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Prof. Rosario Martínez Verdú. TEMA 3: ESTIMACIÓN. 1. Estimación puntual: estimadores y estimaciones. Propiedades de los estimadores. 2. Métodos de obtención de estimadores. 3. Estimación por intervalos. 4. Determinación del tamaño muestral. Bibliografía específica Tema 3:
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TEMA 3: ESTIMACIÓN • 1. Estimación puntual: estimadores y estimaciones. Propiedades de los estimadores. • 2. Métodos de obtención de estimadores. • 3. Estimación por intervalos. • 4. Determinación del tamaño muestral. Bibliografía específica Tema 3: - NEWBOLD, P. (1997). Estadística para los Negocios y la Economía. Madrid: Prentice Hall. 4ª Edición. Capítulos 7 y 8. - NEWBOLD, P. y otros (2008). Estadística para Administración y Economía. Madrid: Pearson-Prentice Hall. 6ª Edición. Capítulos 8 y 9. - ESTEBAN GARCÍA, J. y otros: Curso Básico de Inferencia Estadística. Reproexpres Ediciones, Valencia, 2008. Tema 4 (sin anexos) y Tema 5. - LIND D.A y otros. Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. Ed. McGraw Hill, México, (13ª Edición). Capítulo 9. - MURGUI, J.S. y otros (2002). Ejercicios de Estadística. Economía y Ciencias Sociales. Valencia: Tirant lo Blanch. Capítulo 7.
TEMA 3: ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS • Consiste en la obtención de valores aproximados para las características desconocidas (parámetros) de la distribución de la población. • Tipos de estimación: • - Puntual: un valor. Apartado 1 • - Por intervalos: un intervalo con garantías de contener al parámetro. Apartado 3
1) ESTIMACIÓN PUNTUAL • Estimadores y Estimaciones: Estadísticos Estimadores de • Estrategias de búsqueda de estimadores de un parámetro : • - Proponer estimadores con buenas propiedades (Apartado 1). • - Aplicar un método de construcción de estimadores: Estimadores Máximo-Verosímiles (EMV) (Apartado 2).
Para elegir entre diferentes estimadores para estimar un mismo parámetro nos basaremos en una medida, el ERROR CUADRÁTICO MEDIO(ECM): El criterio: elegir el estimador que tenga el menor ECM. PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES PARA TODO TIPO DE MUESTRAS: ESTIMADOR INSESGADO significa que su media o valor esperado coincide con el parámetro , esto es: ESTIMADOR EFICIENTE: si para estimar un mismo parámetro, disponemos de varios estimadores insesgados, el estimador eficiente será el de menor varianza.
Distribuciones de probabilidad de dos estimadores A y B de un parámetro poblacional q Caso 1: A y B misma varianza Caso 2: A y B estimadores insesgados f(B) f(A) f(B) f(A) E[B] q E[A]=q A estimador insesgado E[A]=q B estimador sesgado E[B]q Var[A] = Var[B] ECM[A] < ECM[B] A mejor estimador que B A y B insesgados E[A]=E[B]=q Var[A] > Var[B] ECM[A] > ECM[B] B mejor estimador que A
PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES PARA MUESTRAS GRANDES: ESTIMADOR ASINTÓTICAMENTE INSESGADOsignifica que al aumentar el tamaño de la muestra, su media tiende a coincidir con el parámetro , y por lo tanto, su sesgo tiende a cero. Esto es, ESTIMADOR CONSISTENTE significa que a medida que crece el tamaño de la muestra las estimaciones que nos proporciona el estimador se aproximan cada vez más al valor del parámetro . Si el estimador es insesgado o asintóticamente insesgado, para que sea consistente es suficiente que, cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito (es decir, se hace muy grande), la varianza del estimador se aproxime a cero. Esto es,
Ejemplo deestimadorconsistente q Al crecer el tamaño de la muestra, las estimaciones de se aproximan cada vez más al verdadero valor del parámetro.
CUADRO RESUMEN ESTIMADORES PUNTUALES EMV= Estimador máximo-verosímil
2. Métodos de obtención de estimadores. EJEMPLO DE ESTIMACIÓN MÁXIMO-VEROSÍMIL • La Agencia Valenciana de Turismo va a realizar un estudio sobre las preferencias de los habitantes de la ciudad de Valencia respecto al lugar de vacaciones elegido. Únicamente se quiere distinguir entre montaña y playa. Realizada una encuesta a 100 personas elegidas al azar se ha obtenido que 30 de ellas prefieren la montaña y las 70 restantes han mostrado preferencia por la playa. • Con la información de la encuesta, ¿cuál de los siguientes posibles valores para la proporción de ciudadanos que prefieren la montaña tiene una mayor verosimilitud o es más compatible con los datos obtenidos de la encuesta: 25%, 30% o 35%? • Fuente: MURGUI, J.S. y otros (2002). Ejercicios de Estadística. Economía y Ciencias Sociales. Valencia: Tirant lo Blanch, p.265.
l(p) =p30 (1-p)70 l(p) p
3. Estimación por intervaloso Intervalos de confianza Objetivos de este Apartado: • Concepto de Intervalo de Estimación • Concepto de nivel de confianza 1- • Precisión de una estimación por intervalo, depende de: • Nivel de confianza 1- • Amplitud del intervalo (error de estimación) • Construcción de intervalos de estimación para los principales parámetros poblacionales.
Caso 1 a) Población muestra: (x1, x2, …,xn) m.a.s. tamaño n cualquiera. Se fija nivel de confianza 1- Intervalos para la estimación de la media de una población Se despeja : Se sustituye por el valor obtenido para la muestra, , y se obtiene el intervalo:
EJEMPLO INTERVALOS DE ESTIMACIÓN Sea Población X: peso de los paquetes de cereal, en gramos. X~N( , 2=100) Muestra: (x1, x2,...., xn) m.a.s. n=16 Intervalos de confianza para : Error =4,11 gr Intervalo de confianza del 90% 499,64 507,86 Error =4,90 gr Intervalo de confianza del 95% 498,85 508,65 Error =6,43 gr Intervalo de confianza del 99% 497,32 510,18
Caso 2: Población muestra: (x1, x2, …,xn) m.a.s. tamaño n cualquiera. Se fija nivel de confianza 1-: Intervalos para la estimación de la media de una población Se despeja : Se sustituyen por los valores obtenidos para la muestra y se obtiene el intervalo:
Caso 6: Población muestra: (x1, x2, …,xn) m.a.s. tamaño n cualquiera. Se fija nivel de confianza 1-: Intervalo para la estimación de la varianza 2de una población Normal Se despeja 2: Se sustituye S2 por el valor obtenido para la muestra y se obtiene el intervalo:
