1 / 13

Klassikalised jaotused (I)

Klassikalised jaotused (I). Juhuslikku suurust X , mille võimalike väärtuste hulgaks on naturaalarvud 0, 1, ... , n ja millele vastavad tõenäosused arvutatakse Bernoulli valemiga nimetatakse binoomjaotusega juhuslikuks suuruseks .

manju
Download Presentation

Klassikalised jaotused (I)

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Klassikalised jaotused (I)

  2. Juhuslikku suurust X, mille võimalike väärtuste hulgaks on naturaalarvud 0, 1, ... , n ja millele vastavad tõenäosused arvutatakse Bernoulli valemiga nimetatakse binoomjaotusega juhuslikuks suuruseks. Binoomjaotuse tõenäosused võrduvad binoomi (q + p)n arenduse vastavate liikmetega: Asjaolu, et juhuslik suurus X on binoomjaotusega parameetritegan ja p märgitakse lühidalt: X ~ B(n, p). Binoomjaotus I Viimasest valemist järeldub ka, et selle juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste tõenäosuste summa võrdub ühega, kuna (q + p)n = 1n = 1.

  3. P Jaotustabel:X p 0 0,0007 1 0,0102 2 0,0595 3 0,1852 4 0,3241 5 0,3025 6 0,1176 m Binoomjaotus II Binoomjaotusega juhuslik suurus on diskreetne. Seetõttu ei eksisteeri sellel ka tõenäosuse tihedust (tihedusfunktsiooni). Binoomjaotusega suuruse jaotuspolügooni nimetatakse sageli ka binoompolügooniks. Näide Koostada sageduse k jaotustabel ja binoompolügoon, kui n = 6 ja p = 0,7. Lahendus Sageduse k tõenäosused leiame Bernoulli valemist:

  4. n=6 n=12 n=24 3 6 9 12 15 18 21 24 Binoomjaotus III Binoompolügoonid juhul, kui p = 0,8.

  5. (1) (2) Tulemuseks on võrrand (3) Võrrandite (1) ja (3) paremad pooled langevad kokku, järelikult peavad võrdsed olema ka vasakud pooled: Binoomjaotusega juhusliku suuruse keskväärtus Diskreetse juhusliku suuruse keskväärtuse definitsiooni kohaselt: Selle keskväärtuse leidmiseks diferentseerime p järgi võrrandit Selle võrrandi korrutame läbi arvuga p:

  6. Standardhälve: Binoomjaotusega juhusliku suuruse dispersioon ja standardhälve Dispersiooni leidmiseks kasutame valemit DX = EX2 – (EX)2 . Leiame esmalt EX2: Summa leidmiseks diferentseerime valemit (2) kaks korda p järgi:

  7. ja Binoomjaotusega juhusliku suuruse mood Binoomjaotusega juhusliku suuruse mood e. tõenäoseim sagedus m0: Kui np – q ei ole täisarv, siis Kui np – q on täisarv, siis on binoomjaotusega juhuslikul suurusel kaks väärtust, mille esinemistõenäosus on ülejäänute omast suurem. Need on Kui p = ½, siis on binoomjaotusega juhuslik suurus sümmeetriline.

  8. Poissoni jaotus on binoomjaotuse piirjaotuseks sel juhul, kui katseseeria pikkus , tõenäosus selliselt, et korrutis  = np püsib konstantsena (läheneb konstandile). Osutub, et sel korral Juhuslikku suurust, mille võimalike väärtuste hulgaks on täisarvud 0, 1, 2, ... ja mille jaotus on määratud valemiga nimetatakse Poissoni jaotusega juhuslikuks suuruseks. Poissoni jaotus (I) Kui Bernoulli valemis on n suur, on tema kasutamine komplitseeritud. Seetõttu kasutatakse sageli ka binoomjaotuse piirjaotusi, millest üheks on Poissoni jaotus (harva esinevate sündmuste jaotusseadus).

  9. pm  = 3 Poissoni jaotus (II) Sümboolselt tähistatakse asjaolu, et juhuslik suurus on Poissoni jaotusega, X ~ P(). Poissoni jaotusega on näiteks radioaktiivses aines lagunevate aatomite arv ajaühikus, telefonikeskjaama teatud ajavahemiku vältel laekuvate väljakutsete arv jne. Jämeda hinnanguna on Poissoni jaotuse kasutamine õigustatud, kui np 5 ja n30.

  10. Poissoni jaotuse keskväärtus: EX =  = np Poissoni jaotuse dispersioon: DX =  = np Poissoni jaotuse standardhälve: Poissoni jaotuse parameetrid Teine kriteerim Poissoni jaotuse kasutamiseks:Poissoni jaotust võib kasutada ligikaudse jaotusena juhul, kui juhusliku suuruse täpseks jaotuseks on binoomjaotus, mille kesväärtus erineb vähe dispersioonist, s.o. kui np  npq.

  11. Poissoni valem = Näide Poissoni jaotuse kasutamisest Aparatuur koosneb 1000 elemendist, kusjuures elemendid töötavad üksteisest sõltumatult. Tõenäosus elemendi riknemiseks ajavahemiku T jooksul olgu kõikide elementide jaoks ühesugune ja võrdne 0,0005-ga. Leida tõenäosus, et ajavahemiku T jooksul rikneb mitte rohkem kui 2 elementi. Lahendus Tehtud eeldustel on ajavahemiku T jooksul riknenud elementide arv binoomjaotusega, X ~ B(1000; 0,0005). Kuna n 30 ja np =10000,0005 = 0,5  5 , siis on Poissoni jaotuse kasutamine õigustatud. Poissoni jaotuse parameeter:  = n  p = 10000,0005 = 0,5.

  12. , kui x < a, , kui axb, , kui x > b. Ühtlase jaotuse tihedusfunktsioon Ühtlase jaotuse jaotusfunktsioon p(x) F(x) 1/(b-a) 1 a x 0 b a 0 b x Ühtlane jaotus (I) Pidev juhuslik suurus X on ühtlase jaotusega lõigul [a; b], kui sellel lõigul on tema tihedusfunktsioon konstantne ja väljapool seda lõiku võrdne nulliga:

  13. Ühtlane jaotus (II) Asjaolu, et juhuslik suurus X on ühtlase jaotusega lõigul [a; b],tähistatakse sümboolselt X ~ U(a; b). Ühtlase jaotusega juhusliku suuruse keskväärtus: Ühtlase jaotusega juhusliku suuruse dispersioon: Ühtlase jaotusega juhusliku suuruse standardhälve:

More Related