Badania Operacyjne

1. Badania Operacyjne Wykład 1

2. Sprawy formalne STRONA INTERNETOWA: http://www.sgh.waw.pl/mlewandowski , Zakładka Teaching -> BO KONTAKT: michal.lewandowski@sgh.waw.pl KONSULTACJE: wtorek 16.30 sala 103G, po uprzednim mailu ZALICZENIE: 20% Ćwiczenia, 80% Egzamin WYKŁADY – zajęcia co tydzień środa 11.40 w C-2e GRUPY ĆWICZENIOWE – zajęcia co tydzień • Grupa I – środa 13.30 sala W-61, mgr Szczypińska • Grupa II – czwartek 11.40 sala C-2d, mgr Szczypińska

3. Plan zajęć Część I - Optymalizacja • Programowanie Liniowe I • Programowanie Liniowe II • Analiza wrażliwości zadania PL • Programowanie Całkowitoliczbowe I • Programowanie Całkowitoliczbowe II • Programowanie sieciowe I • Programowanie sieciowe II • DEA Część II – Ekonometria • Model regresji liniowej oraz MNK • Weryfikacja modelu regresji liniowej • Wprowadzenie da analizy szeregów czasowych • Wprowadzenie do modeli zmiennej jakościowej Część III - Zarządzanie • Zarządzanie projektem • Zarządzanie zapasami

4. Literatura LITERATURA OBOWIĄZKOWA: Część I T. Szapiro (red.) Decyzje menedżerskie z Excelem, PWE, Warszawa 2000. Część II i III M. Gruszczyński, T. Kuszewski, M. Podgórska (red.), Ekonometria i badania operacyjne. Podręcznik dla studiów licencjackich, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009. LITERATURA UZUPEŁNIAJĄCA: D.R. Anderson, D.J. Sweeney, T.A. Williams, M. Wisniewski, An introduction to Management Science T. Kufel, Ekonometria. Rozwiązywanie problemów z wykorzystaniem programu GRETL (wydanie II), Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009.

5. Co to są Badania Operacyjne? • Po angielsku – operations researchlub management science • II wojna światowa: Brytyjscy generałowie poprosili naukowców i inżynierów, aby ci przeanalizowali parę problemów natury militarnej • Rozmieszczenie radarów • Zarządzanie konwojami, bombardowaniem, system przeciwko łodziom podwodnym, operacje minowania, etc. • W rezultacie powstała nowa dziedzina wiedzy zwana badaniami operacyjnymi • Badania operacyjne to dyscyplina stosująca metody analityczne na potrzeby lepszego podejmowania decyzji. http://www.scienceofbetter.org/ http://www.orms-today.org/ormsmain.shtml

6. Badania operacyjne w praktyce SCHEMAT POSTEPOWANIA • Zidentyfikuj problem • Obserwuj system i zbieraj dane • Sformułuj model matematyczny problemu i ewentualne podproblemy • Zweryfikuj model i wykorzystaj go do prognozowania lub analizy • Wybierz odpowiednią alternatywę • Zaprezentuj odpowiednią alternatywę • Zaimplementuj i oceń wyniki

7. Programowanie liniowe • Minimalizuj lub maksymalizuj funkcję liniową • Przy ograniczeniach w postaci nierówności i równości liniowych • Poniższe przykłady NIE SĄ zadaniami programowania liniowego:

8. Programowanie całkowitoliczbowe Zadanie programowania całkowito liczbowego to zadanie programowania liniowego, w którym część lub wszystkie zmienne są całkowitoliczbowe Zadania programowania całkowitoliczbowego są dużo częściej spotykane w praktyce. Jednak do ich rozwiązania stosuje się techniki programowania liniowego.

9. Ustalanie grafiku • Każdy z pracowników na poczcie pracuje 5 dni z rzędu i później 2 dni odpoczywa. • Popyt na pracowników w różne dni tygodnia jest następujący: • Zminimalizuj liczbę pracowników zatrudnionych na poczcie. • Na początek przyjmijmy, że pracownicy mogą występować w częściach ułamkowych. • Sformułowanie problemu: • Zidentyfikuj zmienne decyzyjne (decisionvariables) • Zidentyfikuj funkcję celu (objectivefunction) • Sformułuj ograniczenia (constraints) • Rozwiązanie dopuszczalne (feasiblesolution) • Rozwiązanie optymalne (optimalsolution, bestfeasiblesolution)

10. Ustalamy zmienne decyzyjne • Spróbujmy tak: yi – liczba osób pracujących w dzień i • Ograniczenia popytu łatwo sformułować • Ale jak sformułować ograniczenie: „5 dni w pracy 2 wolnego”? • OKAZUJE SIĘ TO NIEMOŻLIWE

11. Sprytne zdefiniowanie zmiennych decyzyjnych Funkcja celu PON WTO ŚRO CZW PIĄ SOB NIE Zmienne decyzyjne są dobrane w taki sposób, aby ograniczenie „5 dni w pracy 2 dni wolnego” było automatycznie spełnione. Zmienna decyzyjna x1 to liczba pracowników zaczynających pracę w poniedziałek. Pozostałe zmienne są zdefiniowane podobnie. Wówczas funkcja celu musi być zdefiniowana jako suma zmiennych decyzyjnych (suma wszystkich pracowników). Ograniczenia

12. Przedstawienie w postaci tabelki PON WTO ŚRO CZW PIĄ SOB NIE

13. Modyfikacja modelu • Dobrze jest zacząć od prostego modelu, który opisuje tylko część rzeczywistości, a później dodawać coraz bardziej realistyczne ograniczenia. Często trudno jest zbudować skomplikowany model w jednym kroku. • Załóżmy, że pracownicy otrzymują różne wynagrodzenie w zależności od dnia, w którym zaczynają pracę – pracownik zaczynający pracę w dzień j, otrzymuje zapłatę cj Dodatkowo poczta może zatrudnić pracownika dorywczego (na jeden lub więcej dni). Zapłata dla pracownika dorywczego, gdy pracuje w dzień j to pj • Jaka będzie zmiana w modelu? Jakie będą nowe zmienne decyzyjne?

14. Inna modyfikacja • Załóżmy, że popyt na pracowników reprezentuje ograniczenie zwane „lekkim” – tj. jest to pożądana liczba pracowników, którzy są potrzebni w dany dzień, a nie wymagana liczba. • Niech sj będzie zmienną reprezentującą nadmiar pracowników w dzień j ponad stan pożądany. Ujemne wartości oznaczają oczywiście niedobór. • Jaki jest minimalny koszt zatrudnienia pracowników, jeśli koszt zbyt dużej liczby pracowników w dzień j jest opisany nieliniową funkcją fj(sj)? • Traktujemy popyt na pracowników na konkretny dzień jako cel na ten dzień i nakładamy karę za niespełnienie go dokładnie. • Zbyt duża liczba pracowników to nieefektywne wykorzystanie zasobów pracy • Zbyt mała liczba pracowników może spowodować problemy w wykonaniu zadań na dany dzień • Jakie są nowe zmienne decyzyjne? Jak wygląda nowy model nieliniowy?

15. Funkcje nieliniowe mogą czasem być przetransformowane w funkcje liniowe – rzadki, ale bardzo pożądany przypadek • W ogólności, programy nieliniowe minimalizacji (maksymalizacji) można rozwiązać łatwiej, gdy funkcja celu jest wypukła (wklęsła) • Przykłady funkcji nieliniowych Suma kwadratów zmiennych nadmiaru Ważona suma kwadratów zmiennych nadmiaru Suma wartości bezwględnychzmiennych nadmiaru Dwa razy suma pracowników minus suma zmiennych nadmiaru Nieseparowalna funkcja celu Separowalna funkcja to taka, że można ją przedstawić jako sumę funkcji jednej zmiennej. Z funkcjami separowalnymi dużo łatwiej sobie radzić i problem rozwiązuje się szybciej.

16. Które funkcje są wypukłe?

17. Maksimum paru funkcji liniowych jest wypukłe

18. Minimax • Szczególnie „przyjazne” funkcje nieliniowe to takie, które można zapisać jako maksimum jednej lub wielu funkcji liniowych: • Jeżeli dany problem minimalizacji ma taką przyjazną funkcję celu, a region dopuszczalny jest taki, jak w ZPL, wówczas rozwiązanie tego problemu może być przedstawione jako ZPL • Problem minimax jednej zmiennej Problem z przyjazną funkcją ZPL

19. Z powrotem do problemu obsady poczty • Minimalizuj maksymalny nadmiar pracowników na dany dzień

20. Inny przykład „przyjaznej” funkcji celu • Przypuśćmy, że funkcją celu jest • Jak ją zmodyfikować, aby stała się liniowa? • Kluczowa obserwacja: , dla każdego j. • Musimy stworzyć tym razem 7 zmiennych zj • Nowa funkcja celu • Dodatkowe ograniczenia • Dla każdego optymalnego rozwiązania będzie zachodzić

21. Ułamkoweograniczenie • Przypuśćmy, żechcemyzapewnić, abyprzynajmniej 30% pracownikówmiałowolnąniedzielę. • Jakmożna to włączyć do modelu? • Ale to ograniczenie jest nieliniowe! • Zauważmy, żesumawszystkichpracowników jest dodatnia, dlategomożemyprzezniąpomnożyćobiestronynierówności • Wówczasotrzymujemyograniczenieliniowe:

22. Innemodyfikacjeobsadypoczty • Możemywymagać, żebykażdazmianamiałacałkowitąliczbępracowników • Zadanieprogramowaniacałkowitoliczbowego DYGRESJA: Modelowanieułamkowychczęścipracowników jest zupełnienierealistyczne. W praktycełatwosobie z tymporadzićzaokrąglającotrzymanerozwiązanie– jednaknależypamiętać, żeniezawsze da siędobrzezaokrąglić i dlatego, jeślimożna, lepiejrozwiązywaćzadanieprogramowaniacałkowitoliczbowego. • Możemyrozpatrywaćgrafiknadłuższyokres • Na przykład 6 tygodninaraz (pozwalanasprawiedliwszerozwiązanie – naprzykład w powyższymmodeluwiększośćpracownikównigdynie ma wolnejsoboty I niedzieli; w modelu z 6 tygodniaminaraz, możnazapewnić, żekażdypracownikbędziemiałwolnecałylubprzynajmniejczęśćweekendu) • Możemyrozpatrywaćkrótszygrafik • I modelowaćprzerwyna lunch • Możemywreszciemodelowaćpracownikówindywidualnie • Wprowadzającpreferencjepracowników (możnauczynićpracownikówbardziejszczęśliwymi, jeśli da sięimwolnewtedy, kiedypoproszą) Większośćpowyższychmodyfikacjiwymagaprogramowaniacałkowitoliczbowego, którerównieżbędziemyomawiaćnazajęciach.

23. Problem optymalizacyjny • Dany jest zbiór liczb. Rozdziel je na dwa zbiory tak, aby różnica sum liczb w obu grupach była jak najmniejsza. • Przykład: 7, 10, 13, 17, 20, 22 • Mogę je podzielić na {20,22} (suma 42) oraz {7, 10, 13, 17} (suma 47) • Różnica sum wynosi 5 • Czy możemy uzyskać lepszy wynik?

24. Ciekawezastosowanieprogramowaniamatematycznego – radioterapia

25. Wysokiedawkipromieniowania (energianajednostkęmasy) mogązabijaćkomórki i/lubuniemożliwiaćichrozwój i podział • Prawdziwezarównodlakomórekrakowych, jak i zdrowych • Radioterapia jest atrakcyjna, ponieważmechanizmynaprawczedziałająbardziejefektywnie w przypadkukomórekzdrowychniż w przypadkukomórekrakowych • Chodzitutaj o radioterapię a nie o stosowaniewiązekprotonów. • Niedawneosiągnięcia w obrazowaniu: • MRI (rezonansmagnetyczny) • CT Scan (tomografiakomputerowa) • -etc.

26. Rozwój w dziedzinienaświetlania • Tomoterapia • IMRT • Radioterapia jest terazdokonywanaprzezkomputer, którydostarczadużedawkipromieniowaniawiązkamipuszczanymi pod różnymikątami do mózgu.

27. Tradycyjnaradioterapia: • Ważne jest, abypuszczaćwiązki pod różnymikątami • W konwencjonalnejradioterapii: • 3 do 7 wiązek • Radioonkolog i lekarzogólnyustalająwspólniekąty I natężeniawiązek • Wszystkoodbywasięzapomocąmetodprób i błędów

28. Celem jest zmaksymalizowaniedawkipromieniowanianakomórkirakoweprzyjednoczesnymzminimalizowaniudawkinaobszarkrytyczny. • W mózgukażdanierakowakomórka jest krytyczna. W pozostałychczęściachciała, niektórekomórkisąbardziejkrytyczne od innych.