KONSEP DASAR PROBABILITAS (SSTS 2305 / 3 sks )

1. KONSEP DASAR PROBABILITAS(SSTS 2305 / 3 sks) Dra. Noeryanti, M.Si

2. Pengantar:Materi yang akan dibahas dalam pokok bahasan disini merupakan dasar dari materi teori probabilitas secara keseluruhan, yang meliputi beberapa pengkajian tentang percobaan, hasil suatu percobaan, ruang sampel dan kejadian. Dalam banyak persoalan yang berkaitan dengan munculnya suatu kejadian tertentu, dapat diselesaikan dengan menghitung jumlah titik dalam ruang sampel tanpa perlu membuat daftar unsurnya. Patokan dasar mencacah ini disebut aturan perkalian.

3. Kompetensi: Setelahmempelajarimateripokokbahasandisini, mahasiswadiharapkan: Mampumenggunakankonsep-konsepdasarteoriProbabilitassecarabenar. Mampudanterampildalammelakukanhitungan-hitungan yang berkaitandenganhasilpercobaan, ruangsampel, kejadian, permutasi, kombinasi, danmenghitungtitiksampel Terampildalammengerjakansoal-soaltugasdanlatihan.

4. Daftar Isi Materi: • Percobaan, Ruang Sampel & • Kejadian • Menghitung Titik Sampel

5. 1.1. Percobaan, Ruang Sampel dan Kejadian • Data : Semua informasi yang dicatat dan dikumpulkan dalam bentuk aslinya, baik dalam bentuk hitungan maupun pengukuran. • Percobaan (Eksperimen): Suatu proses pengumpulan data yang menunjukan adanya variasi di dalam hasil nya. (proses ini diulang-ulang dlm kondisi yg sama, dan menghasilkan data) • Ruang Sampel (S): Kumpulan semua hasil eksperimen. Dan tiap-tiap unsur dlm ruang sampel S disebut Titik Sampel • Kejadian (event): Himpunan bagian dari ruang sampel S. • Ruang Sampel Diskrit : Ruang sampel dimana banyaknya elemen berhingga atau dpt dihitung sesuai dg bilangan cacah. • Ruang Sampel Kontinu : Ruang sampel yang memuat semua bilangan dalam suatu interval

6. Contoh (1.1): • Percobaan: Pelemparan sepasang dadu (merah dan putih) • Hasil : Pasangan ( i , j ); i = titik yg tampak dari dadu merah • j = titik yg tampak dari dadu putih • Ruang Sampel ( S): kumpulan pasangan ( i , j ) dengan • i = 1, 2, … 6 dan j = 1, 2, …., 6 Misalnya kita tertarik pada kejadian jumlah titik dadu yang tampak adalah 7, dan kejadian adanya titik kedua dadu sama, maka

7. Kita misalkan: A = kejadian jumlah ttk yg tampak adalah 7 B = kejadian bahwa titik kedua dadu sama Contoh(1.2): Percobaan: Dalamduaminggu 4 pasiendiberiobat. Sembuhdan tidaknyapengobatanpasiendicatat. Hasil : Semuapasanganygmungkindarike 4-pasien. Misalnya, K = kesuksesandalampengobatandan G = kegagalandalampengobatan RuangSampel(S): kumpulansemuapasangandarihasileksperimen

8. Misalnya: • Kejadian A = semua pasien akan sembuh • Kejadian B = ada 50% lebih pasien yg sembuh • Jika menyatakan banyaknya komponen yang muncul dalam • kejadian tersebut • maka:

9. Contoh(1.3): Percobaan: terdiriataslantunanuanglogam, bilamunculsisimuka akandilakukanlantunanuntukkeduakalinya. Tetapijika lantunanpertamadiperolehsisibelakang, lantunankedua akandigulirkansebuahdadu. Gunamencatatsemuaunsurdalamruangsampel S yang memberikaninformasiterbanyak, sebaiknyamencacatsecara bersistemmenggunakan diagram pohonsepertigambar 1.1 Hasil : Semuapasangan (i,j), yang munculpadalantunan pertamadanlantunankedua. RuangSampel(S): darigambar (1.1) diperoleh

10. Titik Sampel MM MB B1 B2 B3 B4 B5 B6 Hasil pertama M B Hasil kedua M B 1 2 3 4 5 6 Gambar (1.1). Diagram pohon untuk contoh (1.3)

11. Definisi (1.1): Komplemen suatu kejadian A terhadap ruang sampel S, adalah himpunan yang semua unsur S yang tidak termasuk dalam A. Dinyatakan dengan Contoh(1.4): Dalam contoh (1.3). Misalnya ,A = kejadian munculnya titik sampel yang sama = {MM} Maka Jika B = {hasil pertama sisi belakang} = {B1, B2, B3, B4, B5, B6}, maka

12. Definisi (1.2): Gabungandua kejadianA dan B dinyatakan “AB”,adalahkejadian yang memuatsemuaunsur yang termasukdalamA, atau B, atau sekaligus kedua-keduanya. Contoh(1.5): Misalkan A = { a, b, c } dan B = { b, c, d, e } AB = { a, b, c, d, e } dan BA = { a, b, c, d, e } disiniA  B = B A Definisi (1.2): Irisandua kejadianA dan B dinyatakan“AB”, ,adalahkejadian yang unsurnyatermasukdalamA, danB.

13. Contoh(1.6): Misalkan A dan B sepertipadacontoh (1.5) AB = {b, c} danBA = {b, c} disiniA  B = B A Definisi (1.3): DuakejadianA dan Bsalingmeniadakanatauterpisahbila“AB= ”, yaitubila A dan B tidakmemilikiunsurpersekutuan. Contoh(1.7): Misalkan A = {a, e, i, o, u} dan B = {r, s, t} AB =  yaitu A dan B tidakmempunyaiunsurpersekutuan, jaditidak mungkinmunculserentak.

14. 1.2. Menghitung Titik Sampel Dalam banyak persoalan yang berkaitan dengan munculnya suatu kejadian tertentu, dapat diselesaikan dengan menghitung jumlah titik dalam ruang sampel tanpa perlu membuat daftar unsurnya. Patokan dasar mencacah ini disebut aturan perkalian. Teorema (1.1): Bilasuatuoperasidapatdilakukandalam -cara, dansetiapcarapadaoperasi ke-2 dapatdilakukandalam -cara, makakeduaoperasitersebutsecarabersama-samadapatdilakukandalam -cara. Aturanperkalianinidapatdiperluassehinggamencangkupbanyak (=k) operasi.

15. Contoh(1.8): • Suatuperusahaanperumahanmenawarkanuntukcalonpembelimenyajikanbeberapapilihanrumahgayaluarberbentuktradisional, spanyol, kolonialdan modern, bertempatdidaerahpusatkota, pantai,danbukit. Adaberapabanyakpilihanseseorangpembelidapatmemesanrumah? • Jawab: • = 4; =3 • Jadibanyaknyapilihanuntukmemesanrumah = ( )( ) = (4)(3) • = 12 macam • Dapat pula dinyatakanseperti diagram pohonpadaGambar (1.2)

16. Bukit Pantai Pusat Kota Bukit Pantai Pusat Kota Bukit Pantai Pusat Kota Bukit Pantai Pusat Kota Modern Spanyol Kolonial Tradisional Gambar (1.2). Diagram pohon untuk contoh (1.8)

17. Contoh(1.9): Seorang langganan ingin memasang telepon dan ia dapat memilih dari 10 warna dekorasi, 3 pilihan panjang kawat sambungan dan 2 jenis telepon yang diputar atau yang pakai tombol. Ada berapa banyak pilihan jika seseorang akan memasang telepon tersebut di atas? Jawab: = 10; =3; = 2 Jadi banyaknya pilihan jika seseorang akan memasang telepon adalah ( )( )( ) = (10)(3)(2) = 60 macam pilihan

18. Definisi (1.4): Permutasiadalahsuatususunan yang dapatdibentukdarisatukumpulanobyek yang diambilsebagianatauseluruhnya Banyaknya permutasi dari n-elemen setiap kali dipilih k- elemen dinyatakan dengan simbolatauatau P (n, k) ; Didefinisikan: o! = 1 Contoh(1.10): untuk n=4 dan k=3 , diperoleh

19. Teorema (1.2): Banyaknyapermutasidarin-obyek yang berbedaadalah n! (dibaca n-faktorial) Contoh(1.11): Adaberapapermutasi yang dapatdibentukdarihimpunan yang mempunyai 3 anggota yang berlainan. Jawab: Misalnyahimpunantersebutadalah H = {a, b, c} Permutasi yang dapatdibuatadalahabc, acb, bac, bca, cab, cba. Ada 6 susunan yang berlainan. atau Permutasi yang dapatdibuatadalah = (3)(2)(1) = 6 (susunan yang berlainan)

20. Teorema (1.3): Banyaknyapermutasi n-obyekberlainan yang disusunmelingkar adalah (n-1)! Contoh(1.12): Berapabanyaknyapermutasidari 5 orang yang dudukdimeja bundar. Jawab: Misalnyanamaorangtersebutadalah A, B, C, D, E Banyaknyapermutasi yang dapatdibentukmelingkariniadalah 4! = 24 susunan

21. Teorema (1.4): Banyaknyapermutasidari n-obyek yang berlainanjikadiantaranyaberjenispertama, berjenis ke-2, …. ,berjeniske-k adalah Contoh(1.12): Berapabanyaknyapermutasidari 5 orang yang dudukdimeja bundar. Jawab: Misalnyanamaorangtersebutadalah A, B, C, D, E Banyaknyapermutasi yang dapatdibentukmelingkarini adalah 4! = 24 susunan

22. Contoh(1.13): Berapabanyaknyajadwal yang dapatdisusundalampenyelenggaranpelatihankerja, untuk 3 penceramahdalam 3 pertemuanbila ke-3nya bersediamemberikanpelatihansetiaphariselama 5-hari kerja? Jawab: Dalamhalini n=5 dan k=3, permutasi yang dapatdibentuk adalah Jadibanyaknyajadwal yang dapatdisusundalampenyelenggaranpelatihankerjatersebutadalah 60 macamsusunan

23. Definisi(1.5): Suatu himpunan bagian yang terdiri dari k elemen yang diperoleh dari suatu himpunan dengan n elemen disebut suatu Kombinasi dari n elemen setiap kali diambil k elemen. Diberi simbol sebagai: Denganrumus: Teorema (1.5): Banyaknyakombinasidari n-obyek yang berlainanbiladiambilsebanyak r-sekaligusadalah

24. Teorema (1.6): Banyaknyacaramenyekatsuatuhimpunandari n-obyekdalam r-sel, masing-masingberisiunsurdalamsel-pertama, dalamsel ke-2, … , dalamselke-r adalah Catatan: Dari satu kombinasi dapat disusun k! permutasi, ini berarti bahwa jumlah permutasi yang diperoleh dari semua kombinasi, sama dengan k! kali jumlah kombinasinya. Jadi atau

25. Contoh(1.14): Berapabanyaknyacarauntukmenampung 7 orangdalam 3 kamar hotel, jikatersedia 1 kamarmempunyai 3 tempattidursedangkan 2 kamarlainnyamempunyai 2 tempattidur? Jawab: Jumlahseluruhsekatadalahcara Contoh (1.15) : Berapa kombinasi dari 4 huruf ABCD, jika diambil 3 huruf ? Jawab : Untuk n=4 dan k=3 diperoleh

26. Tabel 1.1. tabel Keterangan: AB, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA adalah kombinasi-kombinasi yang sama (lihat baris pertama)