Série de Fourier (FS)

Série de Fourier (FS) Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

Série de Fourier • Anteriormente... • Sinais  combinação linear de δ(t) • Sistemas  resposta ao impulso h(t) • Análise de Fourier • Sinais  combinação linear de “senóides” • Exponenciais complexas • Sistemas  resposta em freqüência

Série de Fourier • Excitação periódica • Sistema linear e invariante no tempo (LTI) • Aplicando um impulso ao sistema • Resposta ao impulso • Aplicando um trem de impulsos ao sistema • “Resposta periódica” • Apenas resposta forçada da EDO que rege o LTI

Série de Fourier • Excitação periódica • Exemplos: • Gota em tanque de água • Mola  Massa • Resposta ao impulso

Série de Fourier Presença de transitório Excitação periódica

Série de Fourier • Excitação periódica • Exercício

Série de Fourier • Excitação periódica • Presença de transitório • Exigência de excitação iniciar “a muito tempo atrás” • Operação trabalhosa • Soma infinita de respostas ao impulso atrasadas • Como analisar apenas a resposta forçada do sistema a uma excitação periódica?

Série de Fourier • Excitação exponencial complexa • Dado: • Sistema LTI  h(t) • Excitação exponencial complexa  x(t) = e+jΩt • Por convolução, a resposta é: • Note: resposta para uma freqüência específica Ω

Série de Fourier • Excitação exponencial complexa • Pelo princípio da superposição • Para o sistema  h(t) • A resposta é • com

Série de Fourier • Excitação exponencial complexa • Autovalor • Projeção da função h(t) sobre a função g(t) = e+jΩt • Produto interno  <h(t), g*(t) > • Autovetor/Autofunção • Direção g(t) considerada na qual se projeta h(t)

Série de Fourier • Excitação exponencial complexa • Exemplo • Aproximação deonda triangularinclinada usandosinais do tipocos(kΩt+Θ)

Série de Fourier • Excitação exponencial complexa • As freqüências kΩ são chamadas harmônicas • k ∈Z • São múltiplas de 2π/T • Cada Akcos(kΩt+Θ) pode ser convertido em: • [Akcos(Θ)] cos(kΩt) + [–Aksen(Θ)] sen(kΩt) • Senóides com fase  soma de senóides e cossenóides ponderadas.

Série de Fourier • Definição • Se x(t) é periódico, com período T, t0≤t<t0+T • E • X[k]  k-ésima amplitude harmônica das exponenciais complexas da decomposição de x(t) • Ω = 1 / T

Série de Fourier • Definição • Em termos de senos e cossenos • E • Xc[k] e Xs[k]  k-ésima amplitude harmônica das senóides e cossenóides da decomposição de x(t)

Série de Fourier • Definição • Condições de existência • Sinal absolutamente somável entre t0≤t<t0+T • Número finito de máximos e mínimos entre t0≤t<t0+T • Número finito de descontinuidades entre t0≤t<t0+T • Sinais hipotéticos não possuem série de Fourier • x(t) = sen(1/t)

Série de Fourier • Questão de periodicidade • A partir de: • Temos que:

Série de Fourier Questão de periodicidade

Série de Fourier • Questão da periodicidade • Reforçando: • k ∈Z • Não existe componente para k não inteiro! • X[k] é uma seqüência/série de números • Ω = 1 / T • Freqüência de cálculo está relacionado com o período do sinal escolhido para a análise da série • Existem 2 períodos envolvidos • Período real do sinal • Período para cálculo da Série de Fourier • Exemplos/Exercícios

Série de Fourier • Truncamento e Convergência da FS • Usando uma amplitude harmônica Xn[k] • O erro mínimo será: • Com argmin{Ee} = X[k]

Série de Fourier Truncamento e Convergência da FS

Série de Fourier • Truncamento e Convergência da FS • Sinais “contínuos” • Convergência com número finito de harmônicos • Sinais “descontínuos” • Presença de impulsos  δ(t) • Convergência com número finito de harmônicos • Mas não atinge convergência absoluta • Fenômeno de Gibbs • Representação de função descontínua usando função contínua (no caso, exponenciais complexas) • Oscilação nas regiões de descontinuidade

Série de Fourier • Truncamento e Convergência de FS • Sinais “descontínuos” • Exemplos: • Filtro passa-baixa em sinal degrau (unitário ou não) • “Ruído” em imagens compactadas (JPEG) • “Ruído” em vídeo digital compactado (MPEG, TV digital) • Pré-eco em instrumentos de percussão

Série de Fourier A A/2 • Truncamento e Convergência de FS • Aproximação de u(t) via FS

Série de Fourier • Propriedades • Linearidade • com T = m Tx = q Ty

Série de Fourier • Propriedades • Inversão de tempo • com T = m Tx

Série de Fourier • Propriedades • Deslocamento no tempo • com T = m Tx • Deslocamento em freqüência • com T = m Tx

Série de Fourier • Propriedades • Deslocamento no tempo  atraso de fase

Série de Fourier • Propriedades • Deslocamento na freqüência  modulação AM

Série de Fourier • Propriedades • Escala de tempo • com T = m Tx • ou

Série de Fourier • Propriedades • Diferenciação • Com T = m Tx

Série de Fourier • Propriedades • Integração • Com T = m Tx e X[0]=0 • Se X[0] ≠ 0, a integral de x(t) deixa de ser periódica • Inexistência da série de Fourier para tal sinal

Série de Fourier • Propriedades • Modulação • com T = m Tx = q Ty

Série de Fourier • Propriedades • Convolução periódica • com T = m Tx = q Ty

Série de Fourier • Propriedades • Modulação e Convolução • Modulação no tempo Convolução em freqüência • Convolução no tempo  Modulação em freqüência • Princípio de filtragem!

Série de Fourier • Propriedades • Conjugado • Com T = m Tx • Propriedade decorrente: • Se x(t) é par, |X[k]|2 – módulo – é par • Se x(t) é par, <X[k] – fase – é impar

Série de Fourier • Propriedades • Teorema de Parseval • Com T = m Tx • Potência média do sinal  Soma das potências médias harmônicas

Série de Fourier • Aplicação em Análise de Sistemas LTI • Do conceito de autofunção • Excitação  exponencial complexa (freqüência Ω) • Resposta  exponencial complexa (freqüência Ω) • Exemplos/Exercícios

Série de Fourier • Aplicação em Análise de Sistemas LTI • Aplicação direta sobre EDO • Linear a coeficientes constantes • Obtenção da resposta do sistema a componentes harmônicos espectrais • Por manipulação algébrica • Apenas para harmônicos de Ω= 2π/T

Série de Fourier (FS)