Der chinesische Abakus – „suan pan“

1. Der chinesische Abakus –„suan pan“ Die nachfolgende Präsentation gibt einen Einblick in die Grundrechenarten am „suan pan“ (chinesischer Abakus). Sie dient lediglich als Ergänzung zur meinem Projektvortrag und ist vor allem für ein Selbststudium gedacht!!! Vorab jedoch noch eine kleine Bemerkung: „Ein Bild sagt mehr als 1000 Worte.“ Die Beschreibungen der einzelnen Rechenvorgänge hören sich zuerst sehr unverständlich an. Zum besseren Verständnis habe ich nach jedem Gedankengang ein Bild eingefügt, auf dem die Schritte direkt zu erkennen sind! Viel Spaß…

2. Allgemeine Funktionsweise: • Der Abakus beschreibt ein allgemeines Stellenwertsystem • Jeder Stab repräsentiert eine Dezimalstelle: ganz rechts die Einerstelle, der Zweite Stab von rechts die Zehnerstelle usw. • Jede Perle im unteren Teil steht für eine Einheit der jeweiligen Dezimalstelle • Jede Perle im oberen Teil steht für fünf Einheiten der jeweiligen Dezimalstelle • Eine Perle wird gezählt, wenn sie in Richtung der Querstange geschoben wird (die 0 wird also dargestellt, indem keine Kugel, an der entsprechenden Dezimalstelle, Richtung Querstange geschoben wird) • Sind fünf Perlen im unteren Teil eines Stabes abgezählt → „Übertragung“ in den oberen Bereich: Eine Fünfperle wird gesetzt, die fünf Einsperlen zurückgeschoben • Sind beide oberen Perlen gezählt → „Übertragung“ auf eine Einerperle des linken Nachbarstabes (wie im Beispiel mit den Soldaten) • Dezimalbrüche: „anwenderabhängig“, d.h. nur der momentane Benutzer weiß, wo sich das Komma befindet (der Platz auf dem Abakus kann ja beliebig gewählt werden)

3. Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenDie AdditionEinfaches Beispiel: 6+8 Gebe die 6 in den Abakus ein Gebe anschließend die 8 einfach hinzu

4. Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenEinfaches Beispiel: 6+8 Da sich nun zwei Fünferperlen an der Querverbindung befinden, findet eine „Übertragung“ in die linke Spalte statt (mit einer Einerperle) Das Ergebnis kann sofort abgelesen werden:14

5. Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenBeispiel mit Hilfskonstruktion: 27+39 Gebe die 27 in den Abakus ein Nun soll die 39 addiert werden: Man fängt immer mit der Einerstelle an (9). Da die 9 jedoch nicht mehr (an der Einerstelle) dargestellt werden kann, greift man auf eine Hilfskonstruktion zurück: 9=10-1

6. Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenBeispiel mit Hilfskonstruktion: 27+39 Addiere also erst 10 zur 27 Ziehe anschließend 1 wieder ab

7. Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenBeispiel mit Hilfskonstruktion: 27+39 Nun addiere 3 in der Zehnerstelle Auch hier muss wieder die Hilfskonstruktion angewendet werden: 3=5-2 Addiere also erst 5 Ziehe nun 2 wieder ab Das Ergebnis kann sofort abgelesen werden:66

8. Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenZusammenfassung Die Addition am „suan pan“ verläuft also analog zum schriftlichen Addieren: Als erstes werden die Einerstellen addiert, dann die Zehnerstellen usw. Am zweiten Beispiel wird deutlich, dass auch mit Hilfskonstruktionen gearbeitet werden kann. Das geschieht, wenn nicht genügend Perlen an einer Stange zur Verfügung stehen. So müssen dann die Werte durch passende Methoden dargestellt werden (9=10-1) Anmerkung: Die Addition von Dezimalbrüchen verläuft analog (hier kann die Kommastelle frei gewählt werden)

9. Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenDie SubtraktionBeispiel: 32-18 Gebe die 32 in den Abakus ein Auch hier fängt man wieder mit der Einerstelle an: Da die 8 jedoch nicht von der 2 abgezogen werden kann -> Hilfskonstruktion: 8=10-2 Ziehe also erst 10 ab, d.h. eine Perle bei der Zehnerstelle

10. Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenBeispiel: 32-18 Addiere anschließend 2 Perlen an der Einerstelle hinzu Ziehe nun 10 (1Zehnerperle wegnehmen) von 24 ab Das Ergebnis kann abgelesen werden: 14

11. Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenBeispiel: 1000-5 Gebe die 1000 in den Abakus ein Problem: an der Einerstelle befinden sich nun keine Perlen, von denen man 5 abziehen könnte. Idee: Die 1 an der Tausenderstelle lässt sich auch durch entsprechende Perlen an der Hunderterstelle darstellen

12. Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenBeispiel: 1000-5 Zieht man nun in der Hunderterspalte eine Perle ab und addiert gleichzeitig auf der Zehnerstelle 10 dazu (eine 5- und fünf 1-Perlen)… …und zieht nun von den 10 auf der Zehnerstelle einen ab und addiert auf der Einerstelle 10 dazu….

13. Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenBeispiel: 1000-5 … kann man nun die 5 an der Einerstelle abziehen Das Ergebnis kann abgelesen werden: 995

14. Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenZusammenfassung Wie auch bei der Addition werden hier jeweils Einerstellen von Einerstellen, Zehnerstellen von Zehnerstellen usw. subtrahiert. Hier kommen die Hilfskonstruktionen jedoch häufiger vor. Im zweiten Beispiel wird klar, dass teilweise auch mit kleinen „Tricks“ gearbeitet werden muss, wenn keine entsprechenden Perlen zur Verfügung stehen.

15. Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenDie MultiplikationBeispiel: 58*3 Als erstes werden auf der linken Seite des Abakus die beiden Zahlen eingegeben. Zwischen den beiden Zahlen wird eine Stange als Platzhalter freigelassen (Grund: bessere Übersicht und „Memory-Effekt“) Nun multipliziert man die beiden Einerstellen (8, 3) miteinander und gibt das Ergebnis ganz rechts am Abakus ein

16. Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenBeispiel: 58*3 Multipliziere nun die 5 mit 3. Da man eigentlich 50*3 berechnet, trage also das Ergebnis von 5*3 um eine Stange nach links verschoben ein (also zweite Stange von rechts) Das Ergebnis kann abgelesen werden: 174

17. Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenBeispiel: 284*73 Als erstes werden auf der linken Seite des Abakus wieder die beiden Zahlen eingegeben Nun wird die 4 der 284 mit der 3 der 73 multipliziert und das Ergebnis (12) ganz rechts eingegeben

18. Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenBeispiel: 284*73 Die 8 wird mit der 3 multipliziert (eigentlich wieder 80*3) und das Ergebnis rechts dazugegeben. Da sich nun fünf Perlen im unteren Bereich an der Zehnerstange befinden, findet eine „Übertragung“ in den oberen Bereich statt Ebenso wird nun die 2 mit der 3 multipliziert Die Zahl, die nun abzulesen ist (852), ist das Ergebnis der Multiplikation 284*3

19. Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenBeispiel: 284*73 Mit der verbleibenden 7 der 73 wird nun ebenso verfahren wie vorher: das Produkt wird aber eine Spalte weiter links (ab der Zehnerspalte) eingegeben Also: 4*7 ergibt 28, 8*7 ergibt 56 und 2*7 gibt 14 Da nun 852+280 gerechnet wird, muss (zweimal) die Hilfskonstruktion der Addition angewendet werden

20. Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenBeispiel: 284*73 Das Ergebnis von 8*7 (eigentlich 80*70) kann problemlos aufaddiert werden Beim Eintragen der 2*7 findet an dem Tausenderstab wieder ein Übertragung, hin zum Zehntausenderstab, statt

21. Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenBeispiel: 284*73 Nun kann das Gesamtergebnis abgelesen werden: 20732 Es kann vorkommen, dass Zwischenergebnisse über mehrere Stäbe hinausgehen, so dass die (am Anfang eingegeben) Zahlen ganz links „stören“. Diese können dann entfernt werden

22. Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenZusammenfassung Auch bei der Multiplikation wird im Grunde genommen genauso verfahren wie beim schriftlichen Multiplizieren: Jede Ziffer der ersten (bzw. zweiten) Zahl muss mit allen Ziffern der zweiten (bzw. ersten) Zahl multipliziert werden. Dabei muss man beachten, an welche Stangen das Ergebnis eingegeben werden soll. Die einzelnen Ergebnisse werden dann, ggf. unter Verwendung der Hilfskonstruktionen, aufaddiert.

23. Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenDie DivisionBeispiel: 182:14 Gebe zuerst wieder die beiden Zahlen (182 und 14) links in den Abakus ein. Achte dabei auf die Reihenfolge: ganz links der Divisor (14), daneben der Dividend (182) Verfahre nun wie bei der schriftlichen Division… … der Dividend wird von links nach rechts „angegangen“…

24. Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenBeispiel: 182:14 Die 1 der 182 lässt sich nicht durch 14 dividieren. Deswegen nehme die 8 noch hinzu Es lässt sich aller Voraussicht nach ein zweistelliges Ergebnis erwarten. Deswegen gebe an der zweiten Stange von rechts nun das (ganzzahlige) Ergebnis von 18:14 ein (1)

25. Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenBeispiel: 182:14 Nun wird die 1 mit der 14 multipliziert, das Ergebnis (14) wird vom Dividend (182) von vorne her (also von der 18) abgezogen. Achtung: Hier muss wieder mit der Hilfskonstruktion gearbeitet werden! Es bleibt nun also nur noch die 42. Diese lässt sich durch 14 teilen. Ergebnis ist 3. Gebe also die 3 in den Abakus ein (ganz rechts). Die 42 kann nun „gelöscht“ werden.

26. Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenBeispiel: 182:14 Das Ergebnis kann der Division 182:14 kann nun abgelesen werden: 13 Zur Kontrolle kann noch die Probe gerechnet werden

27. Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenBeispiel: 364:28 Gebe auch hier wieder Divisor und Dividend in den Abakus (ganz links) ein Verfahre nun wie beim ersten Beispiel:… Die 3 der 364 kann durch die 2 der 28 geteilt werden. Das Ergebnis (1) wird rechts in den Abakus eingegeben. Da wieder ein zweistelliges Ergebnis erwartet wird, benutze wieder den zweiten Stab von rechts

28. Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenBeispiel: 364:28 1*28 wird nun wieder von den ersten beiden Ziffern der 364 abgezogen. Vorsicht: 2 lässt sich bequem von der 3 abziehen. Bei der Rechnung „6-8“ gibt es jedoch wieder ein Problem. Deswegen: Hilfskonstruktion ;) Als neuer Dividend wird jetzt die 84 angezeigt. Betrachtet man nun wieder die beiden ersten Ziffern (die 8 der 84 und die 2 der 28), so würde sich ein Faktor von 4 ergeben (8 : 2 = 4). Da es sich aber mit der 8 der 28 um eine größere Zahl als die 4 der 84 handelt, ist es angebracht, den Faktor um 1 zu verringern. Es wird also die 3 in die Spalte ganz rechts eingetragen.

29. Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenBeispiel: 364:28 Das Ergebnis von 3*28 wird nun von 84 abgezogen. Diese Rechnung ist nun nicht sonderlich bequem im Kopf zu rechnen. Zerlege also 3*28 wie folgt: 3*8 + 3*20. Dabei können die Einzelergebnisse separat vom Dividenden subtrahiert werden. Es gilt also: 84 - (3*8) - (3*20) = 84-24-60 = 84-84 = 0 Das Ergebnis kann nun abgelesen werden: 13

30. Addition Subtraktion Multiplikation Division RadizierenZusammenfassung Am deutlichsten kann man sich die Abakus-Division analog zum schriftlichen Dividieren darstellen: Die einzelnen Rechnungen (Vielfachbildung und Subtraktion) werden dabei „im Kopf“ und aus Platzgründen nicht am Abakus durchgeführt! Sei xyz eine dreistellige Zahl (Dividend) und a der Divisor. 1. Fall: Der Quotient ist ohne Rest! Teile nun x durch a. (falls dies nicht möglich ist, nehme y noch hinzu). Das maximale ganzzahlige Vielfache (p*a) wird nun von x abgezogen. Zu diesem Ergebnis der Subtraktion nehme nun y hinzu. Teile auch hier wieder durch a. Das ganzzahlige Ergebnis q*a muss nun auch wieder subtrahiert werden. Nehme nun zu diesem Ergebnis z hinzu. Diese Zahl ist ein Vielfaches von a (r*a) Sobald die (neue) Zahl nicht durch a teilbar ist und eine weitere Zahl hinzugenommen werden muss, wird an ansprechender Stelle beim Quotient eine 0 ergänzt So weit so gut: Am Abakus werden der Reihe nach (rechts am Abakus) die einzelnen Zahlen p,q,r eingegeben. Die Subtraktionsschritte dieser Vielfachen von a können (unter ggf. Verwendung der Hilfskonstruktion) vom Divisor subtrahiert werden. 2. Fall: Der Quotient ist mit Rest! Geht die letzte Subtraktion r*a nicht „glatt“ auf, so ergänze zu diesem Rest eine 0. Beim Quotienten wird nun an entsprechender Stelle ein Komma gesetzt. Die Stelle des Komma muss sich am Abakus gemerkt werden.

31. Addition Subtraktion Multiplikation Division Radizieren Die Quadratwurzel einer Zahl kann durch einfache Subtraktion herausgefunden werden, wobei der Abakus als „Strichliste“ angesehen werden kann: Die Quadratwurzel einer Zahl kann herausgefunden werden, indem nacheinander 1, dann 3, dann 5 (also die ungeraden Zahlen) von der Zahl abgezogen werden, bis die 0 erreicht ist. Die Quadratwurzel dieser Zahl ist die Anzahl der Subtraktionen. Die Anzahl der einzelnen Subtraktionsrechnungen werden schrittweise in den Abakus eingegeben.

32. Addition Subtraktion Multiplikation Division Radizieren Beispiel: √36 Die „root no.“ wird von der „square no.“ abgezogen: Root No. Square No. 36 1 35 3 32 5 27 7 20 9 11 11 0 Wir mussten also 6 mal die Subtraktion anwenden.* D.h. die Quadratwurzel von 36 ist 6.

33. Addition Subtraktion Multiplikation Division Radizieren Beispiel: √1024 Bei größeren Zahlen ist es natürlich mühselig, viel Subtraktionen durchzuführen. Verfahre hier dann wie folgt: Zerlege die Zahl in Zahlenpaare (10 und 24) Verfahre mit dem ersten Zahlenpaar (10) wie oben, bis die „Root No.“ größer ist, als die „Square No.“.

34. Addition Subtraktion Multiplikation Division Radizieren Beispiel: √1024 Root No. Square No. 10 24 1 9 3 6 5 1 Nun ist: 5>1 Multipliziere nun die letzte „Root No.“ mit 10 und addiere 11. 5*10+11 = 61 Nehme nun das zweite Zahlenpaar (24) hinzu und fahre mit der Subtraktion fort…

35. Addition Subtraktion Multiplikation Division Radizieren Beispiel: √1024 Root No. Square No. 124 61 63 63 0 Nun muss noch folgende Rechnung durchgeführt werden: (63+1) 2 = 32 (*:Dieser Schritt kann übrigens genauso beim ersten Beispiel durchgeführt werden: (11+1)/2 = 6 ) Das Ergebnis für √1024 ist also 32

36. Addition Subtraktion Multiplikation Division Radizieren Zusammenfassung Bei kleineren Zahlen (wie im Beispiel 1) lässt sich die Quadratwurzel auf folgende Weise finden: Ziehe nacheinander 1,3,5,…2*n+1 (Bezeichnung: „root no.“) vom Radikanden (y) ab. Sei x nun die „root no.“ deren Subtraktion 0 ergibt: Es gilt: (x+1)/2 = √y (Außerdem ist die Anzahl der durchzuführenden Subtraktionen ebenfalls die gesuchte Wurzel) Die Quadratwurzel für größere Zahlen kann einfacher und schneller gefunden werden, indem man den Radikanden (y) in Zahlenpaare (von rechts aus) unterteilt (Beispiel 2). Verfahre dann wie folgt: a.) Führe die Subtraktionen für das linke Zahlenpaar (wie oben) durch, bis die „root no.“ größer als die „square no.“ ist. b.) Multipliziere diese letzte „root no.“ mit 10 und addiere anschließend 11 dazu. c.) Ergänze nun diese „square no.“ mit dem zweiten Zahlenpaar des Radikanden und fahre mit der Subtraktion wie gewohnt fort. d.) Sei x nun die „root no.“ deren Subtraktion 0 ergibt. Dann gilt: (x+1)/2 = √y Ergibt der letzte Subtraktionsschritt eine negative Zahl (anstatt 0) so ist die gesuchte Quadratwurzel ein Dezimalbruch.

37. Literaturhinweise Falls ihr nun Interesse bekommen habt, mit dem chinesischen Abakus (suan pan) zu arbeiten, bzw. ihn in der Schule einzusetzen, könnt ihr auch noch in folgenden Büchern das Grundwissen vertiefen (z.B. wird hier erklärt, wie Kubikwurzeln gezogen werden können!) • Maxwell, R. Perceval: How to use the chinese Abacus - Kings Langley: Maxwell, 1979 • Moon, Perry: The Abacus. Ist history; ist design; ist possibilities in the modern world – New York: Gordon and Breach, 1971 Für den Umgang mit einem „Schulabakus“ empfehle ich: • Johann, Michael & Matros Norbert: Wechselspiele. Kreatives Rechnen am Schulabakus – Landau: Knecht, 2001