1 / 21

Ilustracja metody Monte Carlo obliczania całek podwójnych

Ilustracja metody Monte Carlo obliczania całek podwójnych. Autorzy: Bernadetta Brzęczek Lech Groblewicz Tomasz Ożański Piotr Ratajczak Wojciech Hanus. Zasada działania Metody Monte Carlo. (-1,1). (1,1).

matthew-terry
Download Presentation

Ilustracja metody Monte Carlo obliczania całek podwójnych

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Ilustracja metody Monte Carlo obliczania całek podwójnych Autorzy: Bernadetta Brzęczek Lech Groblewicz Tomasz Ożański Piotr Ratajczak Wojciech Hanus

  2. Zasada działania Metody Monte Carlo (-1,1) (1,1) Spróbujmy za pomocą powyższej metody obliczyć pole koła o R=1 i środku w punkcie P=(0,0) x2+y2=1 1. Na kole opisujemy kwadrat o wierzchołkach w punktach: 2. Losujemy n punktów z powierzchni opisanego kwadratu 3. Sprawdzamy czy wylosowane punkty należą do pola koła. (0,0) (-1,-1) (1,-1)

  3. 2 1 4 3 … Wynikiem losowania jest informacja, że z n wszystkich prób k było trafionych, zatem pole koła wynosi: gdzie P jest polem kwadratu opisanego na kole Przykład ten ilustruje ogólny sposób działania metody Monte Carlo k-1 n k

  4. Przedstawienie doświadczenia Do prezentacji metody Monte Carlo obliczającej całki podwójne wykorzystaliśmy następujące całki: 1. 2. 3.

  5. Dla każdej z nich wygenerowaliśmy metodą Monte Carlo po 100 wartości dla n z przedziału od 1 do 50 000 000. … … Przykładowa skrócona tabela wartości losowań dla trzech pierwszych i dwóch ostatnich prób w zależności od wielkości n dla całki nr 2.

  6. 3. Następnie przy użyciu kalkulatora obliczyliśmy prawidłowe wartości powyższych całek. Dla lepszego zrozumienia z jakimi całkami mamy do czynienia zamieszczone są poniżej także wykresy funkcji podcałkowych. 1. = 2669,851 2. 3. = 1,145521 1. 2.

  7. Z każdej serii danych obliczyliśmy średnią, odchylenie standardowe oraz wartość błędu, czyli różnicę pomiędzy wartością prawidłową a średnią. Powyższe dane przedstawiliśmy za pomocą wykresów.

  8. Całka nr 1:

  9. Poglądowe przedstawienie wzrostu dokładności obliczeń metodą Monte Carlo wraz ze wzrostem n dla całki nr 1

  10. Całka nr 2:

  11. Poglądowe przedstawienie wzrostu dokładności obliczeń metodą Monte Carlo wraz ze wzrostem n dla całki nr 2

  12. Całka nr 3:

  13. Poglądowe przedstawienie wzrostu dokładności obliczeń metodą Monte Carlo wraz ze wzrostem n dla całki nr 3

  14. Dla wszystkich całek można zauważyć, że wraz ze wzrostem n (liczby losowanych punktów), maleje wartość błędu co potwierdzają także wykresy przedstawiające odchylenia standardowego. Na następnych wykresach przedstawione jest jak w zależności od n, na różnie wyskalowanych wykresach, dla poszczególnych całek zmienia się wartość obliczonej całki.

  15. Wnioski: Obliczenia metodą Monte Carlo dają bardzo dokładne wyniki tylko wtedy, gdy rząd parametru n jest większy od 50 000. Dla takich prób dokładność pomiaru jest wyższa niż 99,93%

More Related