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Koordinatensysteme und Transformationen

P 1. P 1. Koordinatensysteme und Transformationen. Inhalt. Koordinatensysteme Beschreibung von Positionen (Punkten) in 2D und 3D Mathematische Basis für computergraphische Algorithmen Transformationen Mathematische Beschreibung geometrischer Veränderungen von Objekten

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Koordinatensysteme und Transformationen

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  1. P1 P1 Koordinatensysteme und Transformationen

  2. Inhalt • Koordinatensysteme • Beschreibung von Positionen (Punkten) in 2D und 3D • Mathematische Basis für computergraphische Algorithmen • Transformationen • Mathematische Beschreibung geometrischer Veränderungen von Objekten • Einfache arithmetische Operationen • Repräsentation durch Matrizen • 2D und 3D • Projektionen • Übergang von nD nach (n-1)D – hier 3D nach 2D • Grundlage für Kameramodelle in der Computergraphik B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  3. Einführung Motivation: Koordinatensysteme und Transforma-tionen für die Abbildung von 3D-Modellen entsprechend einer Kameraposition Beispiele: • Weltkoordinaten → Kamerakoordinaten (3D-Modelle und Kamera in einheitliches Koordinatensystem überführen) • Projektion auf die Bildebene (Kamerakoordinaten → Bildkoordinaten) • Grundlagen: Geometrie und lineare Algebra • Ausgangspunkt: Beschreibung von Objekten durch Mengen von Eckpunkten und Kanten (Polygone bzw. Polyeder) B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  4. Einführung Skalare, Punkte und „Vektoren“ • Jeder Vektor (a,b,c) kann eindeutig in eine Linearkombination der Elemente der Basis des Vektorraumes zerlegt werden: • (a,b,c) = a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) • Skalare a, b und c sind die kartesischen Koordinaten des Vektors im System der Einheitsvektoren des euklidischen Koordinatensystems. • Die kartesischen Koordinaten eines Vektors sind die Projektionen dieses Vektors auf dieKoordinatenachsen. • Skalare sind reelle/komplexe Zahlen. Bei Transforma-tionen repräsentieren sie z.B. Drehwinkel und Skalie-rungsfaktoren. B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  5. Einführung Skalare, Vektoren und Matrizen • Skalare – 0-dimensional • Vektoren – 1-dimensional, n Komponenten • Matrizen – 2-dimensional, nxm Elemente Zusammenhang: • Komponenten eines Vektors bzw. Elemente einer Matrix sind Skalare. • Zeilen bzw. Spalten einer Matrix sind Vektoren. Warum Matrizen? Beschreibung von Transformationen (Trafo-Matrizen) B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  6. Einführung Implementierung: Graphikbibliotheken enthalten oft vordefinierte Strukturen bzw. Klassen für Punkte, Vektoren und Matrizen. Diese enthalten Methoden zum „Rechnen“ mit Vektoren. Beispiele: • Überladen von Operatoren zur Addition, Subtraktion • Bestimmung von Kreuz- und Skalarprodukt • Bestimmung der Größe eines Vektors OpenGL: typedef GLfloat point3[3]; point3 vertices [8] = {{-1.0, -1.0, -1.0}, {-1.0, 1.0, -1.0}, …}; B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  7. Einführung • Vektorraum: enthält Vektoren und Skalare. In einem Vektorraum sind Operationen definiert, die Vektoren v und Skalare s verknüpfen. Multiplikation: f(v x s) → v Addition: f(v1,v2) → v • Affiner Raum ist ein Vektorraum, der um Punkte p erweitert wird. Punkte können subtrahiert werden. Subtraktion: f (p1, p2) → v • Euklidischer Raum ist ein affiner Raum, in dem skalare Werte quantifiziert werden, wobei das euklidische Abstandsmaß benutzt wird. In der CG nutzen wir vorrangig euklidische Räume. B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  8. Einführung Identische Vektoren Addition von Vektoren B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  9. z c(0,0,1) (a,b,c) a(1,0,0) x b(0,1,0) y Koordinatensysteme Interpretation: • Ein Vektor hat keine Position. • Ausgehend von einem festen Punkt (z.B. o) definiert ein Vektor einen Punkt. • Vektor (a,b,c) kann als Punkt im Raum dargestellt werden, der dem Endpunkt eines Vektors (a, b, c) ausgehend vom Koordinatenursprung (0,0,0) entspricht. • Äquivalentes gilt für andersdimensionale Vektorräume n B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  10. Koordinatensysteme • Eine Menge (o, e1, e2, ..., en) bestehend aus einem Punkt o  An undder Basis (e1, e2, ...,en) von An heißt Koordinatensystem. • Für jeden Punkt p  An ist Ortsvektor von p • Komponenten von v heißen Koordinaten bezüglich (e1, e2, ..., en)d.h. p besitzt die Koordinaten (x1, x2, ..., xn): • Punkt o heißt Koordinatenursprung B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  11. Koordinatensysteme in der CG • zweidimensional • dreidimensional y x X- Richtung des Daumens Y- Zeigefinger Z- Mittelfinger Die beiden Koordinaten-systeme sind spiegelbildlich und nichtdurch Drehung ineinander zu überführen. y y z x x rechtshändigesKoordinatensystem linkshändigesKoordinatensystem z B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  12. Koordinatensysteme und Transformationen2. Transformationen in 2D

  13. Transformationen in 2D • Fragestellung: • Wie werden Bewegungen beschrieben? Wie berechnet man die Position von Objekten nach Bewegungen? • Bewegungen = Transformationen • Veränderung der Position von Punkten • Verschiebung = Translation • Größenveränderungen = Skalierung • Drehung = Rotation • Weitere affine Transformationen: • Spiegelung • Scherung B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  14. Transformationen in 2D: Translation • Punkt (x,y) wird auf gerade Linie nach (x‘, y‘) verschoben. • Beschreibung der Translation durch einen Vektor (dx,dy), der die Verschiebungsweite in x- und y-Richtung angibt • Addition des Verschiebungs-vektors • Noch eine Interpretation von Vektoren: Beschreiben den Weg bzw. die Linie von P1 zu P2 (x‘,y‘) (dx,dy) dy (x,y) dx B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  15. Transformationen in 2D: Skalierung Uniforme Skalierung • Zentrum der Skalierung ist o, Skalierung erfolgt in alle Richtungen uniform mit dem skalaren Faktor a. • Ortsvektor zu (x,y) wird auf das a-fache verlängert, um (x‘,y‘) zu erhalten • Multiplikation mit dem Skalierungsfaktor (x‘,y‘) (x,y) B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  16. Transformationen in 2D: Skalierung Nicht-uniforme Skalierung • Zentrum der Skalierung ist o, Skalierung erfolgt in x-Richtung mit dem Faktor a, in y-Richtung mit b (Skalierungsvektor (a, b)T) • Ortsvektor zu (x,y) wird auf das a-fache in x-Richtung und das b-fache in y-Richtung verlängert. • Multiplikation mit entsprechenden Skalierungsfaktoren (x‘,y‘) (x,y) B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  17. Transformationen in 2D: Rotation • Rotationszentrum ist o. • Punkt (x,y) wird um den Winkel a um o gedreht, so dass sich der Punkt (x‘,y‘) ergibt. • Positive Werte von a ergeben eine Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn. (x‘,y‘) (x,y) a B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  18. Transformationen in 2D: Rotation • Herleitung der Berechnungsvorschrift: Entfernung r vom Ursprung zu (x,y) bzw. (x‘,y‘) bleibt unverändert. Nutzung von Additionstheoremen für Winkelfunktionen. y (II) (I) (III) (IV) (x‘,y‘) r (I) In (III) und (II) in (IV) einsetzen: (x,y) r a f r cosf r cos(a + f) x B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  19. Transformationen in 2D: Rotation • Berechnungsvorschrift • Kann als Matrix-Vektormultiplikation ausgedrückt werden: • Rotationen um negative Winkel erfolgen mit dem Uhrzeigersinn; ausnutzen: cos(-a)=cos(a) und sin(-a)=-sin(a) B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  20. Transformationen in 2D: Zwischenergebnis • Translation: Addition des Verschiebungsvektors • Skalierung: Multiplikation des Skalierungsfaktors • Rotation: Matrixmultiplikation • Keine einheitliche Behandlung! • Schwierig bei zusammengesetzten Transformationen! • Einheitliche Repräsentation von Transformationen gesucht → Homogene Koordinaten B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  21. Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten • Ein Koordinatensystem wird in ein homogenes Koordinatensystem überführt, indem eine zusätzliche Dimension eingeführt wird: n n+1 Dimensionen. • Ein Punkt (x, y) wird in homogenen Koordinatendurchdas Tripel (x·w, y·w,w) repräsentiert, mit w0. • Normalisierte Darstellung: w = 1(x, y,1) • Jeder Punkt hat unendlich viele äquivalenteRepräsentationen in homogenen Koordinaten. • Achtung: Homogene Koordinaten von 2D-Punkten nicht mit „normalen“ 3D-Koordinaten verwechseln! B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  22. ? Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten Vorteile: • Repräsentation aller Punkte in homogenen Koordinaten ermöglicht einheitliche Behandlung der Transformationen • Fragen: • Was steht für das Fragezeichen? • Welche Operation ist *? • Antwort: • Transformationen werden als Matrizen repräsentiert • Verknüpfung durch Multiplikation B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  23. Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten • Translation • Vorher: Addition eines Vektors • Jetzt: Multiplikation mit einer Translationsmatrix • Skalierung • Vorher: komponentenweise Multiplikation mit Skalierungsfaktoren • Jetzt: Multiplikation mit einer Skalierungsmatrix B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  24. Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten • Rotation • Vorher: komplexe Gleichung oder Matrixmultiplikation • Jetzt: Multiplikation mit einer Rotationsmatrix • Allgemeine 2D-Transformationsmatrix Skalierung Rotation Translation B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  25. Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten Inverse Transformationen: • Frage: Wie macht man Transformationen rückgängig (was sind die inversen Transformationen)? • Für elementare Transformationen einfach: • Translation: Verschiebung um den negativen Verschiebungsvektor T-1(dx, dy) = T(-dx, -dy) • Skalierung: Skalierung mit dem reziproken Skalierungsfaktor S-1(a) = S(1/a) • Rotation: Rotation um den negativen Rotationswinkel. Da aber Rotationsmatrizen orthogonal sind, gilt R-1 = RT. B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  26. Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten Zusammengesetzte Transformationen • Nacheinanderausführung zweier Translationen • Translation ist additiv, d.h. Ergebnis ist eine Verschiebung um die Summe beider Vektoren • Nacheinanderausführung zweier Skalierungen • Skalierung ist multiplikativ, d.h. Ergebnis ist eine Skalierung um das Produkt der beiden Faktoren.   B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  27. Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten • Nacheinanderausführung zweier Rotationen • Rotation ist additiv. • Allgemein: Homogene Koordinaten • Ermöglichen Vereinheitlichung und Kombination aller geometrischen Transformationen • Schreibweise • Transformationen werden in der Reihenfolge T1, T2, ..., Tn ausgeführt  P‘=Tn·...·T2·T1·P B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  28. P1 P1 Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten Zusammensetzen von Transformationen • Rotation eines Punktes um einen beliebigen Punkt P1 in der Ebene • Ausführung in drei Schritten • Translation, so dass P1 im Ursprung liegt • Rotation um den Ursprung • Rück-Translation von P1 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  29. Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten Zusammensetzen von Transformationen • Zerlegung von komplizierten Transformationen in elementare Transformationen • Repräsentation der Gesamt-Transformation durch eine Matrix möglich B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  30. Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten Zusammensetzen von Transformationen: • Aber: Matrixmultiplikation ist i.a. nicht kommutativ! • Das bedeutet: Reihenfolge der Transformationen ist ausschlaggebend für das Ergebnis • also: Tn...T2T1P  T1T2...TnP  T2Tn...T1P wenn die Ti voneinander verschiedene Transformationen sind • Allerdings in einigen Fällen besteht Kommutativität: • Nacheinanderausführung von Translationen • Nacheinanderausführung von Skalierungen • Nacheinanderausführung von Rotationen B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  31. Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten Weitere Transformationen: • Spiegelung • an der x-Achse • an der y-Achse • wird implementiert als Skalierung mit dem Faktor -1 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  32. Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten Weitere Transformationen: • Scherung • Versatz parallel zur x-Achse, proportional zur y-Position (bzw. umgekehrt) • in x-Richtung • in y-Richtung (x,y) (x‘,y‘) B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  33. Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten Affine Transformationen • Jede Sequenz von Rotation, Translation und Skalierung erhält die Parallelität von Linien, aber nicht Längen und Winkel. • Solche Transformationen heißen affine Transformationen. B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  34. Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten Affine Abbildungen sind: • Geradentreu. Das Bild einer Geraden ist wieder eine Gerade. • Parallelentreu. Parallele Geraden haben parallele Bildgeraden. • Teilverhältnistreu. Dem Teilverhältnis auf einer Geraden entspricht das Teilverhältnis auf der Bildgeraden. • Bsp: Wenn Punkt C Strecke AB im Verhältnis 1:2 teilt, dann liegt C´auf A´B´und teilt A´B´im gleichen Verhältnis. Affine Abbildungen sind: • nicht verhältnistreu in Bezug auf Teilflächen • Bsp: Wenn ein Punkt D das Dreieck ABC in drei gleich große Dreieck ABD, ACD und BCD teilt, dann ist das Verhältnis der Flächen von A´B´D´zu A´C´D´zu B´C´D´im allgemeinen nicht 1:1:1. • nicht längentreu • nicht winkeltreu • nicht flächentreu. C D A B B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  35. Koordinatensysteme und Transformationen3. Transformationen in 3D

  36. 3D Transformationen • Vorgehensweise gleich zu 2D • Repräsentation in homogenen Koordinaten (4D) • Transformationsmatrizen demzufolge 44-Matrizen B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  37. 3D Transformationen: Matrizen • Translation • Addition eines Translationsvektors bzw. Multiplikation mit einer Translationsmatrix • Skalierung • Multiplikation mit Skalierungsfaktoren bzw. Multiplikation mit einer Skalierungsmatrix uniforme Skalierung, wenn sx=sy=sz, sonst Nicht-uniforme Skalierung B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  38. 3D Transformationen: Matrizen • Rotation • Rotationen um die verschiedenen Koordinatenachsen müssen betrachtet werden. • 3 verschiedene Rotationsmatrizen (Rotation um positive Winkel in rechtshändigem Koordinatensystem) • Achse, um die gedreht wird, bleibt „Einheitsvektor“ in der Matrix B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  39. 3D Transformationen: Matrizen Warum unterschiedliche Vorzeichen bei den Winkeln (Sinus)? Gegenüber der 2D-Herleitung, Spiegelung an der x-Achse  (x, -y)  (sin α = - sin (-α), cos(-α) = cos α y x x rechtshändigesKoordinatensystem z z B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  40. 3D Transformationen: Matrizen • Überführung rechtshändiges in linkshändiges Koordinatensystem (Spiegelung) B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  41. 3D Transformationen: Matrizen Zusammensetzen von Transformationen • auch über Multiplikation der Matrizen • generelle Transformationsmatrix in 3D Skalierung Rotation Translation B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  42. 3D Transformationen: Matrizen Matrizen werden in der CG benötigt für Transformationen der Szene in Kamerakoordinaten und Projektionen. Realisierung in OpenGL: In OpenGL wird die Spezifikation dieser Matrizen (4x4, homogene Koordinaten) unterstützt; alle Matrizen werden einheitlich gehandhabt. Der glMatrixMode spezifiziert, auf welche Matrix sich die folgenden Kommandos beziehen. glLoadIdentity () setzt Matrix auf die Einheitswerte glLoadMatrixf (matrixPointer) lädt die Matrix mit dem angege- benen Feld (1D, 16 Werte) glMultMatrixf (matrixPointer) multipliziert aktuelle Matrix mit der angegebenen glPushMatrix(), glPopMatrix() Matrix auf einem Stack ablegen bzw. vom Stack holen. B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  43. 3D Transformationen: Matrizen Realisierung in OpenGL: glTranslatef (v1, v2, v3) multipliziert aktuelle Matrix mit einer Translationsmatrix glRotatef (ang, ref1, ref2, ref3) multipliziert aktuelle Matrix mit einer Rotationsmatrix. Rotation um (ref1; ref2; ref3) und den Winkel „ang“. Beispiel: glPushMatrix(); // aktuelle Matrix auf dem Stack sichern glMatrixMode (GL_MODEL_VIEW); // Welche Matrix? glLoadIdentity(); // Initialisierung glTranslatef (4.0, 5.0, 3.0);// Translation glRotatef (45.0,1.0, 0.0, 0.0);// Rotation um x-Achse glTranslatef (-4.0, -5.0, -3.0); // Rücktranslation glPopMatrix(); // Matrix rekonstruieren Reihenfolge: Alle Manipulationen der Matrizen sind postmultiplikativ. B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  44. Koordinatentransformationen • Bisher: Transformation von Punkten in neue Punkte bei konstantem Koordinatensystem(„geometrische Transformationen“) • Äquivalente Sichtweise: Wechsel des Koordinatensystems bei konstantem geometrischen Objekten(„Koordinatentransfor-mationen“) • Allgemein gilt: • Geometrische Transformationen und entsprechende Koordinatentransformationen sind invers zueinander! • Computergraphik: • Geometrische Objekte oft in lokalem „bequemem“ Koordinatensystem definiert („Objekt-Koordinatensystem“) • Koordinatentransformation in Weltkoordinaten gibt Lage des Objekts in der Szene wider. B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  45. Zusammenfassung Transformationen • Geometrische Transformationen sind lineare Abbildungen vom n in den n • für uns von besonderem Interesse 2  2 und 3  3 • Für Computergraphik relevant: • Translation • Skalierung • Rotation • Scherung, Spiegelung • Einheitliche Behandlung der Transformationen durch Übergang zu homogenen Koordinaten und zur Darstellung der Transformationen durch Matrizen B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

  46. Zusammenfassung Transformationen • Zusammengesetzte Transformationen durch Hintereinanderausführen von elementaren Transformationen, entspricht Multiplikation der Matrizen. • Transformation der Objekte oder des Koordinaten-systems B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme

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