Quels types de problèmes en mathématiques ?

1. Quels types de problèmes en mathématiques ?

2. Des problèmes pour construire des connaissances Types de problèmes • Prise de conscience des limites, de l’insuffisance des connaissances acquises • Nécessité d’élaborer de nouvelles connaissances La progression n’est pas marquée par une répartition des notions entre école et collège, mais plutôt par l’évolution des niveaux de conceptualisation, de formulation et des méthodes de résolution Les situations problèmes

3. Des problèmes pour réinvestir des connaissances Types de problèmes • Application directe de connaissances acquises • Mobilisation conjointe de plusieurs connaissances acquises  Des situations réellement problématiques nécessitant un travail cognitif pour élaborer une réponse  Mais des situations compréhensibles pour l’élève pour que l’enjeu se situe au niveau de la recherche de la solution  Les problèmes « complexes »

4. Des problèmes de recherche Types de problèmes • Aucune démarche préalablement explorée n’est disponible • Nécessité d’élaborer des stratégies de résolution personnelles  développer des capacités de prise d’initiative, d’autonomie, … Les problèmes ouverts

5. Des capacités développées Types de problèmes Gestion des informations Prélever (l’information demandée, qu’elle soit explicite ou implicite) Organiser (l’information à partir de critères donnés) Mise en œuvre de stratégies Choisir (l’élève se donne les critères de sélection) Concevoir (processus intellectuel) Exécuter (la stratégie a été donnée par des consignes ou élaborée précédemment par l’élève) Appliquer des gestes techniques ; produire ; appliquer une démarche ; suivre un protocole ; reformuler un argument, une justification Apprécier (à tous moments de son travail) Faire des essais, tester, expérimenter ; contrôler, vérifier ; critiquer ; valider ; tirer des conclusions

6. Types de problèmes Selon le moment où il est proposé aux élèves, selon la manière dont il est présenté un même problème peut avoir l’une ou l’autre des fonctions indiquées.

7. Types de problèmes Des exemples de problèmes ouverts Les caractéristiques : • L’énoncé est court • L’énoncé n’induit ni la méthode, ni la solution • La solution ne doit se réduire à l’utilisation, à l’application immédiate de résultats acquis • La situation d’étude est familière aux élèves

8. Types de problèmes Des exemples de problèmes ouverts Douze nombres entiers sont écrits en ligne . Le quatrième est 4 et le douzième est 12 . Dans cette liste, toute somme de trois nombres placés côte à côte est égale à 2 005. Quel est le huitième nombre de cette liste ?

9. Types de problèmes Des exemples de problèmes ouverts Le conseil municipal d’une ville fait construire une salle de spectacle de 1050 places. Les 1050 fauteuils ont été disposés en rangées de 42 places et numérotées de 1 à 1050 (le numéro 43 étant derrière le numéro 1 et ainsi de suite). Or, le jour du premier spectacle, le directeur de la salle s’aperçoit que cette numérotation n’est pas pratique. En effet, si une personne arrive avec le billet 578, il est difficile pour l’ouvreuse de trouver la rangée. Le directeur décide donc de changer la numérotation : • Tous les billets comporteront une lettre. A pour le premier rang, B pour le second, etc. • Tous les billets comporteront un nombre de 1 à 42. La famille qui a acheté les places 839, 840, 841, 842 est-elle groupée?

10. Où trouver des problèmes ouverts ou des questions avec prise d’initiatives ? • Sites des rallyes et compétitions (RMT, rallye de Franche-Comté…) ; site APMEP, chemin : régionales, rallyes… • Documents IREM et APMEP (« pour un enseignement problématisé des mathématiques ») • Écrire différemment des énoncés d’exercices « fermés » (DNB, livres, …)