KONSEP DASAR PROBABILITAS

KONSEP DASAR PROBABILITAS Pokok Bahasan ke-5

Pengantar : • Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang sulit diketahui dengan pasti, terutama kejadian yang akan datang. • Meskipun kejadian-kejadian tersebut tidak pasti, tetapi kita bisa melihat fakta-fakta yang ada untuk menuju derajat kepastian atau derajat keyakinan bahwa sesuatu akan terjadi. • Derajat / tingkat kepastian atau keyakinan dari munculnya hasil percobaan statistik disebut Probabilitas (Peluang), yang dinyatakan dengan P.

Konsepdandefinisidasar • Eksperimen/percobaan probabilitas adalah segala kegiatan dimana suatu hasil (outcome) diperoleh. • Ruang sampel adalah himpunan seluruh kemungkinan outcome dari suatu eksperimen/percobaan. Biasanya dinyatakan dengan S. Banyaknya outcome dinyatakan dengan n(S). • Peristiwa/kejadian adalah himpunan bagian dari outcome dalam suatu ruang sampel.

Contoh : • Dilakukaneksperimen, yaitudiperiksa 3 buahsikringsatupersatusecaraberurutandanmencatatkondisisikringtersebutdenganmemberinotasi B untuksikring yang baikdan R untuksikring yang rusak. • Makaruangsampelpadaeksperimenprobabilitaspemeriksaantersebutadalah S = {BBB, BBR, BRB, RBB, BRR, RBR, RRB, RRR}. Jumlah outcome dalamruangsampel S adalah n(S) = 23 = 8. • Jika A menyatakanperistiwadiperolehsatusikring yang rusak, maka A = {BBR, BRB, RBB}. Jumlah outcome dalamruangperistiwaadalah n(A) = 3.

Definisiprobabilitas • Bila kejadian A terjadi dalam m cara dari seluruh n cara yang mungkin terjadi dan masing-masing n cara itu mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul, maka probabilitas kejadian A, ditulis P(A), dapat dituliskan :

Sifat-sifatprobabilitaskejadian A : • 0  P(A)  1 , artinya nilai probabilitas kejadian A selalu terletak antara 0 dan 1 • P(A) = 0, artinya dalam hal kejadian A tidak terjadi (himpunan kosong), maka probabilitas kejadian A adalah 0. Dapat dikatakan bahwa kejadian A mustahil untuk terjadi. • P(A) = 1, artinya dalam hal kejadian A, maka probabilitas kejadian A adalah 1. Dapat dikatakan bahwa kejadian A pasti terjadi.

Contoh (1): • Sebuah koin dilemparkan dua kali. Berapakah probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Muka? Jawab : • Misal M = Muka , B = Belakang • Ruang sampel untuk percobaan ini adalah S = {MM, MB, BM, BB} • Kejadian A = muncul paling sedikit satu Muka adalah A = {MM, MB, BM} Jadi, • Probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Muka adalah

Contoh (2): • Suatu campuran kembang gula berisi 6 mint, 4 coffee, dan 3 coklat. Bila seseorang membuat suatu pemilihan acak dari salah satu kembang gula ini, carilah probabilitas untuk mendapatkan : (a) mint, dan (b) coffee atau coklat. Jawab : • Misal, M = mint , C = coffee , T = coklat (a). Probabilitas mendapatkan mint = (b). Probabilitas mendapatkan coffee atau coklat =

Probabilitaskejadianmajemuk (1): • Bila A dan B kejadian sembarang pada ruang sampel S, maka probabilitas gabungan kejadian A dan B adalah kumpulan semua titik sampel yang ada pada A atau B atau pada keduanya.

Probabilitaskejadianmajemuk (2): • Bila A, B, dan C kejadian sembarang pada ruang sampel S, maka probabilitas gabungan kejadian A, B, dan C adalah :

Contoh : • Kemungkinanbahwa Ari lulus ujianmatematikaadalah 2/3 dankemungkinania lulus bahasainggrisadalah 4/9. Bilaprobabilitas lulus keduanyaadalah 1/4, berapakahprobabilitas Ari dapat paling tidak lulus salahsatudarikeduapelajarantersebut? Jawab : • Bila M adalahkejadian lulus matematika, dan B adalahkejadian lulus bahasainggris, maka : Probabilitas Ari lulus salahsatupelajarantersebutadalah : P(M  B) = P(M) + P(B) – P(M  B) = 2/3 + 4/9 – 1/4 = 31/36

Contoh: • Sebuah sistem sembarang seperti terlihat pada gambar di bawah tersusun atas tiga tingkat. Sistem ini akan bekerja dengan baik jika ketiga tingkatnya berjalan dengan baik. Misal seluruh unit dalam setiap tingkat saling bebas dan masing-masing berjalan baik. Diketahui P(A) = 0,7; P(B) = 0,7 ; P(C ) = 0,9 ; P(D) = 0,8 ; P(E) = 0,6 ; P(F) = 0,6 ; dan P(G) = 0,6. Hitunglah probabilitas sistem berjalan dengan baik.

Jawab: • P(T1) = P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) = P(A) + P(B) – P(A).P(B) = 0,7 + 0,7 – (0,7)(0,7) = 0,91 • P(T2) = P(C  D) = P(C).P(D) = (0,9)(0,8) = 0,72 • P(T3) = P(EF G) = P(E) + P(F) + P(G) – P(EF) – P(EG) – P(FG) + P(EF G) = P(E) + P(F) + P(G) – P(E).P(F) – P(E).P(G) – P(F).P(G) + P(E).P(F).P(G) = 0,6 + 0,6 + 0,6 – (0,6)(0,6) – (0,6)(0,6) – (0,6)(0,6) + (0,6)(0,6) (0,6) = 0,936 • Jadi, P(sistemberjalanbaik) = P(T1  T2  T3) = P(T1).P( T2).P( T3) = (0,91).(0,72).(0,963) = 0,613. Artinyasistemtersebutsecarakeseluruhanmemiliki 61,3% kemungkinandapatberjalandenganbaik.

Duakejadiansalinglepas (disjoint events atau mutually exclusive): • Bila A dan B dua kejadian saling lepas, maka berlaku : • Bila A, B, dan C tigakejadiansalinglepas, makaberlaku :

Contoh : • Berapakahprobabilitasmendapatkan total 7 atau 11 bilasepasangdadudilemparkan? Jawab : • Bila A adalahkejadiandiperoleh total 7, maka A = {(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)} • Bila B adalahkejadiandiperoleh total 11, maka B = {(5,6), (6,5)} • Sehinggaprobabilitasmendapatkan total 7 atau 11 adalah : P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) = 6/36 + 2/36 – 0 = 8/36

Duakejadiansalingkomplementer: • Bila A dan A’ dua kejadian dalam S yang saling komplementer, maka berlaku :

Contoh: • Padapelemparanduadadu, jika A adalahkejadianmunculnyamukadadusama, hitunglahprobabilitasmunculnyamukaduadadu yang tidaksama. Jawab : • Misal A = kejadianmunculnyamukaduadadu yang sama = {(1,1), (2,2) , (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} maka P(A) = 6/36 • Sehingga, Probabilitasmunculnyamukaduadadu yang tidaksama= P(A’) adalah: P(A’) = 1 – P(A) = 1 – 6/36 = 30/36

Duakejadiansalingbebas (independent): • Dikatakan saling bebas artinya kejadian itu tidak saling mempengaruhi. • Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan saling bebas, jika kejadian A tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian B dan sebaliknya kejadian B tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian A. • Bila A dan B dua kejadian saling bebas, berlaku :

Contoh: • Pada pelemparan dua uang logam secara sekaligus, apakah kejadian munculnya muka dari uang logam pertama dan uang logam kedua saling bebas? Jawab : • Ruang sampel S = {(m,m), (m,b), (b,m), (b,b)} • Misalkan, A = kejadian muncul muka dari uang logam 1  P(A) = 2/4 = ½ = {(m,m), (m,b)} B = kejadian muncul muka dari uang logam 2  P(B) = 2/4 = ½ = {(m,m), (b,m)} A  B = kejadian muncul dua muka dari uang logam 1 dan 2 = {(m,m)}  P(A  B) = ¼ • Bila A dan B saling bebas berlaku : P(A  B) = P(A). P(B) ¼ = ½ . ½ ¼ = ¼ Jadi, A dan B saling bebas.

Probabilitasbersyarat (conditional probability): • Adalah probabilitas suatu kejadian B terjadi dengan syarat kejadian A lebih dulu terjadi atau akan terjadi atau diketahui terjadi. • Ditunjukkan dengan P(BA) yang dibaca “probabilitas dimana B terjadi karena A terjadi”

Contoh (1): • Misalkan dipunyai kotak berisi 20 sekering, 5 diantaranya rusak. Bila 2 sekering diambil dari kotak satu demi satu secara acak tanpa mengembalikan yang pertama ke dalam kotak. Berapakah peluang kedua sekering itu rusak? • Jawab : Misalkan A = kejadian sekering pertama rusak B = kejadian sekering kedua rusak Maka peluang kedua sekering itu rusak = P(A  B) P(A  B) = P(A). P(BA) = 5/20 . 4/19 = 1/19

Contoh (2): • Berdasarkan hasil 100 angket yang dilakukan untuk mengetahui respon konsumen terhadap pasta gigi rasa jeruk (J) dan pasta gigi rasa strawbery (S), diperoleh informasi sebagai berikut : 20 pria menyukai rasa jeruk, 30 wanita menyukai rasa jeruk, 40 pria menyukai rasa strawbery, dan 10 wanita menyukai rasa strawbery. • Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa strawbery? • Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa jeruk? • Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa jeruk, berapa probabilitas ia adalah pria? • Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa strawbery, berapa probabilitas ia adalah wanita?

Jawab: Misal W = Wanita, R = Pria, S = pasta gigi rasa Strawbery, dan J = pasta gigi rasa jeruk. Jadi, • Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa strawbery adalah • Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa jeruk adalah • Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa jeruk, berapa probabilitas ia adalah pria adalah • Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa strawbery, berapa probabilitas ia adalah wanita adalah

S B A1 A2 A3 AturanBayes : • Misalkan A1, A2, dan A3 adalah tiga kejadian saling lepas dalam ruang sampel S. • B adalah kejadian sembarang lainnya dalam S.

probabilitaskejadian B adalah : P(B) = P(BA1). P(A1) + P(BA2). P(A2) + P(BA3). P(A3) = disebut Hukum Probabilitas Total

Secara umum, bila A1, A2, A3, …, An kejadian saling lepas dalam ruang sampel S dan B kejadian lain yang sembarang dalam S, maka probabilitas kejadian bersyarat AiB dirumuskan sebagai berikut : disebut Rumus Bayes (Aturan Bayes).

Contoh: • Misalkan ada tiga kotak masing-masing berisi 2 bola. Kotak 1 berisi 2 bola merah, kotak 2 berisi 1 bola merah dan 1 bola putih, dan kotak 3 berisi 2 bola putih. Dengan mata tertutup Anda diminta mengambil satu kotak secara acak dan kemudian mengambil 1 bola secara acak dari kotak yang terambil itu.. • Berapakah peluang bola yang terambil berwarna merah? • Berapakah peluang bola tersebut terambil dari kotak 2?

Jawab • P(bola yang terambil berwarna merah) = • P(bola merah tersebut terambil dari kotak 2) =

Soal 1: • Sebuah kotak berisi 8 bola merah, 7 bola putih, dan 5 bola biru. Jika diambil 1 bola secara acak, tentukanlah probabilitas terpilihnya bola : • Merah • Tidak biru • Merah atau putih

Soal 2: • Dari 10 orang staf bagian pemasaran PT. Rumah Elok, diketahui : Sarjana teknik pria 1 orang, Sarjana teknik wanita 3 orang, , dan Sarjana ekonomi pria 2 orang, dan Sarjana ekonomi wanita 4 orang Dari 10 staf tersebut dipilih secara acak 1 orang untuk menjadi manajer pemasaran. • Berapa peluang A, jika A menyatakan kejadian bahwa manajer adalah seorang wanita? • Berapa peluang B, jika B menyatakan kejadian bahwa manajer adalah seorang sarjana teknik? • Hitunglah P(AB). • Hitunglah P(AB).

Soal 3: • Ada 3 kotakyaitu 1, 2, dan 3 yang masing-masingberisi bola merahdanputih, seperti yang dituliskandalamtabeldibawahini Mula-mulasatukotakdipilihsecaraacak, kemudiandarikotak yang terpilihdiambil 1 bola jugasecaraacak. Tiapkotakmempunyaikesempatan yang samauntukterpilih. • Berapapeluangbahwa bola itumerah ? • Berapapeluangbahwa bola ituputih ? • Bila bola terpilihmerah, berapapeluangbahwa bola tersebutdarikotak 1? • Bila bola terpilihputih, berapapeluangbahwa bola tersebutdarikotak 2?

Soal 4 • Sebuah sistem mekanik memerlukan dua fungsi sub-sistem yang saling berkaitan. Skema penyederhaan sistem tersebut terlihat dalam gambar di bawah. Terlihat bahwa A harus berfungsi dan sekurangnya salah satu dari B harus berfungsi agar sistem mekanik itu bekerja baik. Diasumsikan bahwa komponen-komponen B bekerja dengan tidak bergantung satu sama lain dan juga pada komponen A. Probabilitas komponen berfungsi baik adalah untuk A = 0.9 dan masing-masing B = 0.8. Hitunglah probabilitas sistem mekanik tersebut berfungsi dengan baik. B1 A Output Input B2

Soal 5 • Mesin produksi dari PT Sukses Jaya ada 2. Kapasitas produksi mesin pertama adalah 30% dan mesin kedua adalah 70%. 40% dari produksi mesin pertama menggunakan komponen lokal dan sisanya menggunakan komponen impor. Sedangkan 50% dari mesin kedua menggunakan komponen lokal dan sisanya menggunakan komponen impor. Apabila dipilih secara random sebuah produksi, berapa probabilitas: • Produk yang terambil menggunakan komponen lokal • Bila diketahui produk yang terambil menggunakan komponen lokal, berapa probabilitas produk tersebut dari mesin pertama.

KONSEP DASAR PROBABILITAS