N ÚMEROS REALES

1. Toda fracción da lugar a un número decimal limitado o a un número decimal ilimitado periódico. Un número es racional es el que se puede poner en forma de fracción. El conjunto de los números racionales está designado por Observa que un número decimal periódico con periodo 9 es un decimal exacto. Por ejemplo: • Como ejemplos comunes de números irracionales: • π • … • el número aúreoΦ = 71 3 2 , 3 , 5 7,129 = = 7,13 10 0 1 + 5 2 Los números racionales y los irracionales constituyen el conjunto de los números reales: La representación gráfica del conjunto de los números reales se denomina recta real o recta numérica: NÚMEROS REALES Se denominan números irracionales las expresiones decimales que no son limitadas ni periódicas y que, por tanto, no pueden expresarse como fracciones. El conjunto de números irracionales está designado por I.

2. Intervalo abierto (a, b) ={x ϵ| a < x < b} Intervalo cerrado [a, b] = {x ϵ | a ≤ x ≤ b} Intervalo semiabierto o semicerrado: sólo uno de sus extremos pertenece al intervalo (a, b] = {x ϵ | a < x ≤ b} [a, b) = {x ϵ | a < x ≤ b} El entorno de un punto x0, E(x0, r), es el intervalo (x0 – r, x0 + r) Semirrectas (a, +∞) = {x ϵ | a < x} [a, +∞) = {x ϵ | a ≤ x} (-∞, a] = {x ϵ | a ≤ x} (-∞, a) = {x ϵ | x < a} INTERVALOS Y SEMIRRECTAS Un intervalo es un subconjunto de números reales que se corresponde gráficamente con los puntos de un segmento o de una semirrecta de la recta real. La amplitud de un intervalo es la longitud del segmento que determina: b - a

3. Reglas de cálculo con radicales • Producto y cociente de radicales: • Potencia de un radical: • Raíz de un radical: = • Suma de radicales: sólo se puede efectuar si los radicales • son semejantes. • Racionalización: consiste en transformar una fracción con • raíces en el denominador en otra que no los tenga. • Si en el denominador aparece multiplicamos • el numerador y el denominador por • Si en el denominador aparece una suma o resta de • radicales cuadráticos de índice 2, se multiplica el • numerador y el denominador por el conjugado Raíz de un número real x = xn = a La expresión de un radical como potencia es: = a1/n n a n n n . m . p m p a b = a b n n n m m ( a ) = a a m . m n n = a a • Propiedades de los radicales • x = • x = - n n x n n ( - x ) n m a Los radicales que expresan un mismo número real son equivalentes, como por ejemplo y Simplificar un radical es calcular su radical equivalente de índice menor. Si después de simplificar varios radicales queda el mismo radicando y el mismo índice, son semejantes. n n - m a 4 7 49 ( a + b es a - b y vi ceversa) RADICACIÓN DE NÚMEROS REALES

4. El logaritmo en base a de un número x es el número y al que hay que elevar a para obtener x: • y = loga x ay = x • Si la base es 10, el logaritmo se denomina decimal y se escribe log x • Si la base es el número irracional e, el logaritmo se llama neperiano y se escribe ln x • Propiedades de los logaritmos • Si x ≠ y loga x ≠ loga y • Si x > y loga x > loga y • loga a = 1 • loga 1 =0 • Operaciones con logaritmos • loga (x · y) = loga x + loga y • loga xn = n · loga x Cambio de base De esta fórmula podemos deducir: log e · ln 10 = 1 log x log x = a log a x log = log x - log y a a a y n log x a log x = a n LOGARITMOS