Cenni al calcolo approssimato con i numeri reali

1. Cenni al calcolo approssimatocon i numeri reali a cura di Elisabetta Boselli – elisabetta.boselli@rcm.inet.it

2. Approssimare un numero reale Consideriamo un numero reale  (leggi: alfa); diremo che un cer-to numero x approssima  a meno di  (leggi: epsilon) se il valore assoluto della differenza tra x e  è minore di  in simboli:  x      (Se x e  venissero rappresentati su una retta, la loro distanza sa-rebbe minore di ) Se x < , si dirà che x approssima per difetto Se x > , si dirà che x approssima per eccesso • Esempio - Sia dato il numero  = 1,456783… : • Diremo che 1,45 approssima  per difetto a meno di 10-2, poiché: • 1,45 <  • 1,45   = 0,006783… (che è un numero più piccolo di 10-2)

3. Approssimare per troncamento Consideriamo un numero reale positivo : il numero x che si ottiene trascrivendo la parte intera di  e le sue prime n cifre dopo la virgola è un numero che appros-sima  per difetto a meno di 10 –n Diremo che x approssima  per troncamento. • Esempi - Sia dato il numero  = 1,456783… : • 1,45 approssima  per troncamento a meno di 10-2, poiché sono state riportate la sua parte intera e le prime due cifre che seguono la virgola • 1,4567 approssima  per troncamento a meno di 10-4, poiché sono state riportate la sua parte intera e le prime quattro cifre che se-guono la virgola

4. Approssimare per arrotondamento • Consideriamo un numero reale positivo : • Se voglio approssimare per arrotondamento a meno di 10–n, per comporre il numero approssimante dovrò : • trascrivere la parte intera di  • farle seguire le sue prime n – 1 cifre dopo la virgola • se la cifra di posto n +1 dopo la virgola è minore di 5, riportare la cifra di posto n; altrimenti riportarla aumentata di una unità • Esempi - Sia dato il numero  = 3,42650821… : • 3,4 approssima  per arrotondamento a meno di 10-1: infatti la seconda cifra dopo la virgola è minore di 5 • 3,427 approssima  per arrotondamento a meno di 10-3: infatti la quarta cifra dopo la virgola è uguale a 5 • 3,42651 approssima  per arrotondamento a meno di 10-5: infatti la sesta cifra dopo la virgola è maggiore di 5

5. Prima di parlare di calcolo approssimato…. Ricordiamo le seguenti proprietà valide nell’insieme dei nume-ri razionali: P.1) Si considerino  ,   Q ; poniamo che m <  < M , m , M  Q m <  < M , m , M  Q Allora varrà che: m + m <  +  < M + M La somma di due numeri approssimanti per difetto due numeri ra-zionali assegnati è minore della somma dei numeri dati. La somma di due numeri approssimanti per eccesso due numeri ra-zionali assegnati è maggiore della somma dei numeri dati.

6. Prima di parlare di calcolo approssimato …. Ricordiamo le seguenti proprietà valide nell’insieme dei nume-ri razionali: P.2) Si considerino  ,   Q+ ; poniamo che m <  < M , m , M  Q + m <  < M , m , M  Q + Allora varrà che: m·m <  ·  < M·M Il prodotto di due numeri positivi approssimanti per difetto due numeri razionali positivi assegnati è minore del prodotto dei numeri dati. Il prodotto di due numeri positivi approssimanti per eccesso due numeri razionali positivi assegnati è maggiore del prodotto dei numeri dati.

7. Un esempio per l’addizione  = 2,642904652103849…. e  = 4,25641038079519….

8. Un esempio per la moltiplicazione  = 2,642904652103849…. e  = 4,25641038079519….

9. Praticamente: Per conoscere il maggior numero di cifre decimali esatte della somma o del prodotto di due numeri dei quali si possiede la rap-presentazione decimale, opereremo con la migliore approssima-zione per difetto e la migliore approssimazione per eccesso dispo-nibile per ciascuno di tali numeri e confronteremo i risultati:  = 2,64290465210384…. e  = 4,25641038079519….  +  = 6,8993150328990... e ·  = 11,249286796666….

10. Se m < x < M m > x > M 5° principio M < x < m Ragioniamo sull’opposto di un numero…  = 2,64290465210384…. e  = 4,25641038079519…. … e sulla sottrazione  –  = – 1,6135057286913…..

11. m < x < M 1/m > 1/x > 1/M  1/M < 1//x < 1/m Ragioniamo sul reciproco di un numero…  = 2,64290465210384…. e  = 4,25641038079519…. … e sulla divisione  /  = 0,6209233639755…..

12. Considera il numero  = 2,45897023051........ . a) Che tipo di rappresentazione decimale ha il numero ? b) Quante cifre decimale esatte conosci del numero ? c) Qual è la settima cifra decimale esatta di ? d) Scrivi i numeri che approssimano : – per troncamento a meno di un millesimo; – per troncamento a meno di 10–6; – per troncamento a meno di 10–9; – per arrotondamento a meno di un millesimo; – per arrotondamento a meno di 10–6; – per arrotondamento a meno di 10–9. e) Scrivi i numeri che approssimano : – per difetto a meno di un centesimo; – per eccesso a meno di un centesimo; – per difetto a meno di 10–2; – per eccesso a meno di 10–2; – per difetto a meno di 10–8; – per eccesso a meno di 10–8. Esercizi - 1

13. Considera il numero  = 3,459873.... ; scrivi le successive approssima-zioni razionali per difetto e per eccesso di: • , –, 1/ • Sapendo che 5 = 2,23606797..... e che 2 = 1,41421356...., determina le successive approssimazioni per difetto e per eccesso del risultato di 5 + 2 . • Osservando il risultato ottenuto, rispondi: a partire dalle cifre decimali esatte che conosci per 5 e 2, quante cifre decimali esatte conosci della loro somma? • Come avresti potuto determinare il maggior numero di cifre decimali esatte con il minor numero di calcoli? • Sapendo che • 2 = 1,41421356...., 3 = 1,73205080...., 5 = 2,23606797....., • determina il maggior numero di cifre esatte possibili del risultato delle se-guenti operazioni: • 2 + 3 ; 5 + 8,(17); 5 – 3 ; 2 – 3,42594 Esercizi - 2