13 Entwicklung des Könnens im Arbeiten mit Funktionen 13.1 Bestandteile des Könnens

1. 13 Entwicklung des Könnens im Arbeiten mit Funktionen13.1 Bestandteile des Könnens • Kenntnis von Grundbegriffen • Kenntnis der Definition und wichtiger Eigenschaften folgender Funktionen: • lineare Funktionen, insbesondere direkte Proportionalität • quadratische Funktionen • Potenzfunktionen, insbesondere umgekehrte Proportionalität • Exponentialfunktion • Winkelfunktionen • Können im Arbeiten mit Graphen • Fähigkeiten im funktionalen Denken • Können in der Anwendung von Mitteln der Differentialrechnung zur Untersuchung von Funktionseigenschaften

2. 13.2 Zum Funktionsbegriff • historische Entwicklung des Funktionsbegriffs 1. Etappe (18. Jhd.): LEIBNIZ, BERNOULLI, EULER Dominanz inhaltlicher Aspekte: Beschreibung von Abhängigkeiten zwischen Größen, Funktion als analytischer Ausdruck, stetige Funktionen 2. Etappe (19. Jhd.): FOURIER, LOBACEVSKIJ, HANKEL, DIRICHLET, erste Formalisierung, Beschränkung auf Zahlen 3. Etappe (Ende 19. Jhd.): CANTOR, DEDEKIND, allgemeine mengentheoretische Fassung • Entwicklung des Funktionsbegriffs beim Schüler stufenweise als Wechselverhältnis inhaltlicher und formaler Aspekte • Phasen der Entwicklung: • Kl. 1 bis 7: Propädeutik: Nachfolger, Tabellen, Abhängigkeiten, direkte und umgekehrte Proportionalität, geometrische Abb. • Kl. 8: Wort „Funktion“, Übergang zur formalen Ebene • Kl. 8/9: Dominanz des formalen Arbeitens, lin. und quadrat. Fkt. • Kl. 10: wieder stärkere Betonung inhaltlicher Aspekte, Potenz-, Exponential - und Winkelfkt., Systematisierung der Fkt.

3. Aspekte des Funktionsbegriffs • Modellaspekt:Mit Funktionen können reale Zusammenhänge und Abhängigkeiten zwischen Größen beschrieben werden. • kausaler Aspekt: Mit einer Funktion f kann die Abhängigkeit einer Größe Y von einer Größe X bzw. der Zusammenhang zwischen zwei Größen beschrieben werden; y ist eine Funktion von x.Die Abhängigkeit gilt nur unter bestimmten Bedingungen. • Veränderungsaspekt: Bei einer Veränderung von x verändert sich auch y. • algorithmischer Aspekt:f(x) ist eine Vorschrift, mit der aus einem Eingabewert x ein Ausgabewert y entsteht. x „Maschinenmodell“: f(x) y

4. Darstellungsaspekt:Eine Funktion kann verbal, durch eine Tabelle, ein Pfeildiagramm, einen Graphen oder eine Gleichung mit zwei Variablen dargestellt werden. • formaler (mengentheoretischer) Aspekt:Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung von Elementen einer Menge X zu Elementen einer Menge Y. • weitere Probleme • Funktion als Zuordnung oder Abbildung • Begriffe Argument, Stelle • Schreibweisen, Bezeichnungen • „Anstieg“ oder „Steigung“, wachsen, steigen, fallen • Funktionale und stochastische Zusammenhänge

5. 13.3 Entwicklung des grafischen Könnens • Teilhandlungen: • Arbeit mit einem Koordinatensystem • Zuordnung der Größen zu den Achsen: Erkennen der abhängigen Größe • Festlegen eines Maßstabes • Berechnen und Eintragen der Achseneinteilungen • Eintragen und Ablesen von Punkten • Skizzieren eines Graphen zu einem Sachverhalt • Zeichnen ausgewählter Punkte • Erkennen der Änderung von y bei Änderung von x • Erkennen der Änderungsrate und Zuordnen eines entsprechenden Anstiegs • Erkennen der Veränderung der Änderungsrate und Zeichnen einer entsprechenden Krümmung

6. Lesen und Interpretieren eines Graphen • Erkennen der auf den Achsen dargestellten Größen und der Einteilung der Achsen • Ablesen von zugeordneten x- und y-Werten • Schätzen bzw. Berechnen von Anstiegen • Deuten des Anstieges bei realen Zusammenhängen als Verhältnis von Größen • Deuten von Krümmungen als Änderung des Wachstumsverhaltens • Vergleichen von zwei Graphen • gedankliches Entlanggehen auf Parallelen zur x- bzw. y-Achse und deuten der dabei durchlaufenen Werte, Verlauf eines Graphen oberhalb oder unterhalb bzw. rechts oder links vom anderen Graphen deuten • Vergleichen von Anstiegen und Krümmungen • Deuten der Schnittpunkte der Graphen • Geeignete Aufgabenstellungen • Bewegungsvorgänge • Füllvorgänge

7. 13.4 Entwicklung des funktionalen Denkens • Begriff:Erkennen, Erfassen und Anwenden der Abhängigkeit der Veränderung einer Veränderlichen von der Veränderung einer anderen Veränderlichen • Teilhandlungen: • Erkennen der Veränderung von y bei Veränderung von x • Finden einer Möglichkeit x so zu verändern, dass sich y in gewünschter Weise ändert • Erkennen von Sonder- und Grenzfällen • Erkennen von Zusammenhängen in der Realität durch funktionale Betrachtungen • Möglichkeiten: • Funktionale Betrachtungen zu Formeln • Arbeit mit beweglichen Figuren in der Geometrie • Untersuchung von proportionalen Zusammenhängen • Funktionale Betrachtungen zu linearen Funktionen • Funktionale Betrachtungen zu Potenzfunktionen (Ähnlichkeit)

8. Etappe:Leibniz (1646 – 1716), J. Bernoulli (1667 – 1748) , Euler (1707 – 1783) • Die Tangenten an eine Kurve verrichten eine Funktion, sie hängen von den Punkte der Kurve ab, sie sind eine Funktion der Punkte. Leibniz 1692, 1694 • „Man nennt Funktion einer veränderlichen Größe eine Größe, die auf irgendeine Weise aus eben dieser veränderlichen Größe und Konstanten zusammengesetzt ist.“ J. Bernoulli, 1718 • „Eine Funktion einer veränderlichen Größe ist ein analytischer Ausdruck, der in beliebiger Weise aus dieser veränderlichen Größe und aus Zahlen oder konstanten Größen zusammengesetzt ist.“ L. Euler, 1748 • „Sind nun Größen auf die Art voneinander abhängig, dass keine davon eine Veränderung erfahren kann, ohne zugleich eine Veränderung in der anderen zu bewirken, so nennt man diejenige, deren Veränderung man als die Wirkung von der Veränderung der anderen betrachtet, eine Funktion von dieser. ... Wenn also x eine veränderliche Größe bedeutet, so heißen alle Größen, welche auf irgendeine Art von x abhängen oder dadurch bestimmt werden, Funktionen von x...“ L. Euler, 1755

9. Etappe:Fourier (1768 – 1830), Lobačevskij (1792 – 1856), Hankel (1839 – 1873) • Der allgemeine Begriff erfordert, dass eine Funktion von x eine Zahl genannt wird, die für jedes x gegeben ist und sich fortschreitend mit x ändert. Lobačevskij, 1834 • „Eine Funktion heißt y von x, wenn jedem Werte innerhalb eines gewissen Intervalls ein bestimmter Wert von y entspricht; gleichviel, ob y in dem ganzen Intervalle nach demselben Gesetze von x abhängt oder nicht; ob die Abhängigkeit durch mathematische Operationen ausgedrückt werden kann oder nicht.“ H. H. Hankel, 1870 • EtappeCantor (1829 – 1920), Dedekind (1831 – 1916)Funktionen als bestimmte Teilmenge des Kreuzproduktes zweier beliebiger Mengen