an3... ann a11 a12 a13 ... a1n D’= ka21 ka22 ka23…ka2n ... an1 an2 an3... ann

  31. Determinantų savybės 4. Matricos, kurios dvi eilutėsyravienodos, determinantasyralygus 0 5. Matricosdeterminantasnepasikeis, jeiguprievienoseilutėspridėsimekitąeilutę, padaugintąiš bet kokioskaičiausnelygaus 0

  32. Atvirkštinė matrica Skaičiai Matricos

  33. Atvirkštinė matricaTik kvadratinės matricos! Kvadratinės n matavimų matricos A atvirkštine matrica vadiname tokią kvadratinę n matavimų matricą A-1, kurios sandauga su A matrica yra lygi vienetinei n matavimų matricai E AA-1=A-1A=I

  34. Atvirkštinė matrica A11 A21 A31 ... An1 A-1=1/|A| A12A22 A32… An2 ... A1n A2n A3n... Ann |A| - matricos A determinantas Aij-matricos elemento- aij-adjunktas

  35. Lygčiųsistemos sprendimas taikant matricų veiksmus a11x1 + a12x2 + a13x3=b1 a21x1 + a22x2 + a23x3=b2 a31x1 + a32x2 + a33x3=b3 AX=B X=A-1B

  36. Matricos rangas r(A) a11 a12 a13 ... a1n A= a21 a22 a23… a2n ... am1 am2 am3... amn A(mxn) matricos rangas r(A) – tai maksimalus tiesiškai nepriklausomų A matricos stulpelių ir eilučių skaičius Matricos A rangas r(A) yra nustatomas, randant didžiausios kvadratinės submatricos, kurios determinantas nelygus nuliui, matavimų eilę

  37. Matricos rangas r(A) • Jeigu A(mxn) matricos rangas r(A) =k , tai, • visi k+1 eilės minorai yra lygūs nuliui • bent vienas k eilės minoras nėra lygus nuliui • Jeigu turime dvi matricas A(mxn) ir B(nxk), tai sandaugos AB matricos rangas neviršija mažesnį rangą turinčios matricos rango • Lygčių sistema Ax=bturės sprendinį, tik tuo atveju, jeigu matricos A(nxn) rangas r(A) yra lygus n

  38. Matricų diferencijavimas x1 x2 x= x3 ... xn a1 a2 a= a31 ... an a’x= a1x1+ a2x2 + a3x3 + ... anxn

  39. Matricų diferencijavimas x1 x2 x3 ... xn a11 a21 a31 ... an1 a12 a22 a32… an2 ... a1n a2n a3n... ann x’A’x= [x1, x2,x3,...xn] x’A’x= a11 x12 +2a12x1x2 + 2a13x1 x3+ ... +2a1n x1xn +a22x22+2a23x2 x3+ ... +2a2n x2xn +a33 x32+ ... +2a3n x2xn ... +ann xn2

  40. Matricų diferencijavimas ...

  41. Dauginės regresijos įverčių skaičiavimas pasitelkiant matricas • Įverčių skaičiavimas

  42. Įverčių skaičiavimas • Duomenis pateikiame vektorių ir matricų forma u1 u2 u3 ... un β1 β2 β3 ... βm Y1 Y2 Y3 ... Yn 1 X12 X13 ... X1m 1 X22 X23… X2m ... 1 Xn2 Xn3... Xnm β= u= X= Y= Y=Xβ+u

  43. Įverčių skaičiavimas MKM

  44. Įverčių skaičiavimas MKM

  45. Įverčių skaičiavimas MKM x,y –duomenys pateikti nuokrypiais nuo vidurkio

  46. Matricų x’x ir x’y struktūra Σx22Σx2 x3 Σ x2 x4 ... Σx2xm Σx3x2Σx23Σx3 x4 … Σx3xm ... Σxmx2Σ xmx3Σxm x4 … Σx2m x’x= Σx2y Σx3y ... Σxmy x’y=

More Related