Merkezi Egilim ve Merkezi Dagilim l leri

1. Merkezi Egilim ve Merkezi Dagilim Ölçüleri Hüsna BASTEM-097126005 Elif ÖZDENTÜRK-047125003 EMINE EVRIM ARLI-097126006

2. TANIMLAYICI ISTATISTIK Tanimlayici istatistikler verilerin sayisal ya da grafiksel olarak özetlenmesidir. Çalismada veriler toplandiktan sonra, bunlarin merkezi egilimleri, yayilimlari, çarpikliklari arastirilir.

3. Ölçme sonuçlarina bakarak,grup hakkinda ya da egitim sistemi hakkinda bazi kararlar verebilmek ve anlam çikarabilmek için ölçme sonuçlari üzerinde istatistik islemlerinin yapilmasi gerekmektedir.

4. Verilerin düzenlenmesi,veri grubunun tamami hakkinda bir ölçü. vermediginden, düzenlenmis verilerin yorumlanmasi ve daha anlamli hale getirilmesi için merkezi egilim ve merkezi dagilim ölçülerinden yararlanilmaktadir.

5. MERKEZI EGILIM ÖLÇÜLERI Merkezi egilim ölçüleri ,puan dagiliminda verilerin hangi puan etrafinda toplandigi hakkinda bilgi veren ve veri grubunu özetleyen degerlerdir. Merkezi egilim ölçüsü olarak mod,aritmetik ortalama,medyan gibi istatistiksel tanimlar kullanilmaktadir.

6. Aritmetik ortalama, degerler toplaminin deger sayisina bölümü seklinde tanimlanir. Bu tanima göre aritmetik ortalama söyle formüle edilir. Frekanslar söz konusu oldugunda, siniflandirilmis seriler için, Aritmetik Ortalama

7. Örnek olarak, bir sinava giren toplam ögrenci sayisi 7 olsun. Bu 7 ögrencinin sinavdan aldiklari notlar ise 100 üzerinden 60, 35, 28, 77, 81, 72 ve 74 olsun. O halde yukaridaki formülü kullanarak bu sinav sonucundaki aritmetik ortalamayi hesaplayabiliriz: Aritmetik ortalama = (60+35+28+77+81+72+74) / 7 = 61’dir.

8. Frekans serisi aritmetik ortalama örnegi

9. Toplam puanlarin puan sayisina (ögrenci sayisina )bölünmesi ile aritmetik ortalama bulunur.Aritmetik ortalamanin hesaplanmasinda, puan dagilimindaki her puan hesaplamaya dahil edildiginden, diger merkezi egilim ölçülerine göre aritmetik ortalama daha çok tercih edilen bir istatistiktir.

10. Dagilislarin yerinin belirlenmesinde en çok kullanilan yer ölçüsü aritmetik ortalamadir; ve tek basina ortalama sözcügünden aritmetik ortalama anlasilir. Aritmetik ortalama bütün degerlerin agirligini esit kabul ettiginden dagilimi her zaman en iyi sekilde temsil etmeyebilir. Ayrica aritmetik ortalama, veri kümesindeki asiri degerlerden çok kolay etkilenir.

11. Not:Aritmetik ortalama hesaplanirken her bir puanin ortalamaya katki orani aynidir. Puanlar farkli oldugunda katilim miktarlari farklidir, fakat katilim oranlari(yüzde olarak) aynidir.

12. Agirlikli Ortalama Puanlarin ortalamaya katki oranlarinin farkli olmasi gerektigi durumlarda aritmetik ortalama yerine agirlikli ortalama hesaplanabilir. Sinavlarin farkli kapsama sahip olmalari ya da farkli önem dereceleri agirlikli ortalama kullanmalarini gerektirir.

13. 13 Agirlikli ortalama; veri kümesindeki bütün degerlerin ayni agirliga (öneme) sahip olmadiklari durumlarda kullanilir. 1’den n’e kadar olan bir veri kümesinde X’ler veri degerleri ve W’lar her bir X için bir agirlik fonksiyonu olarak kabul edilirse; agirlikli ortalama formülü söyle olusur:

14. 14 Agirlikli ortalama egitimde yaygin olarak kredili ders sistemindeki ortalamalarin hesaplanmasinda kullanilmaktadir. Örnek: Iktisat, Isletme, Hukuk ve Ingilizce derslerini alan bir ögrencinin ders kredisi / ders notu çizelgesi söyledir: O halde agirlikli ortalamasi; (4x75)+(3x70)+(2x60)+(2x90)=73.63 11

15. Örnek

16. Medyan(Ortanca) Büyüklük sirasina göre düzenlenmis puanlar dizisinin tam ortasina düsen puandir. Ortanca hesaplanirken mutlaka verilerin siraya konulmus olmasi gerekmektedir. Ölçülen degerler küçükten büyüge ya da büyükten küçüge dogru dizildigi zaman grubun, dizinin tam ortasindaki ,yani yüzde ellinci puan veya ölçümüdür.

17. Denek sayisi çiftse, ortadaki iki denegin ortalamalari alinir. Asiri degerlerden etkilenmez. Verilerde sapan degerler var ise ortanca verileri ortalamadan daha iyi betimler. Örnek: Su an bu siniftaki kisilerin yas ortalamasi.

18. ? Seri birimlerinin tek sayida olmasi durumunda serinin ‘inci biriminin degeri medyan olacaktir. (tek sayida gözlem var ise ortanca orta degerdir) Seri birimlerinin çift sayida olmasi durumunda ise, serinin ‘inci ve ‘inci birimlerinin degerlerinin ortalamasi olarak kabul edilmektedir. ( çift sayida gözlem var ise ortanca iki orta degerin ortalamasidir)

19. Örnek: Asagida verilen serilerin medyanlarini hesaplayiniz Yi serisi 8 birimli bir seri oldugundan serinin medyani 4’üncü ve 5’inci birimlerin degerlerinin ortalamasina esittir.

20. Medyanin avantajlari: Hesaplanmasi ve anlasilmasi kolaydir. Uç degerlerden etkilenmez Her dagilimda bir tane ortanca vardir.

21. Medyanin Dezavantajlari: Standart sapmasi ortalamanin standart sapmasindan büyüktür. Büyük veri yiginlarinda bilgisayar kullanmadan hesaplanmasi zordur. Ortanca, ölçüm sayisina eklenecek herhangi bir degerden hemen etkilenir ve degisir.

22. Mod(Tepe degeri) Bir veri grubunda en çok tekrarlanan,yani frekansi en yüksek olan puandir. Tepe deger verilerin en çok hangi deger etrafinda toplandigi hakkinda bilgi verir. Mod en kararsiz ölçüdür. Eger puan dizisinde her puan ayni frekansa sahipse o puan dizisinin modu yoktur. Bir seride birden fazla mod olabilir. Bu durumda degisken çok modlu olarak nitelendirilir.

23. Mod pratik olarak ,bir seride en çok rastlanan, en çok tekrarlanan terim olarak tanimlanabilir. Eger serinin histogrami çizilirse, en yüksek sütunun degeri serinin modudur.Bu sebepten mod’a tepe degeri de denir. Tipta nadir kullanilan bir merkezi egilim ölçütüdür.

24. TEPE DEGERININ ÖZELLIKLERI Hesaplanmasi ve anlasilmasi kolaydir Dagilimdaki asiri degerlerden etkilenmez Grafik üzerinde hiç islem yapmadan, gözlenebilen tek ölçüdür. Bazi dagilislarda tepe degeri bulunmayabilir, bazilarinda da birden fazla tepe degeri bulunabilir. Iki tepe degeri bulunan dagilislara bimodal dagilis adi verilir.

25. Bazi dizilerde “tek mod” vardir. 20,30,40,50,50,50,60 Dizidenin modu:50 Bazi dizilerde mod olabilecek degerler ard arda geldiginde bunlarin ortalamasi alinarak moda ulasilir. 20,30,40,40,50,50,60 Dizinin modu:45

26. Bazi dizilerde birden fazla mod vardir. 20,20,30,40,40,40,50,60,60,60,70,70 Dizinin modlari:40 ve 60 20,30,30,40,50,50,60,60 Dizinin modlari:30 ve 55 20,30,30,40,40,50,60,60,70,70,80,80 Dizinin modlari:35 ve 70

27. Bazi dizilerde mod yoktur. 20,20,20,30,30,30 20,30,40,50,60,70 20,20,20,20,30,30,30,30 0,0,0,100,100,100 Puanlar frekans sayilari açisindan farklilasma göstermediklerinden dizide mod bulunamaz.

28. Ayni zamanda puanlar farklilasma göstermediginde de mod aranmaz. 20,20,20,20,20,20

29. Merkezi Dagilim (Degisim )Ölçüleri Merkeze yigilma ölçüleri, üzerinde ölçme yapilan grubu tanimamiza yardim eder. Ne var ki merkezi yigilma ölçüleri bir grubu tam olarak tanitmaz. Bu ölçülere ek olarak puanlarin degisiklik (dagilim)ölçülerinin de bilinmesine gerek vardir.

30. Farkli gruplarin merkezi egilim ölçütleri ayni oldugu halde, gruplar birbirlerinden çok farkli olabilir. Bu nedenle merkezi egilim ölçütleri yaninda, yayilma ölçütleri de çok önemlidir.

31. Merkezi dagilim ölçüleri, verilerin yigilma gösterilen noktadan ne kadar uzakta olduklarini, nasil bir dagilim gösterdiklerini belirleyen istatistiklerdir. Baslica dagilim ölçüleri puan genisligi(ranj), standart sapma ve varyansdir.

32. Yayilim Ölçüleri Puanlar arsindaki farklilasma miktarini gösterir.(homojen-heterojen) Standart sapma en hassas yayilim ölçüsüdür. Herhangi birinin 0 olmasi durumunda diger yayilim ölçüleri de 0 olur. Bütün notlar ayni oldugunda, bütün yayilim ölçüleri 0 olur.

33. 33 Dagilim Araligi (Range, DA) Bir dizideki en büyük deger (Xmax) ile en küçük deger (Xmin) arasindaki farktir. DA= (Xmax) - (Xmin) biçiminde hesaplanir. 71-68-75-44-75-81-75-94-56-75-69 veri setinin dagilim araligi nedir? DA=94-44=50’dir.

34. Örnek: A üniversitesinin B bölümünün tavan puani 361 ve taban puani 349 ise. En düsük (Minimum) = 349 puan En yüksek (Maksimum) = 361 puan Degisim araligi = 361-349 = 12 puan

35. Ranj bir veri grubunun hangi aralikta degiskenlik gösterdigini belirten istatistiktir. Ranj, puan dagilimlari hakkinda yüzeysel bilgi verir. En basit yayginlik ölçüsüdür.

36. Ortalama gibi, uç degerlerden çok etkilenir. En uçtaki iki deger arasinda kalan degerler hakkinda bilgi vermez. Ekstrem degerlere duyarli olan DA yer ölçülerinde oldugu gibi, bize dagilimin sekliyle ilgili bir sey söylememektedir.

37. Ranj yeterince güvenilir degil, en basit yayilim ölçüsüdür. 20,60,80,70,90,80 Ranj:90-20=70 20,20,20,90,20,20,20 Ranj:90-20=70 2 grup hiç benzemiyor ama ranjlari aynidir.

38. Standart Sapma Bir veri grubunda verilerin aritmetik ortalamadan ne kadar uzaklastiginin ölçüsüdür. Puanlarin ortalamadan olan farklarinin, kareleri toplaminin ortalamasinin, kareköküne esittir.

39. 39 Bir örnek vermek gerekirse; 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 degerlerine sahip bir örneklemi ele alalim. Ortalamamiz {(2+4+4+4+5+5+7+9)/8} = 5 olacaktir. Her bir degerin ortalamadan farkini bulup karesini aliriz, ve bu kareleri toplayip toplam gözlem sayisina böler, sonucun kare kökünü alarak standart sapmaya ulasiriz. (9+1+1+1+0+0+4+16)/8 = 4 ve 4’ün de kare kökü 2’dir.

40. Puanlarin her birinden, bu puanlarin aritmetik ortalamasi çikarilirsa farklari elde edilir. Bu islemlerde elde edilen fark puanlarina ortalamadan sapmalar denir. Aritmetik ortalamadan sapmalarin kareleri alinip toplanirsa elde edilen sonuca variyans denir. Standart sapma formülündeki karekök kaldirildiginda variyans hesaplanir.

41. 41 Örnegin: Bir basit yigin için kilogram birimi ile veri (4, 8, 12) olsun. Aritmetik ortalama 8 olur ve verilerin ortalamadan sapmalari (-4, 0 , 4) olur. Kare toplamlarinin ortalamasi olan varyans [(4-8)2+(8-8)2+(12-8)2]/3 = 32/3 = 10,666 olur ve kilogram kare birimi ile verilir. Standart sapma 10,66’nin karekökü olup 3,26 degerindedir ve kilogram birimi ile ölçülür.

42. Standart sapma ve varyans : Tüm degerlerin dagilimi ile bilgi verirler. Tüm degerler esitse, her ikisi de sifira esittir. Degerler arasinda farklar arttikça standart sapma (Ss) ve varyans büyür.

43. Standart sapma degisken degerlerinin ortalamanin etrafindaki yayilmasini temsil eden bir yayilma ölçütüdür. Yani, denekler arasinda ne kadar yayginlik oldugunu ifade eder. Ss’ nin karesine varyans adi verilir. Merkezi egilim ölçütü olarak ortalama kullanildiginda, yayilma ölçütü olarak da standart sapma kullanilir.

44. Bir dizi puanin varyansi o dizideki degiskenligin bir ölçüsüdür. Puanlarin variyansi denildiginde,puanlarin degiskenliginin ölçüsü ifade edilmis olur.Varyansin karakökü alinirsa standart sapma elde edilir.Varyans standart sapmanin karesi oldugundan , bu istatistiklerden birisi bilindiginde digerinin hesaplanmasi kolaydir.

45. Standart sapma, bir merkezi dagilim ölçüsü olarak puanlarin merkezi yigilma ölçüsünden uzakliklarinin bir ortalama degeri anlamini tasimaktadir. Bir dizideki ölçümlerin birbirinden farki arttikça standart sapma büyür; ölçümler birbirine yaklastikça da küçülür.

46. Baska bir deyisle, dizideki ölçümlerin dagildigi alan genisledikçe standart sapma büyür, dagilim alani küçülüp daraldikça da küçülür. Standart sapma küçüldükçe dizi grubundaki homojenlik(benzerlik) artar.

47. Standart sapma dagilim ölçüleri arasinda en çok kullanilmakta olanidir. Standart sapmanin da bir ortalama oldugunu hatirlatmak gerekir.(Ortalamadan olan farklarin ortalamasi)

48. Dagilimin yayginligini gösteren ölçümlerin en önemlisi varyansdir. Eger varyans küçükse sayilar birbirine yakin, büyükse daha uzaktir. Standart sapma büyüdükçe dagilim yayginlasir.

49. Aritmetik ortalamalari ayni olan iki dagilim ayni yayginlikta olmayabilir. Örnegin; 10,22,34 degerlerini alan 3 kisilik bir dagilimda aritmetik ortalama 66/3=22’dir.21,23,22 degerlerini alan baska bir 3 kisilik dagilimda aritmetik ortalama yine 66/3=22’dir.

50. Iki dagilimin aritmetik ortalamasi 22 oldugu halde birinci dagilimda degerler (1 ve 3’üncü degerler) aritmetik ortalamadan çok uzakta iken ikinci dagilimdaki degerler ortalamaya çok yakindir. Bir dagilimda degerler aritmetik ortalamadan uzaklastikça dagilimin yayginligi artar.

51. Genel olarak, standart sapmanin küçük olmasi; ortalamadan sapmalarin ve riskin az oldugunun, büyük olmasi ise; ortalamadan sapmalarin, riskin çok oldugunun ve oynakligin göstergesidir.

53. VARYASYON KATSAYISI (DEGISIM KATSAYISI) Standart sapma dagilimin yayginligini gösteren bir ölçüdür. Ancak standart sapma ile dagilim hakkinda çok fazla bir sey söylemek olanaksizdir. Örnegin; bir dagilimin standart sapmasi 6 ise bu deger büyük müdür, yoksa küçük müdür?

54. Bir karar verebilmek için VARYASYON KATSAYISINI hesaplamak gerekir. Varyasyon katsayisi; standart sapmanin ortalamaya göre yüzde kaçlik bir degisim gösterdigini belirtir. S V = --------- x 100 X

55. Örnek : Ortalamasi 31.7 ve standart sapmasi 8.37 olan bir dagilimin varyasyon katsayisi, V = (8.37 / 31.7) x 100 = % 26.4 Bu dagilimdaki degerler ortalamaya göre %26.4’lük bir degisim göstermektedir.

56. 56 Standart sapma, egitimde basariyi belirlemede ortalamalar ile birlikte yaygin bir sekilde kullanilmaktadir. Eger bir sinavda grup ortalamalari esit ise standart sapmasi daha küçük olan grup daha basarilidir. Standart sapmasi küçük olan gruplarda ögrencilerin ögrenme düzeyleri daha birbirine yakin iken, standart sapmasi büyük olan gruplarda ögrenme düzeyleri arasinda daha belirgin farklar mevcuttur. Bir dagilimda degerler aritmetik ortalamadan uzaklastikça dagilimin yayginligi artar. Standart sapmanin küçüklügü; ortalamaya yakinligi, büyüklügü ise; ortalamaya uzakligi ifade eder.

58. Çarpiklik ve Basiklik Ölçüleri  Çarpiklik(Skewness) Çarpiklik, normal dagilista simetrikligin bozulma derecesidir. Dagilis saga uzun kuyruklu ise pozitif çarpik veya saga çarpik, dagilis sola uzun kuyruklu ise negatif çarpik vaya sola çarpik olarak adlandirilir.  Basiklik(Kurtosis) Normal dagilis egrisinin sivrilik veya yayvanlik derecesi basiklik olarak adlandirilir.

59. Dagilim sekli ölçütleri Ortalama=ortanca=mod ise dagilim normal dagilimdir. Çarpiklik (skewness): Mod<ortanca<ortalama ise dagilim sagdan çarpik; ortalama<ortanca<mod ise dagilim soldan çarpiktir. Sivrilik-basiklik (kurtosis): Egrinin tepesi sivriyse dagilim leptokurtik; tepesi basiksa dagilim platikurtiktir.

60. Grafiklerin Yorumlanmasi(Aritmetik ortalama,mod,medyan iliskisi) Uygulanan bir testin aritmetik ortalamasi, modu,medyani ve standart sapmasi bulunduktan sonra bunun nasil bir dagilim gösterdigini ortaya koymak gerekir. Grafiklerin yorumlanmasi ile grubun basari durumu hakkinda bilgi edinilebilir.

61. Normal(simetrik)Dagilim Basari açisindan normal düzeyde olan bir sinifin grafigidir.Normal dagilim egrisi genelde çan biçiminde olur. Aritmetik ortalama, mod ve medyan degerleri ayniysa bu dagilim simetriklik gösterir.

62. 1. Simetrik dagilislarda bu üç deger birbirine esittir. (A.O. = Medyan = Mod)  

63. MERKEZI EGILIM ÖLÇÜLERI

64. 2. Sola çarpik dagilislarda aritmetik ortalama ortancadan, ortanca ise tepe degerinden daha küçüktür. (A.O. ? Medyan ? Mod)

65. MERKEZI EGILIM ÖLÇÜLERI

66. Sola Çarpik(kayisli)dagilim Basari yüksektir. Ögretim yeterlidir. Sorular ve test kolaydir. Puanlarin çogu dagilimin saginda toplanmistir. Ögrenciler hedef davranislari kazanmislardir.

67. 3.Saga çarpik dagilislarda aritmetik ortalama ortancadan, ortanca ise tepe degerinden daha büyüktür. (A.O.? Medyan ? Mod)

68. MERKEZI EGILIM ÖLÇÜLERI

69. Saga Çarpik(Kayisli) dagilim Basari düsüktür. Ögretme yetersizdir. Test zordur. Puanlarin çogu sol tarafa yigilmistir. Ögrenme düzeyi düsüktür. Ögrenciler hedef-davranislari kazamamislardir.

70. 70 Sorular 1, 5, 5, 4, 6, 2, 2, 1, 2, 5, 5, 5, 5, 6, 5 veri degerlerine sahip 15 gözlemli bir örneklemin modu nedir? Cevap: 5 2, 6, 8, 10 dizisinin medyani nedir? Cevap: (6+8)/2 = 7 10, 10, 25, 30, 15, 5, 7 örnekleminin aritmetik ortalamasi nedir? Cevap: (10+10+25+30+15+5+7)/6 = 17

71. 71 Sorular Degerleri 2, 4, 6 olan bir örneklemin standart sapmasi nedir?Cevap: önce ortalamayi buluruz:(2+4+6)/3 = 4 her degerin farklar karesini buluruz:(2-4)2 = 4(4-4)2 = 0(6-4)2 = 4 bunlari toplar ve toplam gözlem sayisina bölüp karekökünü aliriz, bu da bize standart sapmayi verir:(4+0+4)/3 = 2,66 ve 2,66’nin karekökü ise 1,63’tür. standart sapma 1,63’tür.

73. Kaynaklar Arikan,R.,2007.Arastirma Teknikleri ve Rapor hazirlama.Asil Yayin Dag,Ankara. Nazik,H.,Arli,M.,2004.Bilimsel Arastirmaya Giris.Gazi Kitabevi Kaptan,S.,1998.Bilimsel Arastirma ve Istatistik Teknikleri. Tekisik web ofset,Ankara. Yildiz, N.,Akbulut, Ö.,Bircan,H.,2002. Istatistige Giris. Aktif Yayinevi,Erzurum Ercan, M.,1997. Bilimsel Arastirmalarda Istatistik.Izmit. Türkbal, A.,1987. Bilimsel Arastirma Metodlari ve Uygulamali Istatistik. Atatürk Üniversitesi Basimevi,Erzurum. www.egitim.aku.edu.tr  www.hocaman.net/index_dosyalar/ÖLÇME111.ppt www.iibf.ibu.edu.tr/stratejikplanlama/kamuyonetimibolumu. www.yildiz.edu.tr/~tuzkaya/MIG_Ders_Notlari/sunum_ www.muhasebat.gov.tr/.../S.4.%20MALI%20ISTATISTIK. Science.ankara.edu.tr/Özdemir/istatistik

74. Kahyaoglu,M.,(2009)”Ögretmen Adaylarinin Fen ve Teknoloji Dersinde Çevresel Problemlerin Ögretimine Yönelik Bakis Açilari, Hazir Bulunusluklari ve Öz-Yeterliliklerinin Belirlenmesi “,Mehmet Akif Ersoy Üniversitesi Egitim Fakültesi Dergisi, Yil 9, Sayi 17, 28- 40. Yin,Y., Vandeles,J,.A Comparison of Two Construct-a-Concept-Map Science Assessments: Created Linking Phrases and Selected Linking Phrases CSE Report 624 National Center for Research on Evaluation, Standards, and Student Testing (CRESST)/Stanford University Blake,A.,(2004)”Helping young children to see what is relevant and why: supporting cognitive change in earth science using analogy “int. J. SCI. EDUC., , vol. 26, NO. 15, 1855–1873. Dindar,H., Yangin,S.(2007)”Ilkögretim Fen ve Teknoloji Dersi Ögretim Programina Geçis Sürecinde Ögretmenlerin Bakis Açilarinin Degerlendirilmesi” ,Cilt:15 No:1 Kastamonu Egitim Dergisi 185-198. Yenice,N.,Balim,A.,Aydin,G.,(2008)”Biyoloji Ögretmenlerinin Laboratuvar Dersine Yönelik Tutumlar ve Teknolojik Yenilikleri Izleme Egilimleri “, Cilt:16 No:2 Kastamonu Egitim Dergisi ,469-484.