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Conceptos básicos de las Ecuaciones Diferenciales. 1.- ¿Que son las Ecuaciones Diferenciales? 2.- ¿Que es un orden? 3.- ¿A que se le llama grado? 4.- Clasificación y tipos de orden y grado. 5.- Solución. 6.- Solución parcial. 7.- Solución general. 8.- Interpretación geométrica.
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Conceptos básicos de las Ecuaciones Diferenciales 1.- ¿Que son las Ecuaciones Diferenciales? 2.- ¿Que es un orden? 3.- ¿A que se le llama grado? 4.- Clasificación y tipos de orden y grado. 5.- Solución. 6.- Solución parcial. 7.- Solución general. 8.- Interpretación geométrica. 9.- Trayectorias ortogonales. 10.- Existencia y unidad. 11.-Campo diferencial.
Las Ecuaciones Diferenciales proporcionan un medio eficaz tanto para resolver numerosas cuestiones practicas de ingeniería y ciencias en general, como problemas puramente matemáticos.
Las áreas que mas necesitan las Ecuaciones Diferenciadles : * Ingeniería * Física * Ciencias en general
1.- ¿Que son las Ecuaciones Diferenciales? Es una ecuación que contiene diferenciales o derivadas, puede ser ordinaria o parcial. Ordinaria:Si hay una sola variable independiente. Ejemplo: dy ----- = x +5 dx Parciales:Si hay dos o mas variables. Ejemplo: dz dz ------ = z + ------ dx dy
2.- ¿Que es un orden? Es el orden de la derivada de mayor orden que interviene en ella. Ejemplo: * Es de primer orden y´ - 2xy² + 5 = 0 * Es de segundo orden d²y dy --------- + 3 -------- + 2y = 0 dx² dx * Es de tercer orden y´´´ + 2(y´´)² = cos x
3.- ¿A que se le llama grado? Es el grado de la derivada de mayor orden que interviene en ella. Nota: Todos los ejemplos antes mencionados son de primer grado. d²y dy El grado mas alto es: ------------ = ------- d²2y el grado es dx² dx --------- 2º. dx²
4.- Clasificación y tipos de orden y grado 1.- Se llama solución general de una ecuación diferencial del primer orden a la función (contiene todas o casi todas las soluciones). y = φ ( x, C ) 2.- Todas función y = φ (x , C0 ) deducida de la solución general y = φ ( x, C ), dando a la constante C un valor determinado C = C0, , se llama solución particular (solución menos amplia que la solución general) Φ ( x, y, C0 ) = 0
5., 6., 7.-Solución dy x² + 5 ----- = ---------- y (1) = 7 dx y Solución: ∫ y dy = ∫ ( x² + 2 ) dx (7)² (1)³ ----- = ------ +2 (1) + C y² x³ 2 3 ----- = ----- + 2x + C 66.5 2 3 C= ------- Solución general 5 y² x³ 66.5 Primero se soluciona la ecuación diferencial ----- = ----- +2x + -------- después se saca el valor de la constante 2 3 5 ( C ), y después se escribe todo completo. Solución particular
8.- Interpretación geométrica Cualquier ecuación diferencial de primer orden y de primer grado se pude escribir así: dy ------- = F ( x, y ) dx Expresión que ase corresponder a cada punto ( x0, y0 ) una línea de pendiente ( dy/dx )0 = F (x0, y0 ). F ( x, y ) = m
9.- Trayectoria ortogonal Una curva C situada en un plano al que pertenece un sistema S de curvas es una Trayectoria ortogonal de S si cada punto de C es un punto donde C encuentra una curva de S bajo Angulo recto, y si cada intersección de C con una curva de S se efectúa ortogonalmente. imagen ortogonal
10.- Existencia y unidad Teoremas I.- una Ecuación Diferencial tiene, en una región S ,una solución única y = φ (x) satisfecha por (x0,y0) con tal de que (x0,y0)sea un punto interior de S y que F (x,y) y یF (x,y)/ یy sean reales, uniformes y continuas en S. Teorema II.- El sistema de Ecuaciones Diferenciales solo tiene una solución única satisfecha por los valores y = y0, z = z0, cuando x = x0, siempre que solamente se consideren los valores de x, y, z que pertenecen a los respectivos intervalos.
11.- Campo diferencial Distintos campos de realizar una ecuación diferencial: • Ecuaciones Diferenciales de primer orden de primer grado • Ecuaciones de primer orden de grado superior al primero • Ecuaciones Diferenciales con coeficiente constante • Transformación de Laplace • Resoluciones mediante series • Resolución numérica • Ecuaciones entre derivadas parciales
Referencias bibliografiítas 1.- Ecuaciones Diferenciales Mc Graw Hill L.M.Kells 2.- Calculo diferencial e integral Tomo II. Mir Moscú N.Piskunov 3.- Ecuaciones Diferenciales Mc Graw Hill Frank Ayres,Jr.
Esta presentación fue elaborada por: Estudiante del Ceti colomos Emmanuel Sánchez Solís Reg.:9110241
