Téma 7, ODM , prostorové a příčně zatížené prutové konstrukce

1. Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia Téma 7, ODM, prostorové a příčnězatížené prutové konstrukce • Výpočtový model prostorové konstrukce • Tvorba výpočtového modelu • Analýza prutu • Prut roštového typu • Příklad řešení příčně zatíženého rámu Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

2. Prostorová prutová soustava Prostorové prutové soustavy nesplňují alespoň některou u těchto podmínek: • střednice všech prutů leží v rovině soustavy (RS) • jedna z hlavních rovin každého prutu leží v RS • funkční roviny kloubů splývají s RS • každá jednoduchá vnější vazba buď leží v RS (nebo je kolmá – u příčně zatížených konstrukcí) • veškerá zatížení působí v RS (nebo kolmo u PZK)

3. Poloha prutu v prostoru [1] Prutovou soustavu umísťujeme v globálním souřadném systému s osami x, y a z Poloha prutu je jednoznačně určena osou prutu a bodem určujícím s osou prutu jednu jeho hlavní rovinu (bod c) Lokální souřadný systém má počátek v bodě a prutu. Osou prutu prochází lokální osa x*, 1. hlavní rovina lokálními osami x*,y*, 2. hlavní rovina lokálními osami x*, z*.

4. Tvorba výpočtového modelu • Vychází ze stejných zásad jako u rovinné prutové konstrukce • Monolitický styčník má v prostoru 6 stupňů volnosti • Kladné směry globálních parametrů deformace vyplývají z obrázku • Kloubový styčník (dokonalý kloub) umožňuje pootáčení v libovolné rovině, má jen tři nenulové globální složky posunutí, ui, vi, wi • Kloubové připojení prutu k monolitickému styčníku má v prostoru více variant dle funkční roviny (funkčních rovin) kloubu(ů)

5. ODM, stupeň přetvárné neurčitosti prostorové prutové soustavy Stejně jako u rovinné soustavy je np roven celkovému počtu neznámých parametrů deformace soustavy. U nevázaného monolitického uzlu (bez vnějších vazeb) je to vždy šestice parametrů. U čistě kloubového uzlu (bez vnějších vazeb) jsou to minimálně tři parametry.

6. ODM, analýza prutu, přímý oboustranně monoliticky připojený prut v prostoru Vektor výsledných globálních složek koncových sil prutu ab:

7. ODM, analýza prutu, přímý oboustranně monoliticky připojený prut v prostoru, pokračování Vektor primárních globálních složek koncových sil prutu ab: Vektor globálních složek deformace prutu ab: Pro výsledný globální vektor koncových sil platí již známý vztah:

8. ODM, analýza prutu, přímý oboustranně monoliticky připojený prut v prostoru, pokračování Lokální uzlové parametry deformace:

9. ODM, analýza prutu, přímý oboustranně monoliticky připojený prut v prostoru, pokračování Lokální vektory výsledných a primárních složek koncových sil:

10. ODM, analýza prutu, přímý oboustranně monoliticky připojený prut v prostoru, pokračování Příklady zatížení prutu: n vyvolává X*ab , X*ba , qzvyvolává Z*ab , Z*ba , M*y,ab , M*y,ba , qyvyvolává Y*ab , Y*ba , M*z,ab , M*z,ba , mxvyvolává M*x,ab , M*x,ba .

11. ODM, analýza prutu v prostoru, prvky primárního vektoru koncových sil v LSS Prvky primárního vektoru R*ab od zatížení v rovině x*z* (Z*ab , Z*ba M*y,ab M*y,ba) a od zatížení v ose prutu x* (X*ab , X*ba) se shodují s prvky primárního vektoru pro rovinné rámy. Prvky od zatížení v rovině x*y* (Y*ab , Y*ba M*z,ab M*z,ba) se určí analogicky. Vzhledem ke znaménkové konvenci mají však složky (M*z,ab M*z,ba) opačná znaménka.

12. ODM, analýza prutu v prostoru, prvky primárního vektoru koncových sil v LSS Složky koncových sil M*x,ab a M*x,ba se určí silovou metodou. Pro konstantní průřez platí:

13. ODM, analýza prutu v prostoru, prvky primárního vektoru koncových sil v LSS Pro oboustranně monoliticky připojený prizmatický prut ab zatížený dle obr. je primární vektor koncových sil v LSS:

14. ODM, analýza prutu v prostoru, lokální matice tuhosti oboustranně monoliticky připojeného prutu Zatížení prutu ab v LSS v prostoru lze rozdělit na zatížení působící: • v ose prutu X*ab , X*ba(uplatní se A) • v rovině x*z*Z*ab , Z*ba , M*yab , M*yba(uplatní se Jy) • v rovině x*y*  Y*ab , Y*ba , M*zab , M*yzba (uplatní se Jz) • kolem osy x *  M*x,ab , M*xba (uplatní se Jt) Při sestavování matice tuhosti k*ablze využít • pro ad1) a ad2) matici tuhosti pro rovinné konstrukce, • pro ad3) při zvážení znaménkové konvence také, • pro ad4) nutno řešit vliv kroucení.

15. ODM, analýza prutu v prostoru, lokální matice tuhosti oboustranně monoliticky připojeného prutu Sekundární kroutící momenty jsou indukovány pootočením jaa jb. V matici tuhosti k*ab představuje příslušný koeficient kij moment, který vyvolává jednotkové potočení. Platí tedy

16. ODM, analýza prutu v prostoru, lokální matice tuhosti oboustranně monoliticky připojeného prutu

17. ODM, analýza prutu v prostoru, lokální matice tuhosti oboustranně monoliticky připojeného prutu [1]

18. ODM, analýza prutu v prostoru, lokální matice tuhosti oboustranně kloubově připojeného prutu

19. Prut v prostorové příhradové konstrukci

20. Výpočet směrových úhlů

21. Oboustranně monoliticky připojený prut v prostoru [1] Poloha hlavní roviny x* z* jeurčena přímkou ab a bodem c[xc, yc, zc]. Globální osa x svírá s osami x*, y* a z* úhly ai (i=1, 2, 3), osa ybi a osa zgi.

22. ODM, transformační matice v prostoru Transformační matice Tab je 12. řádu.

23. ODM, určení směrových kosinů prutu v prostoru z globálních souřadnic tří bodů • Směrové kosiny a1, b1, c1, se určí stejně jako u prutu příhradové konstrukce v prostoru: 2. Z obecné rovnice roviny A(x-xa)+B(y-ya)+C(z-za)=0 procházející bodem ase po postupném dosazení souřadnic bodů b, a c vypočtou konstanty A, B, a C: Osa y* je je normálou k rovině, její směrové kosiny proto vyplývají ze vztahů:

24. ODM, určení směrových kosinů prutu v prostoru z globálních souřadnic tří bodů 3.Pro směrové kosiny osy z* platí podmínka ortogonality: 4. Určením směrových kosinů z globálních souřadnic bodů a, b, a c lze určit transformační matici Tab a inverzní matici:

25. ODM, převodní transformační vztahy s maticemi pro prut v prostoru Tyto vztahy jsou obecně stejné jako pro rovinné rámové konstrukce:

26. ODM, řešení roštů • Rošt je pravoúhlá nebo kosoúhlá rovinná soustava prutů, která je zatížena kolmo na rovinu roštu. • Leží-li rošt v rovině určené globálními osami xy, pak v něm nevznikají složky sil ve směru těchto os a momenty Mz. Totéž platí o posunutích u, v, a o potočení jz. • V prutu ab roštového typu vznikají koncové síly • a parametry deformace

27. Příklad roštové konstrukce [1]

28. jx jy w x y z Řešení roštů Lokální vektor koncových sil prutu: Globální vektor parametrů deformací prutu:

29. Řešení roštů Lokální matice tuhosti prutu: Globální matice tuhosti prutu:

30. Rošt – lokální matice tuhosti prutu X* Y* Z* Mx* My* Mz* X* Y* Z* Mx* My* Mz*

31. Rošt – lokální matice tuhosti prutu X* Y* Z* Mx* My* Mz* X* Y* Z* Mx* My* Mz*

32. Rošt – lokální matice tuhosti prutu X* Y* Z* Mx* My*Mz* X* Y* Z* Mx* My*Mz*

33. Rošt – lokální matice tuhosti prutu Z* Mx* My* Z* Mx* My*

34. Rošt – transformační matice X* Y* Z* Mx* My* Mz* X* Y* Z* Mx* My* Mz*

35. Rošt – transformační matice X* Y* Z* Mx* My*Mz* X* Y* Z* Mx* My*Mz*

36. Rošt – transformační matice X* Y* Z* Mx* My*Mz* X* Y* Z* Mx* My*Mz*

37. Rošt – transformační matice Z* Mx* My* Z* Mx* My*

38. 1 2 3 Příklad – rošt, zadání 3 2 2 1 4 1 1 2 1

39. 1 2 3 Příklad – rošt,zadání 3 (0 4 0) 2 (0 0 0) 2 1 4 (1 2 3) 1 1 2 1 (0 0 0)

40. Příklad – rošt,průběhy vnitřních sil posouvající síly - V _ 13,01 10,01 -4,47 7,01 3,53 + + 1,01 _ -12,51 -12,51

41. Příklad – rošt,průběhy vnitřních sil kroutící momenty- T 0,72 + -0,57 _ _ + 0,38 0,38

42. Příklad – rošt,průběhy vnitřních sil ohybové momenty- M -11,91 -11,68 + 2,5 _ -0,4 0,95 _ 1,01 -4,16 + 0,84 7,63 8,35

43. Použitá literatura [1] Kadlčák, J., Kytýr, J., Statika stavebních konstrukcí II. Staticky neurčité prutové konstrukce. Učebnice, druhé vydání. VUTIUM, Brno 2004.