Transformationen

Transformationen • Transformationsmodelle • Anwendung von Transformationen • Robuste Transformationen • Nachbarschaftstreue Anpassung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Transformationen in der Geodäsie • Aufgabe: Übergang von einem Koordinaten-system in ein anderes Koordinatenystem • Häufiger Fall: Von lokalem System in globales System und umgekehrt • z.B.: freie Stationierung, Abstecken • Bedeutung wächst mit GPS und GIS (länderübergreifende Auswertungen in EU) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

2D-Transformationen • Einfach und anschaulich • Übergang lokal  global und umgekehrt • Ausreichend für einfache Vermessung • Nicht mehr ausreichend für Wechsel des Bezugssystems, Photogrammetrie Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Situation bei Transformation • AusgangskoordinatensystemA • ZielkoordinatensystemB • nPunkte in A gegeben, davon mauch in B • Unterscheidung: A Kleinbuchstaben, B Großbuchstaben, also (x,y,z)  (X,Y,Z) • Gesucht: Koordinaten aller Punkte in B • Besteht aus 2 Schritten Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Bestimmung der Transformations-funktion und -Parameter • Voraussetzung: Genügend viele idente Punkte (in beiden Systemen bekannt) = Passpunkte • Transformationsfunktion für diese Punkte:(X,Y)= F(x,y) • Funktion abhängig von Problemstellung und Anzahl der Passpunkte Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Durchführung der Transformation • Umrechnung aller Punkte • Umrechnung der Passpunkte liefert Kontrolle • Anzahl kann sehr groß sein, also eventuell entsprechende Funktionen verwenden Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Bekannte Parameter • Bei Standardaufgaben oft Parameter bekannt • z.B.: Umrechnung von GPS-Koordinaten ins Landessystem • Problem: lokale Abweichungen (Klaffung) • Können mit weiterer (einfacher) Transformation bereinigt werden Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ähnlichkeitstransformation (1) • Auch: konforme Transformation oder (wenn überbestimmt) Helmert-Transformation • 4 Unbekannte: 2x Translation a und b, Maßstab m, Rotation um a um z-Achse • Transformationsgleichungen separat für X und Y: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ähnlichkeitstransformation (2) • Matrizenschreibweise • Rotationsmatrix: • führt zu Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ähnlichkeitstransformation (3) • Manchmal sinnvoll: Weglassen des Maßstabes  3-Parameter-Transformation (z.B. freie Stationierung) • Ähnlichkeitstransformation erhält die Gestalt transformierter Figuren, also • Gerade bleiben Gerade • Kreise bleiben Kreise • Parallele bleiben parallel • Winkel bleiben unverzerrt Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Affin-Transformation (1) • Erweiterung der Ähnlichkeitstrans-formation durch • Unterschiedliche Drehwinkel für die Achsen • Unterschiedliche Maßstäbe für die Achsen • Anwendung: Digitalisieren alter Pläne oder Karten (ungleichmäßiger Papierverzug) • Transformationsgleichungen: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Affin-Transformation (2) • Transformationsparameter: 2x Translation a und b, 2x Maßstab mx und my, 2x Rotation um z-Achse a und b • Form von Figuren bleibt nicht erhalten • Erhalten bleiben Geradlinigkeit und Parallelität • Vereinfachung: Nur ein Drehwinkel  5-Parameter-Transformation Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Polynomiale Transformation • Transformationsformel • Parameter sind geometrisch nicht zu deuten • Sinnvoll bei komplexen Verzerrungen • Problem: Wann wird abgebrochen? Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

3D-Ähnlichkeitstransformation (1) • Wichtig in Photogrammetrie, Koordinaten-transformation zwischen verschieden gelagerten Ellipsoiden, 3D-Messverfahren • Ausgangspunkt 3D-Koordinatensätze • Transformationsparameter: 3x Translation, 3x Rotation, 1x Maßstab Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

3D-Ähnlichkeitstransformation (2) • Zerlegung der Rotationsmatrix • Mit Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

3D-Ähnlichkeitstransformation (3) • Ausmultipliziert ergibt sich komplizierte 3x3-Matrix • Rotationsmatrix abhängig von der Drehreihenfolge! Angegebene Formeln: erst um x, dann um y, dann um z. • Auch bezeichnet als 7-Parameter-Transformation (Bursa-Wolf-Modell bei Übergang auf Schwerpunktskoordinaten) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

3D-Ähnlichkeitstransformation (4) • Bei kleinen Drehwinkeln Vereinfachung • sin x = x, cos x = 1, sin x . sin x = 0 • Ergibt Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

3D-Affin-Transformation • Transformationsgleichungen • 12 Unbekannte, also 4 Passpunkte nötig • Erhält Gradlinigkeit, Parallelität, Verhältnis • Ändert Form von Figuren • Kann Näherungswerte für Ähnlichkeitstrans-formation liefern Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Anwendung • Für Standardaufgaben Parameter bekannt (z.B. WGS84  GK M-34) • Problem: lokale Abweichungen nicht berücksichtigt  lokale Parameter bestimmen • Mehr Passpunkte als notwendig  Ausgleichungsaufgabe Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Helmert-Transformation (1) • Formelapparat • Parametervektor Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Helmert-Transformation (2) • Annahme: n Punkte im Ausgangssystem bekannt, davon p (≤ n) auch im Zielsystem bekannt (= Passpunkte) • Koordinaten im Zielsystem entsprechen den Beobachtungen Beobachtungs-gleichungen • Formal: vermittelnde Beobachtungen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Helmert-Transformation (3) • 4 Gleichungen: eindeutig = einfache Koordinatentransformation • >4 Gleichungen: überbestimmte Koordinatentransformation (Helmert) • Koeffizientenmatrix Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Helmert-Transformation (4) • Klassischer Fall: Gleiche Genauigkeit der Passpunkte  P=I • Lösung bekannt: • Schätzwert für Varianzfaktor • Qualität des Modells: Mittlere Klaffung des Punktes Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Helmert-Transformation (5) • Genauigkeitsangaben für m und a: Schwieriger weil gemeinsam bestimmt • Qxx liefert Varianzen für a bis d • m und a über Fehlerfortpflanzungsgesetz • Besondere Struktur der A-Matrix  Normalgleichungen können sofort angeschrieben werden Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Helmert-Transformation (6) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Kovarianzen für Helmert-Trafo • Kovarianzen für Passpunkte • Darf nicht singulär sein (z.B. aus freier Ausgleichung) • Weitere Rechnung nach Schema • Nur im Zielsystem so möglich • Kovarianzen im Ausgangssystem: Wolf schlägt vor zu verwenden (nur Näherung, liefert aber brauchbare Ergebnisse) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Prüfung der Ergebnisse • Hauptprobe (Gleichungen und Berechnung) • Berechnung der Klaffungen (Passpunkte) • Statistischer Test für grob falsche Passpunkte – Punkteverschiebung, -Verwechslung (Lenzmann 1984) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Statistischer Test • Ausgeglichene Zielkoordinaten L+v=Ax • Fehlerhafter Passpunkt Piführt zu L+v=Ax+Hiyi • v, x: neue Werte • Hiyi: Zuschlag zur Lösung • Prüfgröße:Fisher-verteilt mit f1=d und f2=n-u-d Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

3D-Helmert-Transformation (1) • 7-Parameter-Transformation  mindestens 3 Passpunkte notwendig (z.B. 2x Voll-, 1x Höhenpasspunkt) • Bei Überbestimmung: Näherungswerte kritisch • Lösung: Variante von Horn (1987), Gröbner-Basis • Vereinfachung: Kleine Rotationswinkel und kleine Maßstabsänderung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

3D-Helmert-Transformation (2) • Näherung für Rotationsmatrix: Einheitsmatrix • Näherung für Maßstab: 1 • Näherungswert für Translation aus beliebigem Passpunkt • Designmatrix für einen 3D-Punkt • Unbekanntenvektor: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

3D-Helmert-Transformation (3) • Matrix Ai für jeden Passpunkt aufgestellt und in Systemmatrix A zusammengefasst • Größere Drehwinkel: Verwendung der exakten Matrix notwendig  komplexe Ableitungen • Näherungswerte für Maßstab und Rotationen oft über affine Transformation – 4 Vollpasspunkte notwendig Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Transformationen für GPS Mathematisch korrekter Lösungsweg für Transformation ins Landessystem • Landeskoordinaten  3D-Koordinaten • Freie Ausgleichung der GPS-Messungen  WGS-84-Koordinaten • Bestimmung der Transformationsparameter • Transformation der GPS-Punkte • Umrechnung ins Landessystem Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Robuste Transformation • Bisher vorausgesetzt: Keine groben Fehler bei den Koordinaten der Passpunkte im Zielsystem • Robuste Verfahren können somit mit Punktverwechslungen u.ä. umgehen • Diskussion von • L1-Schätzung • LMS-Schätzung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

L1-Schätzung • Verlustfunktion mit s=1 • Leider nicht effizient  Elimination der Fehler durch L1, dann L2 • Minimumsproblem • Praktische Umsetzung:Simplex-Algorithmus Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

LMS-Schätzung (1) • Forderung • n Beobachtungen aus den u Unbekannten gewählt, sodass eindeutige Lösung möglich •  alle Verbesserungen berechnet, Median bestimmt • Lösung mit minimalem Wert ist gesuchte Lösung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

LMS-Schätzung (2) • Vorteile: • Frei von Einflüssen der Geometrie • Bis zu 50% fehlerhafte Daten möglich • Nachteil • Extrem hoher Rechenaufwand vonLösungen • Effiziente Algorithmen reduzieren Anzahl der zu berechnenden Lösungen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Nachbarschaftstreue Anpassung Methoden, bei denen auch bei Überbestimmung keine Klaffungen in den Passpunkten auftreten • Maschenweise Affin-Transformation • Abstandsgewichte • Multiquadratische Interpolation Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Maschenweise Affin-Transformation (1) • Zerlegung des Transformationsgebietes in Dreiecke • Passpunkte sind Eckpunkte der Dreiecke • Jeder zu transformierende Punkt wird einem Dreieck zugeordnet Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Maschenweise Affin-Transformation (2) • Jedes Dreieck hat 6 Bestimmungsstücke (3 Eckpunkte) • Affin-Transformation hat 6 Parameter • Daher eindeutige Lösung vorhanden  keine Klaffungen • Nachteil 1: Keine Kontrolle! • Nachteil 2: Linien zwischen Dreiecken verschieben sich Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Abstandsgewichte • Anpassungsbetrag für jeden Punkt in x- und y-Richtung • Berechnet aus Klaffungen der Passpunkte • Abstandsgewicht pij meist überbestimmt mit k=1 oder 1,5oder 2 • Versagt bei ungleichmäßiger Verteilung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Abstandsvektor des Punktes j Restklaffungen Stützpunktmatrix Multiquadratische Interpolation • Beruht auf n Interpolationsflächen vom Grad 2 (Hyperboloide) • Anpassungsbetrag • Produkt S-1v nur ein mal bestimmt, dann nur mehr eine Multiplikation pro Punkt • Trotzdem hoher Aufwand wenn viele Punkte Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Problem für die Zukunft Homogenisierung des Katasters • Komplexe Verzerrungsgeometrie • Topographie muss erhalten bleiben • Mindestgrößen sollten erhalten bleiben (Bauflächen, Wald - Eigenjagd) • Bezug zwischen homogenen Vermes-sungen und inhomogenem Kataster? Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Transformationen